高中數(shù)學(xué)講義函數(shù)的應(yīng)用包含答案

1、學(xué)員日校：XX中學(xué)年 級：高三課時數(shù)：4學(xué)員姓名：XXX輔導(dǎo)科目：文科數(shù)學(xué)學(xué)科教師：XX學(xué)科組長簽名組長備注課題函數(shù)的應(yīng)用授課時間：2011年10月07日08: 0010: 002011年 10 月 16 日 08 : 0010: 00備課時間：2011彳尹10月04日教學(xué)目標(biāo)1 .能利用函數(shù)的知識解決方程、不等式等簡單問題。2 .能建立函數(shù)模型解決簡單的實際問題。3 .理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想、 換元法、彳寺定系數(shù)法、分離參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。重點、難點1.厘清題意，找出隱含的函數(shù)關(guān)系?？键c及考試要求1.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性

2、質(zhì)解決某些簡單的實際問 題。教學(xué)內(nèi)容【上節(jié)課回顧】函數(shù)的最值【知識點講解】一、應(yīng)用題的常見題型及對策1 .與函數(shù)、方程（組）、不等式（組）有關(guān)的題型常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、土地等實際問題，也常常涉及角度、長度、面積、造價、利潤 等最優(yōu)化問題。解決這類問題一般要利用數(shù)量關(guān)系，列出有關(guān)解析式，然后運用函數(shù)、方程、不等式等有關(guān)知識 和方法加以解決，尤其對函數(shù)最值、均值定理用得較多。2 .與數(shù)列有關(guān)的問題常涉及到產(chǎn)量、產(chǎn)值、繁殖、利息、物價、增長率、植樹造林、土地沙化等有關(guān)的實際問題。解決這類問題常構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列（無窮遞增等比數(shù)列），利用其公式解決或通過遞推歸納 得到結(jié)論，再利用數(shù)列知識

3、求解。3 .與正、余弦定理及三角變換有關(guān)的題型常涉及實地測量、計算山高、河寬、最大視角等。4 .與排列、組合有關(guān)的問題運用排列、組合等知識解決。5 .與概率、統(tǒng)計有關(guān)的應(yīng)用問題6 .與空間圖形有關(guān)的問題常與空間觀測、面積、體積、地球的經(jīng)緯度等問題有關(guān)。解決此類問題常利用立體幾何、三角方面的有關(guān)知識。7 .與直線、圓錐曲線有關(guān)的題型常涉及定位、人造地球衛(wèi)星、光的折射、反光燈、橋梁、線性規(guī)劃等實際問題。常通過建立直角坐標(biāo)系，運用解析幾何知識來解決。這里主要談一談第一類問題，也會涉及到其他幾類問題。二、考點分析：函數(shù)的應(yīng)用是新課標(biāo)高考的重點知識，因此在復(fù)習(xí)時關(guān)鍵是掌握利用函數(shù)的知識解決問題的思想 與

4、方法。建立函數(shù)模型解決簡單的實際問題是新課標(biāo)高考考查學(xué)生應(yīng)用意識的主要載體，因此要掌握 實際問題的建模方法與步驟才能突破解題的難點。對這部分知識考查的題型很靈活，主、客觀題都會 出現(xiàn)對函數(shù)應(yīng)用的考查。利用函數(shù)知識解決方程、不等式等問題的數(shù)學(xué)思想和方法1 .數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等。2 .數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、分離參數(shù)法等。建立常見的函數(shù)模型解決實際問題的步驟常見的函數(shù)模型：一 次函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、y x a模型（對勾函數(shù)模型）、線性規(guī)劃模型。 x一般步驟：讀題 建模 解模 還原實際問題【經(jīng)典例題與解題技巧】題

5、型一 一次、二次函數(shù)模型【例11某家報刊售點從報社買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.5元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社。在一個月（30天）里，有20天每天可以賣出400份，其余每天只能賣出250份。設(shè)每天從報社買進的報紙的數(shù)量相同，則每天應(yīng)從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算該銷售點一個月最多可賺多少元？分析：每月所賺的錢=報報收入的總價一付給報社的總價。而U入的總數(shù)分為三部分：在賣出400份的20天里，收入為0.5x 20;在可賣出 250份的10天里在x份報紙中，有 250份報紙可賣出，收入為0.5 250 10;沒有賣掉的（x 250）

