數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料微積分

1、第四部分 一元函數(shù)微積分在25個(gè)考題里面占6個(gè)，主要考在一元微分學(xué)部分，微分學(xué)占到了，現(xiàn)在微分學(xué)的題目有四個(gè)，積分學(xué)可能有兩個(gè)題目。從題目的難度說，04、06兩年，微積分的題目計(jì)算量是偏大的，03、05兩年題目的難度不大，但也有難題。從出題目的類型說，只有一個(gè)題目沒有復(fù)習(xí)，就是漸近線的問題。今年漸近線可以不管，已經(jīng)考過了。微積分 一元微積分內(nèi)容總結(jié)一、有關(guān)函數(shù)進(jìn)一步討論：二、極限；極限的概念、極限的性質(zhì)和極限的四則運(yùn)算、兩個(gè)重要極限和無窮大量和無窮小量概念及其關(guān)系、無窮小量的比較等。掌握極限的保號(hào)性質(zhì)；1無窮大與無窮小的關(guān)系；理解無窮小比較； f(x)=o(g(x)（c0，c1）第三章 連續(xù)函

2、數(shù)連續(xù)的定義，左右連續(xù)的定義，連續(xù)與左右連續(xù)的關(guān)系，間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。給出一個(gè)函數(shù)，給出一點(diǎn)，判斷函數(shù)在這點(diǎn)是否存在左極限和右極限存在且相等，相等就是連續(xù)的。給出具體函數(shù)找間斷點(diǎn)。1.先找有定義的點(diǎn)；2.單獨(dú)給出定義的點(diǎn)；最大值存在性和最小值的存在性；第四章 導(dǎo)數(shù)和微積分的概念、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.概念；2.性質(zhì)；可導(dǎo)定連續(xù)；反之不成立。可導(dǎo)和可微是等價(jià)的；反之亦成立。3.運(yùn)算；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要記?。患訙p乘除的求導(dǎo)法則記?。粡?fù)合函數(shù)的聯(lián)導(dǎo)法則要記??；一、兩類概念1反映函數(shù)局部性質(zhì)的概念極限、連續(xù)、可導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)）、可微（微分）、極值（點(diǎn)）等2反映函數(shù)整體性質(zhì)的

3、概念有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函數(shù)、定積分等二、三種運(yùn)算1極限運(yùn)算常用方法：四則運(yùn)算、重要極限、等價(jià)無窮小代換、無窮大與無窮小的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)定義、洛必達(dá)法則等2求導(dǎo)運(yùn)算需要掌握：定義、基本導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則、變限定積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式3積分運(yùn)算（1）不定積分運(yùn)算：基本積分公式、換元積分法、分部積分法（2）定積分運(yùn)算：定義與性質(zhì)、幾何意義、牛頓萊布尼茲公式、換元積分法、分部積分法三、幾個(gè)應(yīng)用1單調(diào)性、極值、最值問題（不等式、方程的根）2凹凸性、拐點(diǎn)問題3平面圖形的面積問題一元微積分中的常見問題一、 求函數(shù)表達(dá)式的問題1已知, 求的表達(dá)式解：令 得 ，故

4、2已知 求解：） 3已知，求解： 因?yàn)?，所?因此 4設(shè)，求解：因?yàn)?，所以 因此 5已知，求，解：因?yàn)?，所以，因此 ，二、研究函數(shù)的奇偶性的問題1奇函數(shù)2解：因?yàn)閷?duì)任意的，都有定義，且所以是奇函數(shù)；3研究函數(shù)的奇偶性解：因?yàn)閷?duì)任意的，都存在，且所以是偶函數(shù)三、函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)1求極限解：2指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型答案：，跳躍型；，可去型；，第二類3已知函數(shù)在上連續(xù)，求的值解：由于所以，；，根據(jù)連續(xù)性可知 解得 4討論函數(shù)在處的連續(xù)性、可導(dǎo)性答案：連續(xù)，可導(dǎo)因?yàn)?設(shè)在可導(dǎo)，則滿足 A （A） （B）（C） （D）四、有關(guān)無窮小比較的問題1若， ，求與的值 解：因?yàn)?，所以2已知，則當(dāng)時(shí)，下列

