高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)(Derivative )是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時，稱這個函數(shù)可導(dǎo)或者可 Wo可導(dǎo)的 函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是一個求極限的過程， 導(dǎo)數(shù)的四則 運算法則來源于極限的四則運算法則。1,251,51.75£2,25Z.52 .75導(dǎo)數(shù)(derivative function )亦名紀數(shù)、微商(微分中的概念)，由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。又稱變化率。如一輛汽車在10小時內(nèi)走了 600千米，它的平均速度是 60千米/小時.但在實際行駛過程中，是有快慢變化

2、的，不都是60千米/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設(shè)汽車所在位置s與時間t的關(guān)系為s= f (t)那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內(nèi)的平均速度是f(t1)-f(t0)/t1-t0當t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0到t1這段時間內(nèi)的運動變化情況自然就把 極限f(t1)-f(t0)/t1-t0作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。般地，假設(shè)一元函數(shù)y= f(x )在x0點的附近(x0 ax0 + a)內(nèi)有定義當自變量的增量Ax= x x00時函數(shù) 增量 Ay=f (x) f ( x0 )與

3、自變量 增量之比的極限存在且有限，就說函數(shù)f在x0點可導(dǎo)，稱之為 f在x0點的(或變化率 ).若函數(shù)f在區(qū)間I的每一點都可導(dǎo)，便得到一個以 I為定義域的新函數(shù),記作f(x)'或 y',稱之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)。函數(shù)y=f (x)在x0點的導(dǎo)數(shù)f (x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0 x0, f(x0)點的切線斜率一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性的法則：設(shè)y=f(x )在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在( a, b)內(nèi)，f (x) >0,則f (x)在這個區(qū)間是單調(diào)增加的。如果在(a , b)內(nèi)，f (x) <0,則f (x)在這個區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，

4、當 f (x) =0 時，y= f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小 值。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念。導(dǎo)數(shù)另一個定義：當 x=x0時，f(x0)是一個確定的數(shù)。這樣，當 x變化時，f(x) 便是x的一個函數(shù)，我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivative function )(簡稱導(dǎo)數(shù))。.一，/ s 1-期JO)y - f S) = iim -'Mt。1y=f(x)的導(dǎo)數(shù)有時也記作y',即(如右圖)：物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。如，導(dǎo)數(shù)可以表示運動物體的瞬時

5、速度和加速度、可以表示曲線在一點的焚餐、還可以表示經(jīng)濟學(xué)中的邊際和 彈性。以上說的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認為是反映局部歐氏空間 的函數(shù)變化。為了研究更一般的 流形上的向量叢 截面(比如 切向量場)的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的<箜”。有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分幾何 與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一。注意：1.f(x)<0 是f(x)為減函數(shù)的充分不必要條件，不是充要條件。2.導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是。點。當函數(shù)為常值函數(shù)，沒有增減性，即沒有極值點。但導(dǎo)數(shù)為零。(導(dǎo)數(shù)為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點，如y=xA3中f &#

6、39;(0)=0 x=0的左右導(dǎo)數(shù)符號為正，該點為一般駐點。) 編輯本段求導(dǎo)數(shù)的方法(1 )求函數(shù) y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟: 求函數(shù)的增量Ay=f(x0+ A x)-f(x0)求平均變化率取極限，得導(dǎo)數(shù)。(2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C'=0(C為常數(shù)函數(shù))；(xAn)'= nxA(n-1) (n C Q)；(sinx)' = cosx ;(cosx)' = - sinx ;(tanx)'=1/(cosx)A2=(secx)A2(cotx)'=-1/(sinx)A2=-(cscx)A2(secx)'=tanxsecx(cscx)&

7、#39;=-cotxcscx(arcsinx)'=1/(1-xA2)Al/2(arccosx)'=-1/(1-xA2)Al/2(arctanx)'=1/(1+xA2)(arccotx)'=-1/(1+xA2) (shx)'=chx(chx)'=shx(thx)'=1/(chx)A2(coth)'=-1/(shx)A2(eAx)' = eAx ;(aAx)' = aAxlna (In 為自然對數(shù))(Inx)'= 1/x(In為自然對數(shù))(logax)'=(xIna)A(-l),(a>0 且 a

