畢業(yè)論文淺談分塊矩陣的運(yùn)算合理性及其在求逆矩陣中的運(yùn)用

1、分類號(hào) 0151.2 論文編號(hào)201040432023本 科 生 畢 業(yè) 論 文 淺談分塊矩陣的運(yùn)算合理性及其在求逆矩陣中的運(yùn)用姓 名： 院 系： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 年級(jí)專業(yè)：2010級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 張?jiān)２?2014年5月目 錄摘 要IIAbstractIII第一章 緒論1第二章 分塊矩陣的概念及其運(yùn)算合理性12.1 分塊矩陣的概念12.2 分塊矩陣的運(yùn)算合理性22.2.1 分塊矩陣乘法的合理性22.2.2分塊矩陣的初等變換及其合理性3第三章 分塊矩陣的運(yùn)算在求逆矩陣中的運(yùn)用53.1 利用分塊矩陣的思想探討逆矩陣的計(jì)算問題53.2 求分塊矩陣的逆矩陣8第四章 結(jié)論9參考文獻(xiàn)10致 謝

2、11摘 要分塊矩陣乘法的合理性是指,在作矩陣乘法時(shí),對(duì)矩陣的塊可以像對(duì)矩陣的元素一樣對(duì)待.分塊矩陣的初等變換與矩陣乘法有十分密切的關(guān)系,直接依賴于所涉及到的矩陣乘法是否能進(jìn)行.分塊矩陣的三類初等變換,其實(shí)就是對(duì)不分塊的原矩陣進(jìn)行若干次初等變換.有趣的是,分塊矩陣的初等變換,比普通的初等變換,其“規(guī)?！币蟮枚?是一種“成批量”的初等變換.探討逆矩陣的求法問題,是分塊矩陣運(yùn)算的典型運(yùn)用.求逆矩陣的典型例子,反映了分塊矩陣的乘法運(yùn)算與初等變換之間的深刻聯(lián)系.關(guān)鍵詞:分塊矩陣 初等變換 合理性 矩陣求逆AbstractBlock matrix multiplication rationality r

3、efers to, in the matrix multiplication, the block matrix can be treated as the matrix elements. There is very close relationship between the elementary transformation of block matrix and matrix multiplication, matrix multiplication directly depends on whether the can. Three kinds of elementary trans

4、formation of block matrix, is actually to the original matrix does not block are several elementary transformation. Interestingly, the elementary transformation of block matrix, elementary transformation than ordinary, its "size" is much greater, is a kind of "elementary transformatio

5、n into the bulk". To explore the method of inverse matrix, is a typical using block matrix operations. A typical example of the inverse matrix, reflects the profound relation between the multiplication and the elementary transformation of block matrix.Keywords: Block matrix Elementary transform

6、ation rationality Matrix inversion 第一章 緒論矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)中重要的研究對(duì)象之一,是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的重要工具,矩陣的性質(zhì)依賴于矩陣中元素的性質(zhì),矩陣由最初的一種工具經(jīng)過近兩個(gè)世紀(jì)的發(fā)展,形成了一門較為完善的學(xué)科矩陣論.矩陣?yán)碚搼?yīng)用于許多領(lǐng)域,其中在數(shù)學(xué)和工程學(xué)中應(yīng)用最為廣泛.在數(shù)學(xué)上,矩陣是求解線性方程組,研究線性空間,線性變換等問題的最要工具,而在一些階數(shù)較高的矩陣中，計(jì)算量卻是相當(dāng)復(fù)雜，此時(shí)引出分塊矩陣，分塊矩陣也是矩陣論中一個(gè)重要的概念,在線性代數(shù)及高等代數(shù)中扮演著不可缺少的角色,分塊矩陣在進(jìn)行行列式的計(jì)算,求解線性方程組,特

7、別是在求逆矩陣的問題上,有非常重要的作用.矩陣分塊,就是將一個(gè)高階數(shù)的矩陣看成是由一些低階數(shù)的矩陣組成的,從而將這些低階數(shù)的矩陣看成是高階數(shù)的矩陣的元素,特別是在矩陣的相關(guān)運(yùn)算中,把這些小矩陣看成是數(shù)來處理,為矩陣的運(yùn)算帶來了許多方便,將矩陣分塊之后,矩陣之間的相互關(guān)系,可以看得十分清楚,能夠在解決實(shí)際問題中,使問題變得簡單化.本文即是通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后總結(jié)和探究分塊矩陣的運(yùn)算的合理性以及分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用.通過對(duì)分塊矩陣的運(yùn)算合理性及分塊矩陣的初等變換的研究,總結(jié)和探究分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用,從而得出分塊矩陣在處理很多問題上帶來方便.第二章 分塊矩陣的概念及其運(yùn)

