第六章第4講　等差數(shù)列、等比數(shù)列與數(shù)列求和

1、抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第4講等差數(shù)列、等比數(shù)列與數(shù)列求和講等差數(shù)列、等比數(shù)列與數(shù)列求和抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系等差數(shù)列等差數(shù)列an中的加、減、乘、除運算與等比數(shù)列中的加、減、乘、除運算與等比數(shù)列an中中的乘、除、乘方、開方對應的乘、除、乘方、開方對應(2)等差數(shù)列與等比數(shù)列的探求等差數(shù)列與等比數(shù)列的探求要判定一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可用定義法或等要判定一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可用定義法或等差差(比比)中項法、而要說明一個數(shù)列不

2、是等差數(shù)列或等比數(shù)中項法、而要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，只要說明某連續(xù)三項不成等差數(shù)列或等比數(shù)列即可列，只要說明某連續(xù)三項不成等差數(shù)列或等比數(shù)列即可1等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式項和公式求和求和等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式：項和公式：2數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和的常用方法抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)倒序相加法：如果一個數(shù)列倒序相加法：如果一個數(shù)列an的前的前n項中首末兩端

3、等項中首末兩端等“距離距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即項和即是用此法推導的是用此法推導的(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法項和就是用此法推導的推導的(4)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在

4、求和時中裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和間的一些項可以相互抵消，從而求得其和抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(5)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減求和法，分別求和而后相加減(6)并項求和法：一個數(shù)列的前并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如解，則稱之為并項求和形如an(1

5、)nf(n)類型，可采用類型，可采用兩項合并求解兩項合并求解例如，例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考一種轉(zhuǎn)化思路一種轉(zhuǎn)化思路一般數(shù)列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然一般數(shù)列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和【助學助學微博微博】抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3

6、年高考年高考答案答案11考點自測考點自測抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析由由a4a3a2q2a2q2q22q4，解得，解得q2(q1)答案答案22(2011廣東卷廣東卷)已知已知an是遞增等比數(shù)列，是遞增等比數(shù)列，a22，a4a34，則此數(shù)列的公比，則此數(shù)列的公比q_.抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2012無錫市第一學期期末考試無錫市第一學期期末考試)設(shè)設(shè)Sn是等比數(shù)列是等比數(shù)列an的的前前n項和，項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且成等差數(shù)列，且a2a52am，則，則m_.答案答案8抓住抓住2個考點個考點突破突

7、破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案19抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案7抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)是否存在兩個等比數(shù)列是否存在兩個等比數(shù)列an，bn，使得，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求的等差數(shù)列？若存在，求an，bn的通項公式；若不存在，說明理由的通項公式；若不存在，說明理由考向一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合考向一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【例例1】 (2011江西卷江西卷)(1

8、)已知兩個等比數(shù)列已知兩個等比數(shù)列an，bn，滿足滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若數(shù)列，若數(shù)列an唯一，求唯一，求a的值；的值；抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考q2得得a1(q1q2)(q11)20，由由a10得得q1q2或或q11.()當當q1q2時，由得時，由得b1a1或或q1q21，這時，這時(b2a2)(b1a1)0，與公差不為，與公差不為0矛盾矛盾()當當q11時，由得時，由得b10或或q21，

9、這時，這時(b2a2)(b1a1)0，與公差不為，與公差不為0矛盾矛盾綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列an，bn使使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為成公差不為0的等差數(shù)列的等差數(shù)列方法總結(jié)方法總結(jié) 對等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應重點對等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前分析等差、等比數(shù)列的通項及前n項和；分析等差、等比項和；分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法數(shù)列項之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公

10、式；的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn滿足滿足b13，令，令bn1abn，設(shè)數(shù)列，設(shè)數(shù)列bn的前的前n項和為項和為Tn，求數(shù)列，求數(shù)列Tn6n中最小項的值中最小項的值【訓練訓練1】 (2012蘇州市自主學習調(diào)查蘇州市自主學習調(diào)查)已知數(shù)列已知數(shù)列an各項均各項均為正數(shù)，其前為正數(shù)，其前n項和為項和為Sn，點，點(an，Sn)在曲線在曲線(x1)24y上上抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)由已知得由已知得b13，bn12bn1，則，則bn112(bn1)，所以所以bn1是首項為是首項為2，公比為，公比為2的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，所以所以bn122n12n，即