6、份報紙可退回報社，報社付出（x 250） 0.08 10的錢。注意寫出函數(shù)式的定義域?！窘狻吭O(shè)每天應(yīng)從報社買x份，易知250 x 400。設(shè)每月賺y元，得：y 0.5x 20 0.5 250 10 （x 250） 0.08 10 0.35x 300.3x 1050,x 250,400因為y 0.3x 1050在其定義域上為增函數(shù),所以，當(dāng)x 400時，每月所獲的利潤最大，最大值為y max120 1050 1170 （元）。答：每天應(yīng)從報社買進400份，才能使每月所獲的利潤最大，每月可賺 1170元?！咀ⅰ楷F(xiàn)實生活中很多事例可以用一次函數(shù)模型表示，例如：勻速直線運動的時間和位移的關(guān)系，彈 簧的

7、伸長和拉力的關(guān)系等，對一次函數(shù)來說，當(dāng)一次項系數(shù)為正時，表現(xiàn)為勻速增長，即為增函數(shù)，一次項系數(shù)為負時為減函數(shù)。【例2】某工廠生產(chǎn)的商品A,若每件定價為80元，則每年可銷售80萬件，政府稅務(wù)部門對市場銷 售的商品A要征收附加稅，為增加國家收入又要有利于生產(chǎn)發(fā)展，必須合理確定稅率，根據(jù)市場調(diào)查，若政府對商 品A征收附加稅率為p%時，每年銷售額將減少10P萬件。據(jù)此，試問：(1)若稅務(wù)部門對商品A征收的稅金不少于96萬元，求p的范圍；(2)若稅務(wù)部門僅僅考慮每年所獲得的稅金最高，求此時 p的值。分析：將稅務(wù)部門對商品A征收的稅金表示出來，注意考慮一些實際情況?！窘狻?1)設(shè)每年征收的稅金為y萬元，則

8、y 80(80 10p)p%,P 0由題意得：80 10p 0,80(80 10p)p% 96解之得：2 P 6。所以，p的范圍是2,6。(2)由題意知：p 0,80 10p 0由 y 80(80 10p)p%8( p 4)2 128,當(dāng) p 4時，ymax 128。答：當(dāng)稅率為4%寸，稅務(wù)部門獲得最高稅金128萬元?！咀ⅰ吭诘诙柤炊魏瘮?shù)求最值問題，一定要注意隱含條件80 10p 0。所以應(yīng)用題中變量的取值范圍是一個非常值得重視的問題?！拘〗Y(jié)】二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值，解決實際中的 最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意 自變量的取值范圍，根據(jù)圖象

9、的對稱軸與定義域在數(shù)軸上 表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解.。題型二 指數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)模型【例3】例3某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬人，如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y (萬人)與年份x (年)的函數(shù)關(guān)系；(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到 0.1萬人)；(3)計算大約多少年以后該城市人口將達到 120萬人(精確到1年)；(4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年增長率應(yīng)該控制在多少？分析：本題為人口增長率問題，可以通過計算每年的城市人口總數(shù)與年份的關(guān)系，從而得到一般規(guī) 律?！窘狻?1) 1年后該城市人口總數(shù)為：y 100 100 1.2%

10、 100 (1 1.2%),2年后該城市人口總數(shù)為：y 100 (1 1.2%) 100 (1 1.2%) 1.2% 100 (1 1.2%)2,3年后該城市人口總數(shù)為：y 100 (1 1.2%)2 100 (1 1.2%)2 1.2% 100 (1 1.2%)3,x年后該城市人口總數(shù)為：y 100 (1 1.2%) x o(2) 10年以后該城市人口總數(shù)為：y 100 (1 1.2%)10 112.7 (萬)。(3)設(shè)x年以后該城市人口將達到120萬人，即 100 (1 1.2%)x 120,x log1.012 1.2 15 (年)。(4)設(shè)年增長率為x,依題意有：100 (1 x)20

11、 120,即(1 x)20 1.2,由計算器計算得：1 x 1.009,x 0.009 0.9%,即年增長率應(yīng)控制在0.9%以內(nèi)?！拘〗Y(jié)】在實際問題中有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y=N(1+p7(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)和幕函數(shù)模型y=a(1+x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長 率，n為時間)的形式。解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應(yīng)求解.o題型三分段函數(shù)模型【例4】通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課 開始時，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的

