【教育資料】第一章§44.1~4.2學(xué)習(xí)精品

1、教育資源§4邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” “或” “非4. 1 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”4. 2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解聯(lián)結(jié)詞“且” “或”的含義 .2.會(huì)用聯(lián)結(jié)詞“且” “或”聯(lián)結(jié)或改寫(xiě)某些數(shù)學(xué)命題，并判斷其命題的真假.知識(shí)點(diǎn)一 “且”思考 觀察三個(gè)命題：5是10的約數(shù)；5是15的約數(shù)；5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)， 它們之間有什么關(guān)系？答案 命題是將命題用“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題.梳理（1）定義：一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題 “p 且q” .（2）當(dāng)p, q都是真命題時(shí)，p且q是要命題；當(dāng)p, q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，p且q是假命題.將命題p和

2、命題q以及p且q的真假情況繪制為命題 “p且q”的真值表如下：pqp且q真真真真假假假真假假假假命題“p且q”的真值表可簡(jiǎn)單歸納為“同真則真” .知識(shí)點(diǎn)二“或”思考 觀察三個(gè)命題：3>2;3=2;3>2,它們之間有什么關(guān)系？答案 命題是命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題.梳理（1）定義：一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題 力(2)當(dāng)p, q兩個(gè)命題有一個(gè)命題是真命題時(shí)，p或q是皂命題；當(dāng)p, q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，p或q是甄題.將命題p和命題q以及p或q的真假情況繪制為命題“p或q”的真值表如下：pqp或q真真真真假真假真真假假假命題“p或q”的

3、真值表可簡(jiǎn)單歸納為“假假才假” .1 .邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” “或”只能出現(xiàn)在命題的結(jié)論中.(X)2 . “p且q為假命題”是“p為假命題”的充分條件.(X )3 .當(dāng)p, q都為假命題時(shí)，p且q才為假命題.(X)4.若 p: sin x> 2, q ：任意 xCR, x2 x+ 1 >0,則 p或 q 為假命題.(x )類(lèi)型一 含有“且” “或”命題的構(gòu)成命題角度1簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題的區(qū)分例1指出下列命題的形式及構(gòu)成它的命題.(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圓或有內(nèi)切圓；(3)2 >2.考點(diǎn)“且” “或”的概念題點(diǎn) 把命題寫(xiě)成“ p且q”或“ p或q”的形式解(1)

4、是p且q形式命題.其中p：向量有大小， q：向量有方向.(2)是p或q形式命題.其中p：矩形有外接圓，q：矩形有內(nèi)切圓.是p或q形式命題.其中 p： 2>2, q： 2=2.反思與感悟不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞 “ 或 ”“ 且 ”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題判斷一個(gè)命題是簡(jiǎn)單命題還是復(fù)合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或 ”“ 且” 等邏輯聯(lián)結(jié)詞，而應(yīng)從命題的結(jié)構(gòu)來(lái)看是否用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題如 “ 四邊相等且四角相等的四邊形是正方形” 不是 “ 且 ” 聯(lián)結(jié)的復(fù)合命題，它是真命題，而用 “ 且 ” 聯(lián)結(jié)的命題 “ 四邊相等的四邊形是正方形且四角相等的四邊形是

5、正方形” 是假命題跟蹤訓(xùn)練 1 命題“菱形對(duì)角線垂直且平分”為 形式復(fù)合命題考點(diǎn)“且”的概念題點(diǎn)把命題寫(xiě)成“ p且q”的形式答案p 且q命題角度 2 用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造新命題例 2 分別寫(xiě)出下列命題的“ p 且 q”“ p 或 q ”形式的命題(1)p：梯形有一組對(duì)邊平行，q：梯形有一組對(duì)邊相等；(2)p： 1 是方程 x2+4x+3=0 的解，q： 3 是方程 x2+4x+3=0 的解.考點(diǎn) “且”“或”的概念題點(diǎn)把命題寫(xiě)成“ p且q”或“ p或q”的形式解 (1) p 或 q ：梯形有一組對(duì)邊平行或有一組對(duì)邊相等p且q：梯形有一組對(duì)邊平行且有一組對(duì)邊相等.(2)p或q： 1或一3是方程x2+

6、4x+ 3=0的解.p且q： 1和一3是方程x2+4x+3=0的解.反思與感悟用邏輯聯(lián)結(jié)詞 “或”“ 且” 聯(lián)結(jié) p， q 構(gòu)成新命題時(shí)，在不引起歧義的前提下，可以把 p， q 中的條件或結(jié)論合并跟蹤訓(xùn)練 2 指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題(1)96 是 48 與 16 的倍數(shù)；(2)不等式x2x 2>0的解集是x|xv 1或x>2.考點(diǎn) “且”“或”的概念題點(diǎn)把命題寫(xiě)成“ p且q”或“ p或q”的形式解 (1)p 且 q： p： 96 是 48 的倍數(shù)； q： 96 是 16 的倍數(shù)(2)p 或 q： p：不等式 x2-x- 2>0 的解集是x|xv 1, q：不等式