8、不等于 1)僅人1/2)'=2自人1/2)人(-1)(1/x)'=xA(-2)補充一下。上面的公式是不可以代常數(shù)進去的，只能代函數(shù)，新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往 忽略這一點，造成歧義，要多加注意。(3)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則(和、差、積、商) ：(u ±v)'=u' i'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/ vA2(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自 變量的導(dǎo)數(shù)-稱為鏈式法則。導(dǎo)數(shù)是微積分的一個重要的支柱。牛頓 及萊布尼茨 對此做出了卓

9、越的貢獻!編輯本段導(dǎo)數(shù)公式及證明這里將列舉幾個基本的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及它們的推導(dǎo)過程基本導(dǎo)數(shù)公式1 .y=c(c 為常數(shù))y-02 .y=xAn, y'=nxA(n-1)3 .(1)y=aAx ,y'=aAxlna ; (2)y=eAx y-eAx4 .(1)y=logaX, y-1/xlna (a>0 且 a 不等于 1 ,x>0); (2)y=lnx ,y'=1/x5 .y=sinx y-cosx6 .y=cosx y'=-sinx7 .y=tanx y'=1/(cosx)A28 .y=cotx y'=-1/(sinx)A29 .y=

10、arcsinx y-1/ V l-xA210 .y=arccosx y'=-1/ V l-xA211 .y=arctanx y'=1/(1+xA2)12 .y=arccotx y'=-1/(1+xA2)在推導(dǎo)的過程中有這幾個常見的公式需要用到：1 .y=fg(x ),y-fg(x)?g'(x)fg(x)中 g(x )看作整個變量，而 g'(x)中把 x 看作變量2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/vA23.y=f(x)的反函數(shù)是 x=g(y ),則有 y'=1/x'證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直

11、線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c, Ay=c-c=0,lim Ax-0Ay/Ax=0。2 .這個的推導(dǎo)暫且不證，因為如果根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實數(shù)的一般情況。在得到y(tǒng)=eAx y'=eAx和y=lnx y'=1/x這兩個結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。3 .y=aAx,Ay=aA(x+ Ax)-aAx=aAx(aA Ax -1)Ay/ Ax=aAx(aA Ax-1)/ Ax如果直接令A(yù)x0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個輔助的函數(shù)3= aAAx-1通過換元進行計算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：Ax=loga(1+

12、 3)。所以(aAAx-1)/ Ax= 3/loga(1+ 3 )=1/loga(1+ 341/ 3顯然，當 Ax 0時，3也是趨向于 0的。而lim 3 - 0(1+341/ 3 =e所以 lim 3 - 01/loga(1+ 341/ 3 =1/logae=lna把 這個結(jié) 果代入 lim Ax0Ay/Ax=lim Ax0aAx(aA Ax-1)/ Ax 后 得 到 lim Ax-0Ay/ A x=aAxlna可以知道，當 a=e時有y=eAx y'=eAx 。4 .y=logaxA y=loga(x+ Ax)-logax=loga(x+ Ax)/x=loga(1+ A x/x)A

13、x/xAy/ Ax=loga(1+ Ax/x4(x/ Ax)/x因為當Ax-0 時，Ax/x趨向于 0 而 x/Ax趨向于8, 所以lim Axf0loga(1+ A x/x4(x/A 卻logae,所以有l(wèi)im Ax-0Ay/ A 戶 logae/x 。也可以進一步用換底公式lim Ax-0Ay/ A 戶 logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)A(-1)可以知道，當 a=e時有y=lnx y'=1/x 。這時可以進行 y=xAn y'=nxA(n-1)的推導(dǎo)了。因為 y=xAn,所以 y=eAln(xAn)=eAnlnx,所以 y'