12、注意力開始分散，設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t (分鐘)的變化規(guī)律(f(t)越大，表明學(xué)生注意力越大)，經(jīng)過實驗分析得知：2_t 24t 100,0 t 10f(t) 240,10 t 20,7t 380,20 t 40(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能堅持多少分鐘？(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中？(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達到180,那么經(jīng)過適當(dāng)安排， 老師能否在學(xué)生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？分析：對于分段函數(shù)，分別求出f(t)各段中的最大值，通過比較就可以求出 f(t)的最大值?！窘狻?1)當(dāng)

13、 0 t 10 時，f(t)t2 24t 100 (t 12)2 244 是增函數(shù)，且 f(10) 240。當(dāng) 20 t 40 時，f(t) 7t 380 是減函數(shù)，且 f (20) 240。所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能堅持 10分鐘。(2) f (5) 195, f (25) 205,所以，講課開始后25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后 5分鐘更集中。(3)當(dāng)0 t 10 時，令f(t)t2 24t 100180,則 t4。當(dāng) 20 t40 時，令 f(t) 7t380 180,則t 28.57。所以，學(xué)生白注意力在180以上所持續(xù)的時間28.57 4 24.57 24。所

14、以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生達到所需的狀態(tài)下講授完這道題目?！咀ⅰ浚簩τ谝恍┹^復(fù)雜的問題，有時僅構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型還不能根本解決問題，需先后或年同時構(gòu)造、利用幾個函數(shù)模型，即分段函數(shù)模型方可?！纠?】某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格P （元）與時間t （大）組成序數(shù)對（t, P）,點（t, P） 在圖中的兩條線段上，該股票在 30天內(nèi)（包括第30天）的日交易量Q （萬股）與時間t （大）的部分 數(shù)據(jù)如下面的圖表所示：（1）根據(jù)題目提供的圖象，寫出該種股票每股交易價格P （元）與時間t （大）的函數(shù)關(guān)系式。（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)確定日交易量 Q （萬股）與時間t （大）的一次函數(shù)關(guān)系式。（3）在

15、（2）的結(jié)論下，用y （萬元）表示該股日交易額，寫出 y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出這 30天中第幾日的交易額最大？最大值是多少？分析：（1）由圖知：P與t的關(guān)系式是分段函數(shù)，每段都是一次函數(shù)圖象的一部分。由待定系數(shù)法求 出函數(shù)解析式。（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)知：由于 Q與t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，同樣可由待定系數(shù)法求出。（3）日交易額v= PQ,用分段函數(shù)表示，根據(jù)二次函數(shù)知識求最值?！窘狻浚?）由圖象知A （0, 2）, B （20, 6）, C （30, 5）,設(shè)AB: P= kt+b,把A, B兩點坐標(biāo)代入P1 一 一.1= kt+b 得：k -,b 2,故當(dāng) 0 t 20,t N 時，P -

16、t 25 51 一同理可求 BC: Pt 8 ( 20 t 30),t N101t 2,(0 t 20),t NP 51t 8,(20 t 30),t N10(2)設(shè) Q at b (a, b 為常數(shù))，把(4, 36), (10, 30)代入得 a= 1, b = 40故 Q 40 t.(0 t 30), t N1(t 2)(40 t),(0 t 20), t N(3)由(1) (2)得：y 51(t 8)(40 t),(20 t 30), t N101 21 t2 6t 80,(0 t 20), t N5y 1 2iQt2 12t 320,(20 t 30),t N1 c若 0 t 20,

17、當(dāng) t = 15 時，ymax 125,若 20 t 30 時，y t2 12t 320,10在區(qū)間( 20, 30上遞減，故當(dāng)t=20時，ymax 120故第15日交易額最大，最大值是125萬元?！拘〗Y(jié)】(1)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各 段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值。(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理不重不漏。題型四對勾函數(shù)模型【例6】(2011閘北一模)據(jù)測算：2011年，某企業(yè)如果不搞促銷活動，那么某一種產(chǎn)品的銷售量只能是1萬件；如果搞促銷活動，那么該產(chǎn)品銷售量(亦即該產(chǎn)品