11、，即bn2n1，所以所以Tnb1b2bn(21222n)n抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考設(shè)設(shè)AnTn6n2n15n2，則，則An1An2n15，所以當所以當n1時，有時，有An1An.故最小項為故最小項為A2231024.即數(shù)列即數(shù)列Tn6n中最小項的值為中最小項的值為4.抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】 (2012鹽城調(diào)研二鹽城調(diào)研二)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a11，且對任，且對任意的意的kN*，a2k1，a2k，a2k1成等比數(shù)列，其公比為成等比數(shù)列，其公比為qk.(1)若若qk2(kN*)，求，求a1a3a5

12、a2k1；考向二考向二等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定或證明等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定或證明抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 求數(shù)列通項或前求數(shù)列通項或前n項和，首先考慮原數(shù)列是否項和，首先考慮原數(shù)列是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可以通過定義或等差是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可以通過定義或等差(比比)中項作中項作出判斷或證明出判斷或證明抓住抓住2個考點個考點突破突破4個

13、考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求an的通項公式；的通項公式；(2)等差數(shù)列等差數(shù)列bn的各項為正，其前的各項為正，其前n項和為項和為Tn，且，且T315，又又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列，求成等比數(shù)列，求Tn.解解(1)由由an12Sn1，可得，可得an2Sn11(n2)，兩式相減得兩式相減得an1an2an，則，則an13an(n2)又又a22S113，a23a1.故故an是首項為是首項為1，公比為，公比為3的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，an3n1.【訓練訓練2】 數(shù)列數(shù)列an的前的前n項和記為項和記為Sn，a11，an12Sn 1(n1)抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向

14、個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)設(shè)設(shè)bn的公差為的公差為d，由由T315，b1b2b315，可得，可得b25，故可設(shè)故可設(shè)b15d，b35d，又，又a11，a23，a39，由題意可得由題意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得解得d12，d210.等差數(shù)列等差數(shù)列bn的各項為正，的各項為正，d0，抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三考向三裂項相消法求和裂項相消法求和抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時使

15、用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的消是此法的根源與目的抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題視點審題視點(1)由已知寫出前由已知寫出前n1項之和，兩式相項之和，兩式相減減(2)bnn3n的特點是數(shù)列的特點是數(shù)列n與與3n之積，可用錯位相之積，可用錯位相減法減法考向四考向四錯位相減法

16、求和錯位相減法求和抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列3n1an的前的前n項和，從而利用項和，從而利用an與與Sn的關(guān)系求出通項的關(guān)系求出通項3n1an，進而求得，進而求得an；另外乘公比錯位相減是數(shù)列求和的；另外乘公比錯位相減是數(shù)列求和的一種重要方法，但值得注意的是，這種方法運算過程復一種重要方法，但值得注意的是，這種方法運算過程復雜，運算量大，應加強對解題過程的訓練，重視運算能力雜，運算量大，應加強

17、對解題過程的訓練，重視運算能力的培養(yǎng)的培養(yǎng)抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓練訓練4】 (2011遼寧卷遼寧卷)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an滿足滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考 等差數(shù)列和等比數(shù)列既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，高考等差數(shù)列和等比數(shù)列既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，高考作為考查學生綜合能力的選拔性考試，將兩類數(shù)列綜合起作為考

18、查學生綜合能力的選拔性考試，將兩類數(shù)列綜合起來考查是高考的重點這類問題多屬于兩者基本運算的綜來考查是高考的重點這類問題多屬于兩者基本運算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化規(guī)范解答規(guī)范解答10怎樣求解等差與等比數(shù)列的綜合性問題怎樣求解等差與等比數(shù)列的綜合性問題抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【示例示例】 (2011湖北卷湖北卷)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列后成為等比數(shù)列bn中的中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項公式；的通項公式；審題

19、路線圖審題路線圖 正確設(shè)等差數(shù)列的三個正數(shù)，利用等比數(shù)正確設(shè)等差數(shù)列的三個正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列，從而求出數(shù)列bn的首項、公比；利的首項、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問問抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解答示范解答示范 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得依題意，得adaad15，解得解得a5.(2分分)所以所以bn中的中的b3，b4，b5依次為依次為7d,10,18d.依題意，有依題意，有(7d)(18d)100，解得，解得d2或或d13(舍去舍去)(5分分)故故bn的第的第3項為項為5，公比為，公比為2，抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考模板構(gòu)建模板構(gòu)建 解等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合性問題的一般程解等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合性問題的一般程序：序：第一步：搞清這個數(shù)列成等差數(shù)列還是等比數(shù)列；第一步：搞清這個數(shù)列成等差數(shù)列還是等比數(shù)列；第二步：證明這個數(shù)列成等差數(shù)列或等比數(shù)列，符合等差第二步：證明這個數(shù)列成