14、=eAnlnx?(nlnx)'=xAn?n/x=nxA(n -1)。5 .y=sinxA y=sin(x+ A x)-sinx=2cos(x+ Ax/2)sin( Ax/2)Ay/Ax=2cos(x+Ax/2)sin( Ax/2)/ Ax=cos(x+Ax/2)sin( Ax/2)/( Ax/2)所以 lim Ax-0Ay/ Ax=lim Axf0cos(x+ Ax/2)?lim Axf0sin( Ax/2)/( Ax/2)=cosx6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx 。7.y=tanx=sinx/cosxy'=(sinx)'cosx-sinx(

15、cosx)'/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x8.y=cotx=cosx/sinxy'=(cosx)'sinx-cosx(sinx)'/sinA2x=-1/sinA2x9.y=arcsinxx=siny x'=cosy y'=1/x'=i/cosy=i/ Vl -sinA2y=1/ V1 -xA2 10.y=arccosx x=cosy x'=-sinyy'=1/x'=-1/siny=-1/ V l-cosA2y=- 1/，原人211 .y=arctanx x=tany

16、x'=1/cosA2y y'=1/x'=cosA2y=1/secA2y=1/1+tanA2x=1/1+xA2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sinA2yy'=1/x'=-sinA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運用開頭的公式與12 y=u ± v,y'=u' ± v'13 y=uv,y=u'v+uv'

17、 均能較快捷地求得結(jié)果。對于 y=xAn y'=nxA(n-1), y=aAx y'=aAxlna有更直接的求導(dǎo)方法。y=xAn 由指數(shù)函數(shù)定義可知，y>0等式兩邊取自然對數(shù)In y=n*ln x 等式兩邊對 x求導(dǎo)，注意 y是y對x的復(fù)合函數(shù) y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* xAn / x=n * x a (n-1) 哥函數(shù)同理可證 導(dǎo)數(shù)說白了它其實就是斜率上面說的分母趨于零，這是當然的了，但不要忘了分子也是可能趨于零的，所以兩者的比就有可能是某一個數(shù)，如果分子趨于某一個數(shù)，而不是零的話，那么比值會很大可以認為是無窮大，也就

18、是我們所說的導(dǎo)數(shù)不存在x/x,若這里讓 X趨于零的話，分母是趨于零了，但它們的比值是1,所以極限為1.建議先去搞懂什么是極限.極限是一個可望不可及的概念，可以很接近它，但永遠 到不了那個岸.并且要認識到導(dǎo)數(shù)是一個比值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 函數(shù)的單調(diào)性(1) 利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性， 這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想一般地，在某個區(qū)間(a, b)內(nèi)，如果f(x) >0,那么函數(shù) y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x) v 0 ,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0

19、 ，則 f(x) 是常數(shù)函數(shù)注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f(x) >0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如 f(x)=x3 在 R 內(nèi)是增函數(shù)，但x=0 時 f'(x)=0 。也就是說，如果已知 f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f(x)>o0(2) 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟確定 f(x) 的定義域；求導(dǎo)數(shù)；由(或)解出相應(yīng)的x的范圍.當f(x) >0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當f(x) V 0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).2 函數(shù)的極值(1) 函數(shù)的極值的判定如果在兩側(cè)符號相同，則不是 f(x)的極值點；如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么，是極大值或極

20、小值3 求函數(shù)極值的步驟確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；在定義域內(nèi)求出所有的駐點，即求方程及的所有實根；檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么 f(x) 在這個根處取得極小值4 函數(shù)的最值(1) 如果 f(x) 在 a,b 上的最大值(或最小值)是在(a ， b) 內(nèi)一點處取得的，顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值) ，它是 f(x) 在 (a ， b) 內(nèi)所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的) ，但是最值也可能在 a ， b 的端點 a 或 b 處取得，極值與最值是兩個不同的概念(2) 求 f(x) 在 a ， b 上的最大值