5、函數(shù)中與是等價(jià)無窮小的是 C A B C D 解：由得3確定的值，使解： 因?yàn)?，所?，因此又 ，所以 .4. 設(shè)，求解:五、有關(guān)導(dǎo)數(shù)概念的問題1求極限 解：2設(shè)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，已知，求極限解：3已知，求解：因?yàn)?所以六、 求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)、簡(jiǎn)單隱函數(shù)、冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的問題12已知函數(shù)由確定，求曲線在處的切線方程與法線方程解：由 得，當(dāng) 時(shí)，得 ，所以要求的切線與法線方程分別為3，七、 研究函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)極值的問題1單調(diào)性、極值問題例如：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)解：，由得單增區(qū)間為，單減區(qū)間為和是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)2最值問題，3證明不等式問題，（1）證明：證明：因?yàn)?，所以

6、 .（2）證明：證明：令，則，所以當(dāng)時(shí)，即 ，故（3）證明：證明：令，由得，由于，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值分別為和，從而有 4證明等式問題例如：設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)、單增且，證明證明：令，則 ，又 ，所以 ，故 證法2：因?yàn)?，所以注：也可用定積分的幾何意義證明5研究方程根的問題例如：討論方程實(shí)根的情況解：令 ，由 得 ，從而是函數(shù)的單減區(qū)間，和是函數(shù)的單增區(qū)間，極大值為，極小值為由于 ，所以：當(dāng)時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)根，位于內(nèi)；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不同實(shí)根，一個(gè)為，一個(gè)位于內(nèi)；當(dāng)時(shí)，原方程有三個(gè)不同實(shí)根，分別位于，內(nèi)；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不同實(shí)根，一個(gè)為，一個(gè)位于內(nèi)；當(dāng)時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)根，位于內(nèi)

7、八、研究函數(shù)的凹凸性、求函數(shù)拐點(diǎn)的問題1.當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)可能為的拐點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的凹凸性如何？解:由點(diǎn)在曲線上和拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零，得解得 由于 ，所以為函數(shù)的下凸區(qū)間，為函數(shù)的上凸區(qū)間，點(diǎn)是的拐點(diǎn)2. 設(shè)函數(shù)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，且，試判斷是否為的極值點(diǎn)？是否為的拐點(diǎn)？ 解：因?yàn)?，所以在附近，從而，因此不是的拐點(diǎn)由于，所以單增，又，從而易知是的極小值點(diǎn)九、不定積分（湊法、分部積分法）1已知的一個(gè)原函數(shù)為，求，解：2解：3解：4解：或 5解：6解：因?yàn)樗?十、定積分求值的問題1利用定積分性質(zhì)（幾何意義、奇偶性、周期函數(shù)等）2分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、帶有根號(hào)的函數(shù)求定積分例如：3已知一個(gè)積分值，求

8、另一個(gè)積分值（1）已知，求的值解：（2）已知，求解：4已知一個(gè)積分方程，求一個(gè)積分值例如：已知，求，解：因?yàn)?，所以，因此 ，十一、有關(guān)變限定積分函數(shù)的問題1導(dǎo)數(shù)運(yùn)算（1）已知函數(shù)由方程確定，求解：因?yàn)?，所以，因此 （2）求極限 解：（3），求解：，（4）已知，求解：2研究奇偶性、單調(diào)性、凹凸性，求極值點(diǎn)和拐點(diǎn)例如：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)解：由 ，得當(dāng)時(shí)，單調(diào)減小，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，是的一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減小，是的一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，是的一個(gè)極小值點(diǎn)十二、定積分的幾何應(yīng)用問題（面積與旋轉(zhuǎn)體的體積）1切線、法線，2. 最大、最小面積（1）求由及在處的法線所圍圖形的面積及此圖形繞

9、軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積解: 在處的法線方程為 ，此法線與軸的交點(diǎn)是 ，所以；（2）求曲線段的一條切線，使該切線與直線及此曲線段所圍平面圖形的面積最小解：曲線在處的切線方程為，曲線在處的切線與直線及此曲線段所圍平面圖形的面積為，由 ，得由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以最小，故所求切線方程為 樣題與真題一、函數(shù)（2005）設(shè)函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）A. B. C. D.分析：考慮得解得即正確選項(xiàng)為D二、函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)1設(shè)函數(shù)，則在點(diǎn)處 （極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)定義）2（2003）如果在處可導(dǎo)，則極限A等于B等于C等于*D不存在注：特殊值代入法。3（2005）設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且則=（ ）A.0 B.1