18、的年產(chǎn)量)m萬件與年促銷費用x萬2兀(x 0)滿足m 3 .已知2011年生產(chǎn)該產(chǎn)品的前期投入需要 8萬兀，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品 x 1需要再投入16萬元，企業(yè)將每件該產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(定價不考慮促銷成本).(1)若2011年該產(chǎn)品的銷售量不少于2萬件，則該產(chǎn)品年促銷費用最少是多少？(2)試將2011年該產(chǎn)品的年利潤y (萬元)表示為年促銷費用x (萬元)的函數(shù)，并求2011年的最大利潤.【解】（1）由題意，有m 322, .3x 1解得x 1 .所以，則該產(chǎn)品年促銷費用最少是 1萬元. .4分（2）由題意，有每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5 8-m （元），m所以，20

19、11 年的利潤 y m 1,5 8 16m (8 16m x)m4 8m x4 8 (3 x2 1) x“16八28 x 紛x 1因為 x 0,6-(x 1) 8,x 1所以 y 耳（x 1） 298 29 21 ,4 分x 1當(dāng)且僅當(dāng)6- x 1,即x 3 （萬元）時，利潤最大為21萬元. .1分x 1題型五三角函數(shù)模型【例7】已知某海濱浴場的海浪高度 y （米）是時間t（0<t<24,單位小時）的函數(shù)，記作y=f（t）,下 表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)t03691215182124y1.51. 00.51.01.4910.5 10.9 91.5經(jīng)長期觀測y=f的曲線可近似地看成函數(shù)y

20、=Acosco t+b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù) y=Acosco t+b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達式；（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi) 的上午8: 00至晚上20: 00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動.【解】(1)由表中數(shù)據(jù)，知T=12,=2_ _. T 6由 t =0,y=1.5 得 A+b=1.5.1 1由 t=3y=1.0，得 b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅 A=, . y=cost 12 261(2)由題息知，當(dāng)y>1時,才可對/中浪者開放.'- -cost 1>1, cos 1>

21、;0. 266 .2kTt t 2k ， 262即有 12k- 3<t<13k+3.由 00t&24,故可令 k=0,1,2，得 0&t<3或 9Vt<15 或 21<t024.在規(guī)定時間內(nèi)有6個小時可供沖浪者運動即上午 9: 00至下午15: 00.題型六線性規(guī)劃模型【例8】某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q,該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件, 月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個A、2個B,組裝一件Q產(chǎn)品要6個A、8個B,該廠在 某個月能用的A零件最多14000個；B零件最多12000個.已知P產(chǎn)品每件利潤100

22、0元，Q產(chǎn)品每件2000元，欲使 月利潤最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤多少萬元.【解】設(shè)分別生產(chǎn)P、Q產(chǎn)品x件、y件，則有0 x 2500依題意有 4x 6y 1400。貝第 2x 3y 7。設(shè)利潤 S=1000x+2000y=1000(x+2y)0 y 12002x 8y 12000x 4y 6000要使利潤S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2 m+n)+y(3 m+4n)2m n 13m 4n 22 m51 n -52 1有 x+2y= _ (2x+3y)+ (x+4y)55< 2 X 7000+1 X 6000.55當(dāng)且僅當(dāng)

23、2X 3y 7000解彳3x 2000時取等號，此時最大利潤Smax=1000(x+2y)x 4y 6000 y 1000=4000000=400萬元).另外此題可運用“線性規(guī)劃模型”解決.【小結(jié)】有關(guān)線性規(guī)劃的題目，往往可以通過構(gòu)造不等式來解決，用不等式的方法能夠有所簡便， 節(jié)約做題時間。除非題目要求用線性規(guī)劃的方法解題，否則我們常常構(gòu)造不等式解決。失誤與防范1 .函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯誤.所以，正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.2 .要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域.3 .注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性.【課堂練習(xí)】

24、二次函數(shù)1 .某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每 增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.(I)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？(n)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(I)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為3600 3000 12,所以這時租出50了 88輛車.(n)設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為:f x 100x 3000 “c. x 15050x 300050整理得:x2f

25、x162x502100012_ x 4050307050 50所以，當(dāng)x 4050時,f x最大，最大值為307050.即當(dāng)每輛車白月租金定為 4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是 307050元.幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)2 .燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的專家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為 函數(shù)v 510g2 O,單位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量。10(1)計算，當(dāng)燕子靜止時的耗氧量是多少個單位?(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少?解：(1)由題意，當(dāng)燕子靜止時，它的速度 v 0,所以，0 51og 2 O , 10解得：O 10