21、與最小值的步驟求 f(x) 在 (a ， b) 內(nèi)的極值；將 f(x) 的各極值與f(a) ， f(b) 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最 小值5 .生活中的優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問 題，優(yōu)化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非?，F(xiàn)實的意義.這些問題通常可 以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問題.6 .實習(xí)作業(yè)本節(jié)內(nèi)容概括總結(jié)了微積分建立的時代背景，并闡述了其歷史意義，包括以下六 部分：(1)微積分的研究對象；(2)歷史上對微積分產(chǎn)生和發(fā)展的評價；(3)微積分產(chǎn)生的悠久歷史淵源；(4)微積分產(chǎn)生的具體的時

22、代背景；(5)牛頓和萊布尼茨的工作；(6)微積分的歷史意義.7. 注意事項(1)函數(shù)圖像看增減，導(dǎo)數(shù)圖像看正負。(2)極大值不一定比極小值大。(3)極值是局部的性質(zhì)，最值是整體的性質(zhì)編輯本段高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的求法1 .直接法：由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù) 一般用來尋找解題方法。2 .高階導(dǎo)數(shù)的運算法則-（越土 V）=-U ± -dzn dzn eAncP"d73 一於 d*'-（u-v） = V CrUrV （萊布尼茲公式）高階導(dǎo)數(shù)運算法則注意：必須在各自的導(dǎo)數(shù)存在時應(yīng)用(和差點導(dǎo)數(shù))3.間接法：利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過四則運算，變量代換等方法，注意：代換后函

23、數(shù)要便于求，盡量靠攏已知公式求出階導(dǎo)數(shù).常見高階導(dǎo)數(shù)的公式:即:士 q J ln“ a (a> 0)d爐即Z X-e = edkX）"血琮）(XJS(A£ 十)=kr CUb (Ar +。十71 - 1n.7rT)Hdi”R =/一71 （a - fc） （a > n,若修 罪且a？因則一丁。=k=o叱j )-3<1£及Tnarcm.rdxn次 Xi7： arccos J；drndn7T - 2r*Ty6r2：產(chǎn)-7；- arctan x 叱dnarccot xdxndn2門一】工"門2 相2-n22 n23 77. 口、- arccs

24、c .r =22,3 111 _ ,_B，2'x2:x2常見高階導(dǎo)數(shù)公式第十講 導(dǎo)數(shù)【考點透視】1 . 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌 握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念.2 .熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3 .理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最 小值.【例題解析】考點1導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，掌握

25、導(dǎo)數(shù)在一點處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.1例1. f(xf(x) x3 2x 1的導(dǎo)函數(shù)，則f ( 1)的值是.3考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計算等基礎(chǔ)知識和能力22解答過程Q f (x) x 2, f ( 1)12 3.故填3.例2.設(shè)函數(shù)f(x)。，集合“=3口刈0,P=x| f'(x)0,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是 x 1()A.(-8,1)b.(0,1)C.(1,+ 8) d. 1,+ oo)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力解答過程由_x_a 0,當a>1時,1 x a;當a<1時,a x 1. x 1a 1 門 20.x

26、 1/x a / x aQ y 7,y 7x 1x 1a 1.綜上可得M運P時，a1.考點2曲線的切線(1)關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P (x,y)的切線,即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.(2)關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線典型例題1 Q 1例3.已知函數(shù)f(x) -x3 -ax2 bx在區(qū)間1,1), (1,3內(nèi)各有一個極值點.322(I)求a 4b的最大值；(II)當a2 4b 8時，設(shè)函數(shù)y f(x)在點A(1, f(1)處的切線為l ,若l在點A處穿過函數(shù)y f (x)的圖象(即動點在點 A附近

27、沿曲線y f(x)運動，經(jīng)過點 A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè))，求函數(shù)f(x)的表達式.思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率解答過程：(I)因為函數(shù)f(x)1 312-x3 -ax2 bx在區(qū)間1,1), (1,3內(nèi)分別有一個極值點, 32所以f (x) x2 ax b 0在1,1), (1,3內(nèi)分別有一個實根,設(shè)兩實根為x1, x2 ( x1x2),則x2x1 Oa 4b，且 0 x2 x1 < 4 .于是2 >0 Ja2 4b <4,0 a2 4b w 16 ,且當 x,1, x2 3 ,即 a 2 , b 3 時等號 成立.故a2 4b的最大值是16.(II)解法一：由f (1