10、 C.2 D.3分析：因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，所以其在點(diǎn)處連續(xù)，從而，即正確選項(xiàng)為C注：特殊值代入法。4（2006）設(shè)，且導(dǎo)數(shù)存在，則（ ）。A. 0 B. C. D. 答：D分析：（本題是一元函數(shù)微分學(xué)題目?？疾閷?dǎo)數(shù)概念與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式）根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，極限是復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，所以其值為。注：特殊值代入法與排除法。三、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（2003）甲乙兩人百米賽跑成績(jī)一樣，那么A甲乙兩人每時(shí)刻的瞬時(shí)速度必定一樣B甲乙兩人每時(shí)刻的瞬時(shí)速度都不一樣C甲乙兩人至少在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度一樣*D甲乙兩人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度必定一樣注：排除法。四、極限運(yùn)算1極限 （極限運(yùn)算）2 （極限運(yùn)算）3極限 （極限運(yùn)算）五、

11、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1設(shè)函數(shù)，則 （求導(dǎo)運(yùn)算）2設(shè)函數(shù)，則 （求導(dǎo)運(yùn)算）3如圖，是兩個(gè)逐段線性的連續(xù)函數(shù)，設(shè)，則的值為（ A ）A*BCD12345678xy6f(x)g(x)分析：由于，所以六、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1（2003）設(shè)，則的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是AB* CD2（2003）方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是AB*CD2（2004）如下不等式成立的是（ B ）A在區(qū)間上，B在區(qū)間上，*C在區(qū)間上，D在區(qū)間上，分析：令 ，則，又，所以在區(qū)間上，有，即3（2005）函數(shù)在上有（ ）A1條垂直漸進(jìn)線，1條水平漸進(jìn)線；B1條垂直漸進(jìn)線，2條水平漸進(jìn)線C 2條垂直漸進(jìn)線，1條水平漸進(jìn)線；D2條垂直漸進(jìn)線，2條水平漸進(jìn)線分析：因?yàn)?，所以曲線在上

12、有2條垂直漸進(jìn)線，2條水平漸進(jìn)線即正確選項(xiàng)為D4（2005）若的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，則對(duì)任意常數(shù)必有=（ ）A. B.1 C.0 D.分析：根據(jù)微分中值定理可知，存在介于和之間的使得由于，所以即正確選項(xiàng)為A注：特殊值代入法。5（2006）曲線在（0，2）區(qū)間內(nèi)有（ A ）。A. 2個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)拐點(diǎn) B. 2個(gè)極值點(diǎn)，2個(gè)拐點(diǎn)C. 2個(gè)極值點(diǎn)，1個(gè)拐點(diǎn) D. 3個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)拐點(diǎn)分析：根據(jù)易知分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)。由于且在不存在，易判斷經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)二階導(dǎo)數(shù)都變號(hào)，所以這三點(diǎn)都是函數(shù)的拐點(diǎn)。6（2006）設(shè)正圓錐母線長(zhǎng)為5，高為h，底面圓半徑為r，在正圓錐的體積最大時(shí)，（C ）。A. B.

13、 1 C. D. 分析：圓錐體積為 ，所以由得（易知這時(shí)體積最大），從而，故。7（2006）如右圖，曲線表示某工廠十年期間的產(chǎn)值變化情況，設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，從圖形上可以看出該廠產(chǎn)值的增長(zhǎng)速度是（A）。P0 2 5 10 t(年) A. 前兩年越來越慢，后五年越來越快B前兩年越來越快，后五年越來越慢C前兩年越來越快，后五年越來越快D前兩年越來越慢，后五年越來越慢分析：由圖可知，前兩年的圖像上凸，二階導(dǎo)小于零，一階導(dǎo)單減；后五年的圖像下凸，二階導(dǎo)大于零，一階導(dǎo)單增。七、積分運(yùn)算1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則 （積分運(yùn)算）2（為常數(shù)）（積分運(yùn)算）3（2003）設(shè)，則ABCD*分析：。4（2004）設(shè)為連