26、個單位。(2)由耗氧量是O 80得:80v 51og2 - 51og2 8 15(m/s)。103 .醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行 實驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表 .已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù) 超過108的時候小白鼠將死亡.但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%.(1)為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？(精確到天)(2)第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？(精確到大)已知：lg2=0.3010.天數(shù)t病毒細胞總數(shù)N11223448516632764解：

27、（1）由題意病毒細胞關(guān)于時間n的函數(shù)為y 2n 1,則由2n1 108,兩邊取對數(shù)得（n 1）lg2 8, n 27.5,即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細胞為226 2% ,再經(jīng)過X天后小白鼠體內(nèi)病毒細胞為226 2% 2x,由題意226 2% 2、W 108,兩邊取對數(shù)得26lg2 lg2 2 xlg2 8,得 x 6.2,故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第 33天注射藥物.分段函數(shù)4 .某隧道長2150米，通過隧道的車速不能超過 20m/s, 一個由55輛車身長都是10米的同一車型組成的車隊勻速通過隧道（這種型號的車能行駛的最高速度是

28、40m/s）。設(shè)車隊的行進速度為xm/s,根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)0 x 10時，相鄰兩車之間保持20米的1c 1距離，當(dāng)10 x 20時，相鄰兩車之間保持（1x2 1x）m的距離，自第一輛車的車頭進入隧道到最63后一輛車的車尾離開隧道所用的時間是 y （s）0(1)將y表示成x的函數(shù)。(2)求車隊通過隧道所用時間的最小值及此時車隊的速度。(£ 1.73)思路分析：(1)根據(jù)已知：要分0 x 10和10 x 當(dāng)0 x 10時，注意此時車隊通過隧道的距離是：20兩種情形進行討論。表示成分段函數(shù)的形式。2150+10 55 20 (55 1) 3780(m)當(dāng)10 x 20時車隊通過隧道

29、的距離為:1 212150 10 55 ( x x) (55 1)63(2)分段求出最小值進行比較。解：(1)當(dāng)0 x 10時，車隊通過隧道的距離為:2150+10 55 20 (55 1) 3780(m)此時y3780當(dāng)10x 20時，車隊通過隧道的距離為:2150121、， 八10 55 (x-x) (55 1)63此時y2700 9x 183780,(0 x 10) x2700 9x 18,(10 x 20) x(2)當(dāng)0 x 10時,在x=10時,ymin378010378(s)當(dāng)10x 20 時，y27009x 18 x2700 9x 18 18 180、3 329.4(s)ymin

30、 329.4m/s當(dāng)且僅當(dāng) 27。9x即x 17.3(m /s), x378 329.4,當(dāng)x 17.3m/s時，車隊通過隧道的時間最短。二次函數(shù)、對勾函數(shù)5 .某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，該機床開始盈利(盈利額為正值)；(3 )使用若干年后，對機床的處理方案有兩種：(i )當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，以 30萬元價格處理該機床；(ii )當(dāng)

31、盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為合算？請 說明你的理由.解：本例兼顧應(yīng)用性和開放性，是實際工作中經(jīng)常遇到的問題.(1) y 50x 12x x(X 1) 4 982= 2x2 40x 98.(2)解不等式2x2 40x 98 >0,得 10 5T<x< 10 式1.: x e N,3 <x< 17.故從第3年工廠開始盈利.(3) (i) y 2x 40 98 40 (2x 98)xxx<40 2 2 98 12當(dāng)且僅當(dāng)2x 98時，即x=7時，等號成立. x到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12X7+30=11

32、4萬元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2 (x-10) 2+102,當(dāng) x=10 時，yma尸102.故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實際應(yīng)用題，二、三元均值不等式是常用的工具.6. (2011長寧一模)為了降低能源損耗，最近上海對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某幢建筑物要建造可 使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用 C (單位:萬元)與隔熱層厚度x (單位：cm)滿足關(guān)系：C x0 x 10 ,若不建隔熱層，每年能源3x 5消耗費用為8萬元.設(shè)f x為隔熱層建造費用與20年的能

