微積分期末試卷考試必做

1、一、填空題（每小題2分，共16分）1、 . 2、 .3、設，則函數在處的全微分為 .4、D是由所圍成區(qū)域，則 .5、當a滿足 時，條件收斂.6、冪級數的收斂域為 .7、交換積分次序后 .8、微分方程 的通解為 .二、單項選擇題（每小題3分，共15分）1、下列廣義積分收斂的是（ ）.（A） （B） （C） （D）2、設是連續(xù)函數，積分區(qū)域，則可化為（ ）.（A） （B） （C） （D）3、設, 則（ ）.（A）（B）（C）（D）4、極限等于（ ）.（A）1（B）2 （C）4（D）85、微分方程的通解是( ).（A）（B）（C）（D）三、計算題(一)（每小題5分，共20分）1、已知, 求.2、設是

2、由方程確定的隱函數，求.3、判斷的斂散性；若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂.4、求微分方程 的通解. 四、計算題(二)（每小題7分，共28分）1、求 .2、計算 .3、求冪級數 的收斂域及和函數.4、求微分方程 的通解.五、應用題（每小題8分，共16分）1、設某廠生產甲、乙兩種產品，其銷售單價分別為10萬元、9萬元。若生產x件甲種產品和y件乙種產品的總成本為 萬元。又已知兩種產品的總產量為100件，問兩種產品的產量各為多少時，企業(yè)利潤最大？2、經過坐標原點作曲線的切線,該切線與曲線及x軸圍成平面圖形D.求：（1）D的面積；（2）D繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積. 六、證明題（5分）設在上可微

3、，且，試證存在，使.杭州商學院08/09第二學期微積分(下)試卷(A)參考答案一、1、2 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、A三、1、解：1、設，兩邊從0到2積分, 即,所以 .（5分）2、解：方程兩邊關于x求偏導， （3分）方程兩邊關于y求偏導，（5分）3、解： 因為 ，而發(fā)散，故原級數非絕對收斂 （2分）原級數為交錯級數，且單調下降趨向于零，故原級數條件收斂.（5分）.4、解法1 分離變量并兩邊積分,得 （2分）（4分）故原方程的通解為（5分） 解法2 原方程寫為,是一階線性微分方程,其通解為 （5分）四、1、解：令， .（7分）2、解：交換積分次序， （7分）3、解：收斂半徑端點處, ,收斂；,發(fā)散,收斂域為.（3分）設,逐項求導得 ,因為,所以 .（7分）4、解：特征方程 ,特征根為，（2分）對應齊次方程的通解為,（4分）由于不是特征根，故設原方程的特解為,代入原方程解得，即.所以原方程的通解為 （7分）五、1、解：利潤為 約束條件： （2分）設拉格朗日函數 ，令 ，解得，由實際問題，此時利潤最大。（8分）或解：，代入得：令2、解：設切點為，則切線方程為 ,因為切線過原點,解得，從而，得切點為. （2分）(1) 所求面積為 . （5分）(2) 所求面積為