28、) 1 a b知f(x)在點(1, f(1)處的切線l的方程是，r2 1y f f . A 即 ¥ d ' b)x 2 2a,因為切線l在點A(1, f(x)處空過y f(x)的圖象,1,-a在x 1兩邊附近的函數(shù)值異號，則2ax a 1 (x 1)(x 1 a).2所以 g(x) f (x) (1 a b)x -x 1不是g(x)的極值點. / 、1312.而 g(x) x ax bx (1 a32g (x) x2 ax b (1 a b) x2若11 a,則x 1和x 1 a都是g(x)的極值點.所以 11 a,即 a 2,又由 a2 4b 8,得 b 1,故 f (x)

29、x3 x2 x .32 1斛法一：同斛法一得 g(x) f(x) (1 a b)x a3 212 3a3-(x 1)x(1 )x (2 -a).322因為切線l在點A(1, f(1)處穿過yf (x)的圖象，所以g(x)在x 1兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在 m(, m2 ( mi 1 m2).當日 x 1 時，g(x) 0,當 1 x m2時，g(x) 0;或當門 x 1 時，g(x) 0,當 1 x m2 時，g(x) 0.設(shè) h(x) x2當 mi x 1 時，h(x) 0,當 1 x m2時，h(x) 0；或當 mi x 1 時，h(x) 0,當 1 x m2時，h(x) 0.3a由h

30、(1) 0知x 1是h(x)的一個極值點，則h(1) 2 11 0, 2219所以 a 2 ,又由 a 4b 8 ,得 b 1,故 f (x) -x x x . 3例4.若曲線y x4的一條切線l與直線x 4y 8 0垂直，則l的方程為()B . x 4y 5 0D. x 4y 3 0考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力解答過程與直線x 4y 8 0垂直的直線l為4x y m 0,即y x4在某一點的導(dǎo)數(shù)為4,而 y 4x3,所以y x4在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點的切線為4x y 3 0.故選A.例5.過坐標原點且與 x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直線的方程為

31、()2A.y=-3x或 y=1x B. y=-3x 或 y=-1x C.y=-3x 或 y=-1 x D. y=3x 或 y=1x 3333考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力 解答過程解法1 :設(shè)切線的方程為y kx, kx y 0.又x 2 2 y 1 2 5,圓心為2, 21 k 3,k3.2k 152.,3k 8k 3 0. kk2 12y 1x,或 y33x.故選A.解法2:由解法1知切點坐標為(1，2,332), 2(x 2)22(x/yx2) 2 yx 2.y 11 V：0,/Vx1 3)2,23*2/Vx1 3x, y - x.3故選A.例6.

32、已知兩拋物線 G：y x2 2x,C2：y x2 a, a取何彳1時Ci , C2有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對C1: yx2 2x, C2：y x2a求導(dǎo)數(shù).解答過程：函數(shù)yx22x的導(dǎo)數(shù)為y' 2x2 ,曲線Ci在點P(x1,x122x1)處的切線方程為y (x12 2x1) 2(x1 2)(x x1)，即 y 2(x1 1)x x12曲線Ci在點Q(x2, x22 a)的切線方程是y ( x2 a)2x2 (x x2)即y2x2x x22 a若直線l是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是l的方程，故得x1 1 x2,x12x221 ,消去 x2得方程，2

33、x122x)1 a 0若=442(1a)0,即a 1時，解得x11,此時點P、Q重合.22，當時a 1，C1和C2有且只有一條公切線，由式得公切線方程為y x 1 .24考點3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時，應(yīng)高度重視以下問題：1.求函數(shù)的解析式；2.求函數(shù)的值域；3.解決單調(diào)性問題；4.求函數(shù)的極值(最值)；5.構(gòu)造函數(shù)證