14、續(xù)函數(shù)，且，則（ C ）ABC*D分析：因?yàn)?且，所以5（2005）設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則不定積分=（ ）A. B.C. D.3分析：由于，所以即正確選項(xiàng)為C注：選項(xiàng)驗(yàn)證法。6（2006）設(shè)，則在0，a上方程根的個(gè)數(shù)為（B）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3分析：記，則，所以 至少有一個(gè)根。又因?yàn)?，所以只有一個(gè)根。八、積分應(yīng)用1（2004）過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)該曲線與切線及軸所圍成的面積為，曲線與直線及軸所圍成的面積為，則（ D ），所以ABCD*分析：由于2（2004）如圖，拋物線把曲線與軸所構(gòu)成的區(qū)域面積分為與兩部分，則（ B ）AB*CD與的大小關(guān)系與的數(shù)值有關(guān)分析：解得由于 ，所以

15、3（2005）設(shè)連續(xù)函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，且，若是的反函數(shù)，則=( )A. B.C. D.分析：aaAB如圖，根據(jù)定積分的幾何意義可知：，所以即正確選項(xiàng)為B注：也可利用4（2006）如右圖所示，函數(shù)是以2為周期的連續(xù)周期函數(shù)，它在0，2上的圖形為分段直線，是線性函數(shù)，則（B）。 0 1 2xy1A B. 1 C. D. 分析：根據(jù)圖形可知 ，且函數(shù)在每個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間上的積分值相等，所以。第五部分 線性代數(shù)線性代數(shù)中的常見問題一、行列式求值1（2003）行列式展開式中的系數(shù)是A*B CD2設(shè)行列式，第2行各元素的代數(shù)余子式之和的值為 (A)(B)(C)(D)解：3設(shè)是三階方陣，若行列式 ，則（1

16、）中必有一零行；（2）中必有兩行的對(duì)應(yīng)元素成比例；（3）必有非零矩陣，使得；（4）對(duì)任給的3維列向量，方程組沒有惟一解；（5）中必有一行可用另外兩行的線性組合表示上面的命題中，正確的共有（ C ）(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C) 3個(gè)(D) 4個(gè)二、矩陣運(yùn)算1設(shè)均是階矩陣，則（1）；（2）；（3）；（4）上述命題中，正確的命題有（ C ）(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)2已知，求解：根據(jù) 得 ，所以 又 ，所以3設(shè)，則（ D ）(A)(B)(C)(D)解：4已知，求解：5設(shè)是一個(gè)階方陣，且的行列式，則 C (A)(B) (C)(D)解：由于 ，所以 從而6已知，求解：三、求逆矩陣1利用公

17、式，2利用初等行變換，3利用逆矩陣定義例如：已知，證明可逆，并求解：因?yàn)?，所?利用性質(zhì)例如：已知都可逆，證明也可逆，并求解：四、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念1維向量組線性無關(guān)的充分條件是 C (A) 都不是零向量(B) 中任意兩個(gè)向量都不成比例(C) 中任一個(gè)向量都不能由其余向量線性表出(D)2已知線性相關(guān)，線性無關(guān)，證明：（1）可由線性表出； （2）不能由線性表出證明：（1）由于線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)使得若，則，又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以必有，這與不全為零矛盾故 ，即可由線性表出（2）若能由線性表出，則存在實(shí)數(shù)使得 這與線性無關(guān)矛盾3已知（1）當(dāng)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？ （2）當(dāng)為何

18、值時(shí)，可由向量組線性表出解：，當(dāng)時(shí)，向量組線性相關(guān)；當(dāng)時(shí)，可由向量組線性表出五、矩陣的秩、向量組的秩1設(shè)，若，則的值為 (A)(B)(C)(D)解：利用初等行變換得 ，由于，所以，解得另解：由得2設(shè)都是階非零矩陣，且，則和的秩 (A) 必有一個(gè)等于零（B)都小于(C)一個(gè)小于，一個(gè)等于(D)都等于解：因?yàn)?，所以 ，又因?yàn)?都是階非零矩陣，所以，從而便知選項(xiàng)（B）正確另解：排除法若設(shè) ，則矩陣可逆，從而由便得 ，這與條件矛盾3若向量組的秩為，則（ C ）(A) 向量組中只有一個(gè)極大線性無關(guān)組(B) 向量組中任何個(gè)向量都線性無關(guān)(C) 向量組中任何個(gè)線性無關(guān)向量構(gòu)成的向量組都是一個(gè)極大線性無關(guān)組