7、x2-x- 2>0的解集是x|x>2.類(lèi)型二 “p且q”和“p或q”形式命題的真假判斷例3分別指出“ p或q” “ p且q”的真假.(1)p：函數(shù)y=sin x是奇函數(shù)；q ：函數(shù)y= sin x在R上單調(diào)遞增；1(2)p：直線x= 1與圓x2 + y2 = 1相切；q：直線x=萬(wàn)與圓x2+ y2= 1相父.考點(diǎn) “p且q”和“ p或q”形式命題真假性判斷題點(diǎn) 判斷“ p且q”和“ p或q”形式命題的真假解(1).p真，q假，.4或4”為真，“p且q”為假.(2) / p真，q真，"p或q”為真，“p且q”為真.反思與感悟 形如p或q, p且q命題的真假根據(jù)真值表判定.跟

8、蹤訓(xùn)練3分別指出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q” “p且q”形式的命題的真假.(1)p：寸3是無(wú)理數(shù)，q :兀不是無(wú)理數(shù)；(2)p：集合 A= A, q： AUA = A;(3)p：函數(shù)y=x2+3x+ 4的圖像與x軸有公共點(diǎn)，q：方程x2+3x 4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.考點(diǎn) “p且q”和“ p或q”形式命題真假性判斷題點(diǎn) 判斷“ p且q”和“ p或q”形式命題的真假解(1).p真，q假，.4或4”為真，“p且q”為假.(3) / p真，q真，"p或q”為真，“p且q”為真.(4) .p假，q假，. "p或q”為假，“p且q”為假.類(lèi)型三已知復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍例4 已知p：方

9、程x2+mx+ 1 = 0有兩個(gè)不相等的負(fù)根，q：方程4x2+4(m 2)x+1 = 0無(wú)實(shí)數(shù)根，若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.考點(diǎn) “ p或q” “ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p或q” “ p且q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍解 因?yàn)閜：方程x2+mx+1 = 0有兩個(gè)不相等的負(fù)根，A= m2 4>0,所以所以m>2.m >0,因?yàn)閝：方程4x2+4(m 2)x+1 =0無(wú)實(shí)數(shù)根，所以 AV 0,即 16(m2)216V0,所以 16(m24m+ 3)v 0,所以 1vmv3.因?yàn)閜或q為真，p且q為假，所以p為真，q為假或者p為假，q為真.m&

10、gt;2,m<2,即s或smwi 或 m> 3jlvmv3,解得m> 3或1vmw 2.所以m的取值范圍為m|m > 3或1 v m< 2.引申探究本例中若將“p且q為假”改為“p且q為真”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解 同例得當(dāng)p為真命題時(shí)，m>2,當(dāng)q為真命題時(shí)，1 < m< 3.因?yàn)閜或q為真，p且q為真，所以p, q均為真命題，m>2,即f解得2vmv3,所以m的取值范圍為(2,3).1 v m< 3,反思與感悟應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞求參數(shù)范圍的四個(gè)步驟分別求出命題p, q為真時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)集合 A, B;(2)討論p, q的真假；由p, q

11、的真假轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的集合的運(yùn)算；(4)求解不等式或不等式組得到參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練4 已知p： (x+2)(x-3)<0, q： |x+ 1|>2,若“ p且q”為真，則實(shí)數(shù) x的取值范 圍是.考點(diǎn) “ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p且q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案1,3解析 由(x+2)(x 3)<0,解得一2<x< 3.由 |x+ 1p2,解得 x>1 或 x< -3.2w xW 3,-、且4”為真，. 5|x> 1 或xw -3,解得1WxW3,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是1,3.1 .已知p： 2 + 3=5, q： 5V4

12、,則下列判斷正確的是 （）A . p為假命題B. q為真命題C. p或q為真命題D. p且q為真命題考點(diǎn)“ p且q” “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn)判斷“ p且q” “ p或q”形式命題的真假答案 C解析 由題意，知p為真命題，q為假命題.2 .由下列各組命題構(gòu)成的新命題“p或q” “p且q”都為真命題的是（）A. p： 4 + 4=9, q： 7>4B. p： aCa, b, c, q： a? a, b, cC. p： 15是質(zhì)數(shù)，q： 8是12的約數(shù)D. p： 2是偶數(shù)，q： 2不是質(zhì)數(shù)考點(diǎn)“ p且q” “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn)判斷“ p且q” “ p或q”形式命題