34、明不等式.典型例題例7.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識 的應(yīng)用能力.解答過程由圖象可見，在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個極小值點.故選A.例8 .設(shè)函數(shù)f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在X 1及X 2時取得極值.(I )求a、b的值；(n)若對于任意的 x 0,3,都有f(x) c2成立，求c的取值范圍.a、思路啟迪：利用函數(shù)f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2時取得極

35、值構(gòu)造方程組求b的值.解答過程：(I) f (x) 6x2 6ax 3b,因為函數(shù)f(x)在x 1及x 2取得極值，則有f (1) 0, f (2) 0.H 6 6a 3b 0,即24 12a 3b 0.解得a 3 , b 4.(n)由(i)可知， f(x) 2x3 9x2 12x 8c, f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2).當 x (0 1)時，f (x) 0;當 x (1,2)時，f (x) 0；當 x (2,3)時，f (x) 0.所以，當 x 1 時，f(x)取得極大值 f (1) 5 8c,又 f(0) 8c, f(3) 9 8c.則當x 0,3時，f(x)的最

36、大值為f(3) 9 8c.2因為對于任息的x0,3 ,有f (x) c恒成立，所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9,因此c的取值范圍為(，1)U(9,).例9.函數(shù)y J2x-4 m丁的值域是 .思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法 求解較為容易。解答過程：由2x 4 0得，x 2,即函數(shù)的定義域為2,). x 3 0112x3 . 2x 4y' ,.,，2x 42 , x 32,2x 4 x 3又 2 無3 <2x 4 , 2x_8，2 x 3 ,2

37、x 4當 x 2時，y' 0,函數(shù)ykF VT飛在(2,)上是增函數(shù)，而f( 2)1, y 次7 f 飛的值域是1,).例10 .已知函數(shù)f x 4x3 3xf (x) cos cos ,其中x R,為參數(shù)，且02 .16(1)當時cos 0,判斷函數(shù)f x是否有極值；(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)f x在區(qū)間2a 1,a內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.考查目的本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解答過程(I )當

38、cos 0時，f(x) 4x3,則f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值 (口) f '(x) 12x2 6xcos ,令 f'(x) 0,得 x 0,x2 co；.由(I),只需分下面兩種情況討論.當 cos 0時，隨x的變化f'(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:x(,0)0(0,") 2cos2(吟)2f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x 竺處取得極小值f(cos),且“空-)二cos32222416要使 f (cos) 0 ,必有-cos (cos23) 0，可得 0 cos 2442由于c43故.311由 0 0

39、cos 一，叫一一或一一當時cos 0,隨x的變化，f'(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:xcos(,)cos2cos(,0)0(0,)f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x 0處取得極小值f(0),且f 3cos16若f(0) 0,則cos0 .矛盾.所以當cos 。時，f(x)的極小值不會大于零綜上，要使函數(shù)f(x)在()內(nèi)的極小值大于零，參數(shù) 的取值范圍為311L C,正).(III)解：由(II)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)與(儂，)內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a 1,a)內(nèi)是增函數(shù)，則 a須滿足不等式組由(II),參數(shù)時 (_

40、) (3_工)時，06, 22 , 6恒成立，必有2a 1直，即4幾a. 48綜上，解得a 0或4而a 1. 8所以a的取值范圍是(，0) 4百1).a1一 cos22s費.要使不等式2a 11cos關(guān)于參數(shù)22a -1 ,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.例 11.設(shè)函數(shù) f(x)=ax(a+1)ln(x+1),其中考查目的本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，函數(shù)的極值的判定，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力 解答過程由已知得函數(shù)f(x)的定義域為(1,)，且f'(x) "(a 1),x 1(1)當 1 a 0時，f'(x) 0,函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減,當a

41、 0時，由f'(x) 0,解得xf '(x)、f (x)隨x的變化情況如下表(1,-)af(x)極小值從上表可知當X ( 1%時，f'(x) 0,函數(shù)f(x)在(1%上單調(diào)遞減. aa當x (1,)時，f(x) 0,函數(shù)f(x)在(二)上單調(diào)遞增a'a，綜上所述：當1 a 0時，函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減當a 0時，函數(shù)f(x)在(1上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞增.aa，例12.已知函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx在點x0處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y f'(x)的圖象經(jīng)過點(1,0), (2,0),如圖所示.求：(I)%的值；(D)

