幾種簡單證明勾股定理的方法

1、幾種簡單證明勾股定理的方法拼圖法、定理法圖1據(jù)說對社會有重大影響的10大科學(xué)發(fā)現(xiàn)，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，各種證法融幾何知識與代數(shù)知識于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力。讓我們動起手來，拼一拼，想一想，娛樂幾種，去感悟數(shù)學(xué)的神奇和妙趣吧！一、拼圖法證明（舉例12種）圖2拼法一：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖2拼法。問題：你能用兩種方法表示左圖的面積嗎？對比兩種不同的表示方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 分析圖2：S正方形=（a+b）2= c2 + 4

2、15;ab化簡可得：a2+b2 = c2拼法二：做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個(gè)正方形。從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即 a2+b2+4×ab = c2+4×ab 整理得 a2+b2 = c2圖4圖3 拼法三：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖3拼法。問題：圖3是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時(shí)給出的。在圖3中用同樣的辦法研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能驗(yàn)證a2+b2=c2嗎？分析圖3：S正方形= c2 =（a-b）2+

3、 4×ab化簡可得：a2+b2 = c2觀察圖2、圖3與圖4的關(guān)系，并用一句話表示你的觀點(diǎn)。圖4為圖2與圖3面積之和。拼法四：用兩個(gè)完全相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊ABCDE圖5為c）按圖5拼法。背景：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德（Garfield）他發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在談?wù)撝裁从捎诤闷嫘牡尿?qū)使，伽菲爾德向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地

4、說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。問題： 圖5就是伽菲爾德總統(tǒng)的拼法，你知道他是如何驗(yàn)證的嗎？你能用兩種方法表示圖5的面積嗎？伽菲爾德總統(tǒng)是這樣分析的：S

5、梯形ABCD=(a+b)2S梯形ABCD=SABE+ SECD+ SAED=ab+ab+c2則有：(a+b)2=ab+ab+c2 化簡可得：a2+b2 = c2比較圖5與圖2，你有什么發(fā)現(xiàn)？圖5面積為圖2之半。圖6拼法五：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c），拼成圖6，得邊長分別為a、b、c正方形。問題：觀察圖6，你能發(fā)現(xiàn)邊長分別為a、b、c的正方形嗎？你能通驗(yàn)證到：a2+b2 = c2嗎？分析：其實(shí)，圖6可以轉(zhuǎn)化為下面兩圖：圖b圖a圖a的面積可表示為：a2+b2+2×ab 圖b的面積可表示為：c2+2×ab比較a、b兩圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？a2+b2+2

6、5;ab = c2+2×ab化簡可得：a2+b2 = c2拼法六：設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD劃分成左圖所示的幾個(gè)部分，則該正方形ABCD的面積為（ab）2a2b22ab；再把正方形ABCD劃分成右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為（ab）2c2+4×ab 由兩正方形面積相等得 a2b22abc2+4×ab 整理得 a2+b2 = c2圖c圖7拼法七：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）拼成圖7。問題：你能把圖7轉(zhuǎn)化為圖c嗎？通過位置變換，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能發(fā)現(xiàn)邊長分別為

7、a、b、c的正方形嗎？能否驗(yàn)證到：a2+b2 = c2呢？分析：圖7的面積可表示為：c2+4×ab圖c的面積可表示為：a2+b2+4×ab比較圖c、圖7，你發(fā)現(xiàn)了什么？a2+b2+4×ab = c2+4×ab 化簡可得：a2+b2 = c2圖8拼法八、九、十、十一、十二：制作一個(gè)五巧板，如圖8。方法：先作一個(gè)直角三角形，直角邊為a、b，斜邊為c，以斜邊為邊長向內(nèi)作正方形，并把正方形按圖中實(shí)線分割為五個(gè)部分，這就是一個(gè)五巧板。圖e問題：運(yùn)用五巧板，拼出圖d、圖e、圖f、圖g，并仔細(xì)觀察、比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？能否驗(yàn)證到：a2+b2 = c2呢？你還有其它的拼

8、法嗎？圖d圖g圖f二、定理法證明（舉例3種）利用切割線定理證明在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90º，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得AC2=AE·AD(ABBE) (ABBD)（ca）（ca）c2a2 從而可得 a2+b2 = c2利用托勒密定理證明在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作ADCB，過點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)托勒密定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有AB·DCAD·BCAC·BD 從而可得a2+b2 = c2利用射影定理證明如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 根據(jù)射影定理，得AC2AD·AB， BC2BD·BA即AC2BC2AD·ABBD