33、源消耗費用之和.(1)求k的值及f x的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f x達到最小，并求最小值.解：(1)當(dāng) x 0時，c 8, k 40, 2分-40.20 40800C(x) , f(x) 6x 6x (0 x 10)。3x 53x 5 3x 5 6分(2) f(x) 2(3x 5) -80 10,3x 5 8分I設(shè) 3x 5 t,t 5,35, y 2t 800 10 2d2t 曬 10 70, t- t10 分當(dāng)且僅當(dāng)2t 翠，即t 20時等號成立。這時x 5,因此f(x)最小值為70。12 分所以，隔熱層修建5cm厚時，總費用f x達到最小，最小值為70萬元. 13分三角函

34、數(shù)7. (2011黃浦一模)如圖4,某市擬在長為16km的道路OP的一側(cè)修建一條自行車賽道，賽道的前一部分為曲線OSM , 該曲線段為函數(shù)y Asin x(A 0,0, x 0,8)的圖像，且圖像的最高點為S(6,4J3).賽道的后一段為折線段MNP,為保證參賽隊員的安全，限定 MNP 120o.圖4(1)求實數(shù)A和 的值以及M、P兩點之間的距離；(2)聯(lián)結(jié)MP,設(shè)NPM , y MN NP ,試求出用表示y的解析式；(3)(理科)應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段 MNP最長？(文科)求函數(shù)y的最大值.2一 6解：(1)結(jié)合題意和圖像，可知 4,Asin6 4%3解此方程組，得12 ,于是y 43A

35、4 3sinx(x 0,8).12x 8進一步可得點M的坐標(biāo)為 廣 8y 4 3sin 12所以，MP ,.(816)2 (6 0)2 10(km).在MNP中,MNP 120°, NPM+，MN,故sinNPMP又MP10,因此,20y-sin,320°°一 sin(60 ) (060°).(3)把 y20 sin 20sin(60° .3.3)進一步化為:sin(60°)sin120°200sin(60°) (0°360°).所以，當(dāng)30°時，ymax20"3噂km).

36、3可以這樣設(shè)計：聯(lián)結(jié)MP,分別過點M、P在MP的同一側(cè)作與MP成30°角的射線，記兩射線的MNP賽道.交點為N,再修建線段NM和NP,就可得到滿足要求的最長折線段線性規(guī)劃8.已知甲、乙、丙三種食物的維生素 A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.(I )用x, y表示混合食物成本c元； (H)確定x, y, z的值，使成本最低.所以，c 400 7x 5y .4x 6y 3203x y 130'解：(I)由題，c 11x 9 y 4z,又 x y z 1

37、00 ,600x 700y 400z 56000(H)由，及z 100 x y行，800x 400y 500z 63000所以,7x 5y 450.所以，c 400 7x 5y 400 450 850,當(dāng)且僅當(dāng)4x 6y 320即x 50時等號成立. 3x y 130 y 20所以，當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低，為 850元.點評：本題為線性規(guī)劃問題，用解析幾何的觀點看，問題的解實際上是由四條直線所圍成的區(qū)域 x 0 y 0上使得c 400 7x 5y最大的點.不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)在點 M (50, 20)處取得.4x 6y 3203x y 130【課后作業(yè)】1. (2

38、011靜安一模)右圖給出了某種豆類生長枝數(shù) y (枝)與時間t (月)的散點圖，那么此種豆類生長枝數(shù)與時間的關(guān)系用下列函數(shù)模型近似 刻畫最好的是(D)(A)y 2t2;(B)y 10g2匕 (C) y t3；(D) y 2t.10%-20% 的2. (2011靜安一模)生物學(xué)指出：生態(tài)系統(tǒng)中，在輸入一個營養(yǎng)級的能量中，大約只有 能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級，在 Hi H2 H3 H4 H5 H6這條生物鏈中，若能使H6獲得10KJ 的能量，則需要Hi提供的最少的足夠的能量是（C ）（A） 104KJ;（B） 105KJ ;（C） 106KJ;（D） 107KJ.3. （2010松江二模）汽車的最

39、佳使用年限是使年均消耗費用最低的年限（年均消耗費用二年均成本費+年均維修費）.設(shè)某種汽車的購車的總費用為 50000元；使用中每年的保險費、養(yǎng)路費及汽油費合計 為6000元；前x年的總維修費y滿足y ax2 bx ,已知第一年的維修費為1000元，前二年總維修費 為3000元.則這種汽車的最佳使用年限為 . 104. （2011奉賢二模）用2平方米的材料制成一個有蓋的圓錐形容器，如果在制作過程中材料無損耗，且材料的厚度 忽略不計，底面半徑長為x,圓錐母線的長為y（1）、建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（6分）（2）、圓錐的母線與底面所成的角大小為 一，求所制作的圓錐形容器容積多少立

