無窮級數(shù)習(xí)題課資料丁金扣

1、第十二章 無窮級數(shù)習(xí)題課資料 丁金扣一、 本章主要內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質(zhì)，正項級數(shù)審斂法，交錯級數(shù)與萊布尼茲審斂法，絕對收斂與條件收斂。冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)（逐項求導(dǎo)、逐項積分、和函數(shù)的連續(xù)性），泰勒級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)及冪級數(shù)求和函數(shù)，周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)及其收斂定理。二、 本章重點(diǎn)用定義判別級數(shù)的收斂，P-級數(shù)、正項級數(shù)的審斂法，萊布尼茲型級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)的收斂域與收斂半徑，冪級數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)收斂定理。三、 本章難點(diǎn) 用定義判別級數(shù)的收斂，P-級數(shù)審斂法，冪級數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)收斂定理。四、 例題選講例1：判別級數(shù)的斂散性。（用定義）

2、 解：原式=級數(shù)的部分和， 所以原級數(shù)收斂，且收斂于。例2：證明級數(shù)收斂。（利用柯西審斂原理）證明：得，對任意的，取，則當(dāng)時，對所有，都有，故原級數(shù)收斂。例3：判別下列級數(shù)的斂散性（1） ， （2） ， （3）（4） ，（5），（）（6）解：（1）因為，所以，而 ， 有 ，由比較審斂法知，級數(shù)收斂。（2）因為 ，又收斂，所以原級數(shù)收斂。（3）用根值法 ，所以原級數(shù)收斂。（4）所以 有比較法知，原級數(shù)收斂。（5）比值法：，當(dāng)時，級數(shù)收斂，當(dāng)時，級數(shù)收斂，當(dāng)時，級數(shù)收斂。所以，當(dāng)時，級數(shù)收斂。（6），所以原級數(shù)收斂。例4：判斷級數(shù)的斂散性。解：，又，知級數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，即級數(shù)非絕對收斂。因為，且

3、在內(nèi)單調(diào)減少，由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)條件收斂。例5：證明級數(shù)收斂。證：設(shè)，則原級數(shù)為，又，即在內(nèi)單調(diào)下降，從而，且，由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)收斂。例6：設(shè)數(shù)列為單調(diào)增加的有界正數(shù)列，證明級數(shù)收斂。證明：因為數(shù)列為單調(diào)增加有上界，所以極限存在。設(shè)，考慮而級數(shù)存在，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂。例7：求下列冪級數(shù)的收斂域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間。時，級數(shù)發(fā)散；時，收斂。所以收斂域為。（2）令，原級數(shù)為 因為，所以收斂半徑。又時級數(shù)發(fā)散，時級數(shù)收斂，故其收斂域為：再由，解得原級數(shù)的收斂域為。（3），所以收斂半徑，收斂區(qū)間為：，即當(dāng)時，原級數(shù)收斂，當(dāng)時，原級

4、數(shù)發(fā)散。得原級數(shù)的收斂域為。例8：求下列級數(shù)的和函數(shù)（1） ，（2） ，（3）解（1）所以收斂半徑，收斂域為：。即和函數(shù)。（2），所以收斂半徑。又時，原級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為。設(shè)級數(shù)的和函為，對冪級數(shù)逐項積分得， ， 對上式兩邊求導(dǎo)得， 。（3）易求級數(shù)的收斂域為。記級數(shù)的和函為，因為，所以 ， 即， 對上式兩端求導(dǎo)得： 故有， 當(dāng)時，由所給級數(shù)知。因此例9 把級數(shù) 的和函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：記級數(shù)的和函為，即 ， 例10 求級數(shù)的和。解：設(shè) 故級數(shù)。例11 設(shè)，試將展開成的冪級數(shù)。解：所以， 。例12 設(shè)，在上收斂，試證：當(dāng)時，級數(shù)必定收斂。證明 由已知收斂，所以，從而有界。即存在，使得 ， ，所以右端對應(yīng)的級數(shù)顯然收斂，所以級數(shù)收斂，且為絕對收斂。例13 求的近似值，誤差不超過。解 因為故。例14 求函數(shù)的傅立葉展開式。解：分段連續(xù)，滿足展開定理條件， ，另求： ，另求： 所以函數(shù)的傅立葉級數(shù)為：。例15 已知函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，（1） 求的傅立葉級數(shù)；（2） 證明；（3） 求積分的