42、 a,b,c 的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值 ，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能解答過程解法一：(I)由圖像可知，在 ,1上f'x 0,在1,2上f,x 0，在2,上 f' x 0,故f(x)在(-,1) , (2, + )上遞增，在(1,2)上遞減，因此f x在x 1處取得極大值，所以x0 1(口)f (x) 3ax2 2bx c,由 f'(1) =0, f(2) =0, f( 1) =5,3a 2b c 0, 12a 4b c 0, a b c 5, 解得 a 2,

43、b9,c 12.解法二：(I)同解法一(n)設(shè) f (x) m(x 1)(x 2) mx2 3mx 2m,又 f (x) 3ax2 2bx c,所以 a m,b 3m,c 2m 32m 332|f(x) xmx2mx,32由 f(1) 5,即 m 3m 2m 5,得 m 6, 3 2所以 a 2,b9,c 12例13 .設(shè)x 3是函數(shù)f xx2 ax be3 x x R的一個極值點.(I)求a與b的關(guān)系式(用a表示b),并求f x的單調(diào)區(qū)間；(n)設(shè)a。，gx a2空ex.若存在i, 2 0,4使彳導(dǎo)f 1g 21成立，求a的取值范4圍.考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考

44、查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.解答過程(I) f '(x) =- x2+(a-2)x+b-a e3 x,由 f'(3)=0,得 一32 + (a2)3 + ba e3 3=0,即得 b=- 3-2a,則 f'(x) = x2+(a 2)x32a a e3 x=x2+(a 2)x 3 3a e3 x= (x 3)(x+a+1)e3 x.令f '(x) = 0,得*1=3或*2=2 1,由于x = 3是極值點，所以 x+a+ 1 w 0,那么 aw 4.當 a< 4 時，x2>3 = x1,則在區(qū)間(一00,3)上，f '(x) <0

45、, f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間(3, a1)上，f '(x)>0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(一a 1, +°°)上，f '(x) <0 , f (x)為減函數(shù).當 a> 4 時，x2<3 = x1,則在區(qū)間(一巴 a1)上，f '(x) <0 , f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間(a 1, 3)上，f '(x)>0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(3, +°°)上，1僅)<0,£僅)為減函數(shù).(n)由(I)知，當 a>0時，f (x)在區(qū)間(0, 3)上的單調(diào)遞增，

46、在區(qū)間(3, 4)上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0, 4上的值域是min(f (0) , f (4) ), f (3),而 f(0)= (2a+3) e3<0, f (4) = (2a+13) e 1>0, f (3) = a + 6,那么f (x)在區(qū)間0, 4上的值域是(2a+ 3) e3, a+ 6.又g(a2 25)ex在區(qū)間0，4上是增函數(shù), 4且它在區(qū)間0, 4上的值域是a2+25,(a2+ 25 ) e4,由于(a2+ 25 ) ( a + 6) = a2a +2=2>0,所以只須僅須(a2+生)(a+6)4<1且a>0,解得0<a<

47、3.2故a的取值范圍是(03).2例14已知函數(shù)f(x)1 3ax3bx2 (2b)x 1在x Xi處取得極大值,X2處取得極小值，且0 X11 X2 2 .(1)證明a 0 ；(2)若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x) ax2 2bx(I)由函數(shù)f (x)在x Xi處取得極大值，在*2處取得極小值，知X1, *2是f (x) 0的兩個根.所以f (x)a(x x1)(x x2)x %時,f (x)為增函數(shù),x10.(H)在題設(shè)下,x1 1x22等價于(0)2b4a4b2 b化簡彳導(dǎo)a 3b4a 5b 2此不等式組表示的區(qū)域為平面aOb上三條直線：2b 0,