13、的真假答案 B3 .已知命題p, q,若p為真命題，則（）A . p且q必為真B. p且q必為假C. p或q必為真D. p或q必為假考點(diǎn)“ p且q” “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn)判斷“ p且q” “ p或q”形式命題的真假答案 C解析 p或q, 一真則真，故必有 p或q為真.兀一、一一，乙、，一 一4 .已知p：函數(shù)y=sin x的最小正周期為2, q：函數(shù)y= sin 2x的圖像關(guān)于直線x=兀對(duì)稱(chēng),則p且q是 命題.（填“真”或“假”）考點(diǎn)“ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 判斷“ p且q”形式命題的真假答案假解析 由題意，知命題 p為假命題，命題 q也是假命題，故 p且q是假命題

14、.5 .已知命題 p：函數(shù)f(x)=(x+ m)(x+ 4)為偶函數(shù)；命題 q ：方程x2+(2m- 1)x+ 4-2m= 0的一個(gè)根大于2，一個(gè)根小于2 ，若 p 且 q 為假， p 或 q 為真，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍考點(diǎn) “ p且q” “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p 且 q ”“ p 或 q ”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍解 若命題p為真，則由f(x) = x2+(m + 4)x+ 4m,得m+ 4=0,解得m= - 4.設(shè) g(x)=x2+(2m1)x+42m,其圖像開(kāi)口向上，若命題 q 為真，則 g(2)<0,即 22+(2m-1)X2+4-2m<0,解

15、得 m< 3.由p且q為假，p或q為真，得p假q真或p真q假.若p假q真，則m<3且mw4;若 p 真 q 假，則 m 無(wú)解所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(8, -4)U (-4, -3).1 判斷不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題構(gòu)成形式關(guān)鍵是：弄清構(gòu)成它的命題條件、結(jié)論2對(duì)用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的復(fù)合命題的真假進(jìn)行判斷時(shí)，首先找出構(gòu)成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題，判斷簡(jiǎn)單命題的真假，然后分析構(gòu)成形式，根據(jù)構(gòu)成形式判斷復(fù)合命題的真假一、選擇題1 “ p 且 q 是真命題”是“ p 或 q 是真命題”的 ()A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分又不必要條件考點(diǎn) “ p或q” “ p且q”形式命

16、題真假性的判斷題點(diǎn) 判斷“ p 或 q ”“ p 且 q ”形式命題的真假答案 A解析 p 且 q 是真命題 ? p 是真命題，且q 是真命題 ? p 或 q 是真命題； p 或 q 是真命題 ? p且 q 是真命題2 .命題p：函數(shù)y= loga(ax+2a)(a> 0且awl)的圖像必過(guò)定點(diǎn)(1,1),命題q：如果函數(shù) y= f(x)的圖像關(guān)于(3,0)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)y=f(x3)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則有 ()A."且4”為真B. “p或q”為假C.p真qD.pq 真考點(diǎn) “ p或q” “ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 判斷“ p 或 q ”“ p 且 q ”形式命題的

17、真假答案 C解析 由命題p知，ax+2a=a,解得x=1,故過(guò)定點(diǎn)(1,1),而命題q為假命題.3 .設(shè)命題p：函數(shù)y=sin 2x的最小正周期為萬(wàn)；命題q：函數(shù)y= cos x的圖像關(guān)于直線 x=萬(wàn)對(duì) 稱(chēng)，則下列判斷正確的是()A. p為真B. q為真C. p且q為假D. p或q為真考點(diǎn)“ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 判斷“ p且q”形式命題的真假答案 C解析 函數(shù)y= sin 2x的最小正周期為22p=兀，故p為假命題；x=2)不是y= cos x的對(duì)稱(chēng)軸，命題q為假命題，故p且q為假.故選C.4. p：方程x2+2x+ a=0有實(shí)數(shù)根，q：函數(shù)f(x)=(a2a)x是增函數(shù)，若&q

18、uot;p且q"為假命 題，“ p或q”為真命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A. a>0 B. a>0 C. a>1 D. a>1考點(diǎn)“ p且q” “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p且q” “ p或q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案 B解析,一方程x2+2x+ a=0有實(shí)數(shù)根，A= 4-4a>0,解得 a< 1.函數(shù)f(x)= (a2 a)x是增函數(shù)， a2 a>0,解得 a<0 或 a>1.,p且q為假命題，p或q為真命題，p, q中一真一假.當(dāng)p真q假時(shí)，得0<a<1;當(dāng)p假q真時(shí)，得a>1.