40、方米（精確到0. 01m3）3（6分）O4.解：（1）x2xy 22 x22 x2x y x , 0 x 1x(2)依題意，作圓錐的高SOSAO是母線與底面所成的線面角,設(shè)圓錐高hx cos3 y12'2xV 3x2h:j333x 0.99m311分答：所制作的圓錐形容器容積0.99立方米12分5. (2011閔行二模)某工廠因排污比較嚴(yán)重，決定著手整治，一個月時污染度為60,整治后前四個月的污染度如下表;月數(shù)1234污染度6031130污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現(xiàn)用下列三個函數(shù)模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式：f(x) 20 |x 4|(x 1), g(

41、x) 20(x 4)2(x 1), h(x) 30110g?x 2|(x 1),其中 x 表示月數(shù)， 3f(x)、g(x)、h(x)分別表示污染度.(1)問選用哪個函數(shù)模擬比較合理，并說明理由;60?(2)若以比較合理的模擬函數(shù)預(yù)測，整治后有多少個月的污染度不超過（3分）5.解：（1） Qf（2） 40,g（2） 26.7,h（2） 30f(3) 20,g(3) 6.7, h(3) 12.5(6 分)由此可得h(x)更接近實際值，所以用h(x)模擬比較合理.(7分)(2)因h(x) 30110g2x 2|在x 4上是增函數(shù)，又因為h(16) 60(12分)故整治后有16個月的污染度不超過60.

42、(14分)6. (2010嘉定一模)如圖，學(xué)校現(xiàn)有一塊三角形空地， A 600 , AB 2, AC 3 (單位：m),現(xiàn)要在此空地上種 植花草，為了美觀，用一根條形石料 DE將空地隔成面積相等的兩部分(D在AB上，E在AC上).(1)設(shè)AD x , AE y,求用x表示y的函數(shù)y f(x)的解析式，并寫出f(x)的定義域；(2)如何選取D、E的位置，可以使所用石料最?。?1一 1 一6.解：（1）由題思得，Sa ade S abc，即一x y sin A AB AC sinA,（4 分）224解得y 3 , （5分）x所以f（x） 3, f（x）的定義域為1, 2 . （7分）x（2）在 A

43、DE中，由余弦定理得，2_ 2_ 2 _ _ _DE ADAE2 AD AE cos A222022DEx y 2xy cos 60x y xyx2 3 3, x 1,2, （10 分）x令 x2 t ,則t 1,4,于是 DE2 t 9 3 6 3 3,（12 分）當(dāng)且僅當(dāng)t 3,即x 痣時，DE2取最小值出.（13分）所以，當(dāng)D、E離點A的距離均為73 m時（或AD AE 於（m ）時），DE最短，即所用石料最省.（14分）7. （2011閔行一模）如圖，在一條筆直的高速公路MN的同旁有兩個城鎮(zhèn) A B,它們與MN的距離分別是akm與8km（a 8）, A B在MN上的射影P、Q之間距離為

44、12km ,現(xiàn)計劃修普通公路把這兩個城鎮(zhèn)與高速公 路相連接，若普通公路造價為 50萬元/km；而每個與高速公路連接的立交出入口修建費用為200萬元.設(shè)計部門提交了以下三種修路方案：方案：兩城鎮(zhèn)各修一條普通公路到高速公路，并各修一個立交出入口； N方案：兩城鎮(zhèn)各修一條普通公路到高速公路上某一點 K,首 出mQ在K點修一個公共立交出入口；.akmAP方案：從A修一條普通公路到B,再從B修一條普通公路到M高速公路，也只修一個立交出入口.請你為這兩個城鎮(zhèn)選擇一個省錢的修路方案.7.解：方案：共修（8 a）km普通公路和兩個立交出入口，所需資金為 Ai 50（8 a） 400 50（a 16）萬元；（3分）方案：取B關(guān)于MN的對稱點B',連AB'與MN交于K,在K修一個出入口，則路程最短，共需資金：A25038）2-2200 50J（a 8）21444萬元；（6 分）