48、3b 20,4a所圍成的 ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為:z在這三點的值依次為但,6,8 .7所以z的取值范圍為,8 .7小結(jié)：本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性規(guī)劃有機結(jié)合.考點4導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用建立函數(shù)模型，利用典型例題例15.用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2: 1,問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.解答過程設(shè)長方體的寬為18 12xh - 4.5 3x(m)故長方體的體積為22V(x) 2x2 (4.5 3x) 9x2從而 V(

49、x) 18x 18x2(4.5令 V' (x)當 0vxv1x (m),則長為2x(m),高為0<x<-.23336x3(m3)(0< xv -).3x) 18x(1 x).=0,解得x=0 (舍去)或x=1 ,因此x=1.時，V' ( x) >0;當 1vxv2 時，V' (x) < 03故在x=1處V (x)取得極大值，并且這個極大值就是V (x)的最大值。從而最大體積 V = V' (x) =9X12-6X13 ( m3),此時長方體的長為2 m ,高為1.5 m.答：當長方體的長為 2 m時，寬為1 m ,高為1.5 m時，

50、體積最大，最大體積為3 m 3。例16.統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗100千米.油量y (升)關(guān)于行駛速度 x (千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:y _x3 Ax 8(0 x 120)已知甲、乙兩地相距 12800080(I)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(II)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力解答過程(I)當x 40時，汽車從甲地到乙地行駛了100 25小時，40要耗沒(1 403 40 8) 2.5 17.5

51、 (升). 12800080答：當7車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。(II)當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了100小時，設(shè)耗油量為 h(x)升，依x題思、得h(x)(康3、100x 8). 80 x1280015 小,cc、x一(0x120),1280x4h'(x)x 800640 x2x3 803640x2(0x 120).令 h'(x) 0,得 x 80.當 x (0,80)時，h'(x) 0,h(x)是減函數(shù)；當 x (80,120)時,h'(x) 0,h(x)是增函數(shù).當x 80時，h(x)取到極小值h(80

52、) 11.25.因為h(x)在(0,120上只有一個極值，所以它是最小值答：當7車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25 升.【專題訓(xùn)練】、選擇題1. y=esinxcos(sin x),貝U y' (0)等于()A.0B.1C. 1D.22.經(jīng)過原點且與曲線 y=二_9相切的方程是(x 5A.x+y=0 或 _x_+y=025B.x y=0 或 _x_ +y=025C.x+y=0 或 _x_ y=025D.x y=0 或 _x_ y=03.設(shè)f(x)可導(dǎo),且f'(0)=0,又 limx 0L(x.=1，則 f(0)()A.可能不是f(x)的極

53、值B. 一"定是 f(x)的極值C. 定是 f(x)的極小值D.等于04.設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1 x)n(n為正整數(shù)),則fn(x)在0,1上的最大值為()A.0B.1 C. (1 _2_)nD. 4()n12 nn 25、函數(shù) y=(x2-1) 3+1 在 x=-1 處()A、有極大值B、無極值 C、有極小值D、無法確定極值情況6.f(x)=ax 3+3x2+2, f (-1)=4 ,則 a=()A、！0 B、13C、16D、史33337 .過拋物線y=x2上的點M (1 1)的切線的傾斜角是()2 4A、300B、450 C、600D、9008 .函數(shù)f(x)=x 3-6

54、bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù) b的取值范圍是()A、(0, 1) B、(-8, 1) C、(0, +oo) d、(0, 1)29 .函數(shù)y=x3-3x+3在3芻上的最小值是()2 1 2A、89B、1C、芝D、58810、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c ,且 f(0)=0 為函數(shù)的極值，則()A、cw0 B、當a>0時，f(0)為極大值C、b=0 D、當a<0時，f(0)為極小值11、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是()A、(2, 3)B、(3, +8)C、(2, +8)D、(-巴 3)12、方程6x5-15x4+10x3 + 1=0的實數(shù)解的集合中()A、至少有2個元素B、至少有3個元素C、至多有1個元素 D、恰好有5個元素二、填空題13 .若 f' (xo)=2, lim f(x0 k) f(x0) =. k o2