19、由，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>0.5.命題p： “x>0”是“ x2>0”的必要不充分條件， 命題q： AABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要條件，則()A . p M q 假B. pH q 為真C. p或q為假D. p假q真考點(diǎn)“ p或q” “ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn)判斷“ p或q” “ p且q”形式命題的真假答案 D解析命題p假，命題q真.6.命題p：點(diǎn)P在直線y=2x3上；q：點(diǎn)P在曲線y= x2上，則使“ p且q”為真命題的 一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A. (0, - 3)B. (1,2)C. (1, 1)D. (-1,1)考點(diǎn)“

20、p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 判斷“ p且q”形式命題的真假答案 Cy=2x 3,解析點(diǎn)P(x, y)滿足ly=- x2,解得 P(1, 1)或 P(-3, 9),故選 C.7,已知p： x2- 2x-3v0; q： 1< 1,若p且q為真，則x的取值范圍是()x 2A. (-1,2)B. (-1,3)C. (3, i )D. ( 8, 2)考點(diǎn)“ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p且q”形式命題的真假求參數(shù)的值答案 A解析由命題p,得一1vxv 3,當(dāng)q為真命題時(shí)，得x<2或x>3,1V x v 3,因?yàn)閜且q為真命題，所以f即一1vx<2.x< 2

21、或x>3,二、填空題8 .設(shè) p： 2x+ y=3, q： x-y= 6,若 p 且 q 為真命題，貝U x=, y=.考點(diǎn)“ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p且q”形式命題的真假求參數(shù)的值答案 3 -3解析 若p且q為真命題，則p, q均為真命題，2x+ y = 3,x= 3,所以有解得x-y=6,y= 3.9 .若“xC 2,5或xCx|x<1或x>4”是假命題，則x的取值范圍是 考點(diǎn) “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p或q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案1,2)解析 x 2,5x (8, 1)U(4, + °°),即 xC(

22、 8, 1) U 2 , 十 0°),由于命題是假命題，所以1Wxv 2,即x 1,2).10 .設(shè)p：關(guān)于x的不等式ax>1的解集是x|x<0 , q：函數(shù)y=lg(ax2x+ a)的定義域?yàn)?R, 如果p和q有且僅有一個(gè)為真，則 a的取值范圍為 .考點(diǎn) “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p或q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍答案,，2 1, +8 )解析若p真，則0<a<1,若p假，則aR1或aw。.a>0,1若q真，有j2 即a>2.,1 一 ，一，*，若q假，則a<11,又p和q有且僅有一個(gè)為真,1所以當(dāng)p真q假時(shí)，0<

23、;aw 2,當(dāng)p假q真時(shí)，a>1.綜上所述，a(0, 2 U11, + oo ).三、解答題11 .判斷下列復(fù)合命題的真假.(1)等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊;(2)不等式x2-2x+ 1>0的解集為R且不等式x2-2x+2<1的解集為？.考點(diǎn) “ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 判斷“ p且q”形式命題的真假解(1)這個(gè)命題是“p且q”形式的復(fù)合命題，其中 p：等腰三角形頂角的平分線平分底邊，q：等腰三角形頂角的平分線垂直于底邊，因?yàn)?p真q真，則“p且q”為真，所以該命題是 真命題.(2)這個(gè)命題是“p且q”形式的復(fù)合命題，其中 p：不等式x22x+1&

24、gt;0的解集為R, q：不 等式x2-2x+2< 1的解集為？.因?yàn)閜假q假，所以“p且q”為假，故該命題為假命題.12 .已知p： c2< c和q：對(duì)任意x R, x2+ 4cx+ 1 >0,若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù) c的取值范圍.考點(diǎn) “ p且q” “ p或q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p且q” “ p或q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍解由不等式c2vc,得0VCV1.由對(duì)任意 x R, x2+4cx+1>0,211得(4c) 4V0,得一2vcv2.由已知，得p和q必有一個(gè)為真、一個(gè)為假.1q 1當(dāng)p真q假時(shí)，2<c< 1 ；當(dāng)q真p

25、假時(shí)，一2V c< 0.故實(shí)數(shù)c的取值范圍是1, 0 L 1 ；13 .設(shè) p：函數(shù) f(x)=lg(ax24x+a)的定義域?yàn)?R; q：設(shè) a=(2x2+x, 1), b= (1, ax+2), 不等式a b>0對(duì)任意xC( 8, 1)恒成立.如果p或q為真命題，p且q為假命題，求實(shí) 數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn) “ p或q” “ p且q”形式命題真假性的判斷題點(diǎn) 由“ p或q” “ p且q”形式命題的真假求參數(shù)的取值范圍解若p為真命題，則ax2-4x+ a>0對(duì)x C R都成立，當(dāng)a = 0時(shí)，f(x)=lg( 4x)的定義域不為 R,不合題意，當(dāng) aw0時(shí).a>0,貝U ( 4)2 4a2<0 且 a>0,即解得 a>2.16 4a2<0,若q為真命題，則由 ab>0對(duì)任意xC(8, 1)恒成立，知 2x2+x- (ax+2)>0,即a>2x 2+1 對(duì)任意 xC(8, 1)恒成立，則