19、(D) 向量組中任何個(gè)向量都線性無關(guān)4已知，求向量組的極大線性無關(guān)組和秩解：由于 ，所以的秩為，一個(gè)極大線性無關(guān)組是六、線性代數(shù)方程組1當(dāng) A 時(shí)，方程組有非零解(A)(B)(C)(D)2設(shè)為矩陣，是矩陣，則齊次線性方程組（ D ）(A) 當(dāng)時(shí)只有零解(B) 當(dāng)時(shí)必有非零解(C) 當(dāng)時(shí)只有零解(D) 當(dāng)時(shí)必有非零解3設(shè)是線性方程組的兩個(gè)不同的解，是方程組導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則程組的通解是 D (A)(B) (C) (D) 其中是任意常數(shù)4設(shè)是四元非齊次線性方程組的三個(gè)解向量，且秩，是任意常數(shù)，則的通解是（C ）(A) (B) (C)(D) 5設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，試證明 也是齊次線性

20、方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系證明：要證三件事：每個(gè)向量都是解、含有三個(gè)解向量、解向量組線性無關(guān)設(shè)，則由于線性無關(guān)，所以因?yàn)?，所以必?設(shè)為階方陣，為矩陣，證明為單位陣證明：因?yàn)椋?，即的每一列都是方程組的解由為矩陣且可知的列向量組滿秩，因此方程組只有零解，故的每一個(gè)列向量都是零向量，從而為單位陣七、特征值與特征向量問題1向量是矩陣的屬于特征值 D 的特征向量(A)(B)(C)(D)解：2設(shè)是階可逆矩陣，若與相似，試證與相似，與相似證明：因?yàn)椋?，即與相似；因?yàn)?，所以，即與相似樣題與真題一、行列式1設(shè)行列式，第2行各元素的代數(shù)余子式之和 (A)(B)(C)(D)2（2003）行列式展開式中的系數(shù)是A

21、*B CD3（2004）設(shè)，則行列式（ A ）ABCD分析：4（2005）設(shè)是方程的三個(gè)根，則行列式的值等于（ ）A.1 B.0 C.-1 D.-2分析：根據(jù)題意可知，所以，從而即正確選項(xiàng)為B二、矩陣1設(shè)，若，則的值為 (A)(B)(C)(D)2設(shè)都是階非零矩陣，且，則和的秩 (A) 必有一個(gè)等于零（B)都小于(C)一個(gè)小于，一個(gè)等于(D)都等于3（2003）設(shè)，則必有AB CD*4（2003）為階非零矩陣，其伴隨矩陣的秩，則等于A或*B或C或D或5（2004）設(shè)，則矩陣中，第3行第2列的元素是（ B ）ABCD分析：因?yàn)?，所以矩陣中，?行第2列的元素是6（2005）已知為維單位列向量，為的

22、轉(zhuǎn)置，為單位矩陣，若=，則等于（ ）A. B. C.1 D.分析：，即正確選項(xiàng)為A7（2006）設(shè)E為三階單位矩陣，若三階矩陣滿足關(guān)系，則的第一行的行向量是（C）。A. B. C. D. 分析：因?yàn)椋?，從而，故的第一行的行向量是。三、向量組1設(shè)向量組，向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 (A)(B)(C) (D) 2（2004）若向量線性無關(guān)，而向量線性相關(guān)，則（ D ）ABCD分析：因?yàn)橄蛄烤€性相關(guān)，所以存在不全為零的使得，即 ，又向量線性無關(guān)，故由非零解，從而，即3（2005）設(shè)向量，則向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組是（ ）A. B.C. D.分析：因?yàn)?，所以向量組的一個(gè)極大線形無關(guān)組是即正確選項(xiàng)為D4（2006）三階矩陣A的秩是方程組的三個(gè)解向量，則常數(shù)k=（D）。A. -2 B. -1 C. 2 D. 3分析：根據(jù)題意，方程組的基礎(chǔ)解系只含