8、算合理性2.1 分塊矩陣的概念定義1 在矩陣的行或列之間劃上橫線或豎線將其分為若干部分，稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊,分了塊的矩陣稱為分塊矩陣.顯然,對(duì)于一個(gè)的矩陣,最多可以分成塊（一個(gè)元素一塊）,最少可以分成一塊（它本身）.注：1、在對(duì)矩陣進(jìn)行分塊的過程中,必須注意分塊的“線”必須穿過整個(gè)矩陣且必須是直線，如果在行或列之間所劃直線沒有穿過矩陣，或者所劃的線不是直線而是“折線”，這種分塊分法均是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的分塊方法如： （線條未穿過）2、矩陣的分塊要根據(jù)需要選擇正確的分法，應(yīng)有利于認(rèn)識(shí)矩陣的結(jié)構(gòu)，便于矩陣的運(yùn)算和討論有關(guān)矩陣的性質(zhì).2.2 分塊矩陣的運(yùn)算合理性普通矩陣可以進(jìn)行加（含減）乘（含除和乘方）

9、以及數(shù)乘等運(yùn)算.因?yàn)榫仃嚨霓D(zhuǎn)置、矩陣的初等變換與矩陣的運(yùn)算有密切聯(lián)系,所以本文也將轉(zhuǎn)置、初等變換視為矩陣的運(yùn)算,分塊矩陣同樣可以進(jìn)行加、乘、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置及初等變換等運(yùn)算，并且限于矩陣的運(yùn)算結(jié)果而言，在對(duì)矩陣進(jìn)行正確分塊的基礎(chǔ)上，通過“塊”運(yùn)算得出的結(jié)果與不分塊直接運(yùn)算得出的結(jié)果是一致的.對(duì)此,我們僅就分塊矩陣的乘法和初等變換加以說明.2.2.1 分塊矩陣乘法的合理性分塊矩陣乘法的合理性是指,在作矩陣乘法時(shí),對(duì)矩陣的塊可以像對(duì)矩陣的元素一樣對(duì)待.即先對(duì)相乘的兩個(gè)矩陣作正確的分塊（后一個(gè)矩陣的行的分法與前一個(gè)矩陣的列的分法一致）,然后把“塊”看成元素,把分塊矩陣的乘法按照普通矩陣的乘法進(jìn)行（但要嚴(yán)格

10、遵守塊的前后順序）,得到的積是由一些“乘積塊”構(gòu)成的新的分塊矩陣,再將每一“乘積塊”按照普通矩陣乘法乘出來,“安放”在相應(yīng)的位置,從而得到原來兩個(gè)矩陣的乘積.這種分了塊再行計(jì)算與不分塊直接計(jì)算,其結(jié)果是一致的.設(shè)，則有:其中；下面說明分塊矩陣乘法的合理性.計(jì)算中元.設(shè)，其中,，其中,即是設(shè)中元素位于中位置.矩陣的第行屬于第個(gè)行組,矩陣的第列屬于的第個(gè)列組.則有以下式子成立 = .2.2.2分塊矩陣的初等變換及其合理性我們知道,分塊矩陣的初等變換與普通矩陣的初等變換類似,包含三類:(1)互換分塊矩陣的兩塊行或兩塊列；(2)以某個(gè)可逆矩陣左乘以分塊矩陣的某一塊行，或右乘以某一塊列；(3)以某個(gè)矩陣

11、左乘以分塊矩陣的某一塊行后加到另一塊行上去，或以某個(gè)矩陣右乘以分塊矩陣的某一塊列后加到另一塊列上去.（這里假定上面提到的運(yùn)算都是可以進(jìn)行的）與普通矩陣一樣,對(duì)于分塊矩陣,也有分塊初等矩陣的概念.顯然,分塊矩陣的初等變換與矩陣乘法有十分密切的關(guān)系,直接依賴于所涉及到的矩陣乘法是否能進(jìn)行,即是說,不是任意矩陣（即使可逆）都可以乘到分塊矩陣的某一塊行或塊列上.即使可以乘,左乘與右乘也有嚴(yán)格的要求.對(duì)于分塊矩陣的初等變換的合理性,我們主要說明:將一個(gè)矩陣分了塊以后進(jìn)行塊的初等變換,其結(jié)果就是對(duì)原矩陣進(jìn)行若干次普通初等變換.對(duì)此,設(shè)(1)互換的兩塊行（列），顯然相當(dāng)于多次互換原矩陣的行（列）(2)設(shè)可逆

12、，則可以分解成初等矩陣的乘積:，在乘法可以進(jìn)行的情況下,將左乘以的第一塊行: 容易看出,其結(jié)果相當(dāng)于對(duì)的前行作次初等行變換.（列的情況的說明與此類似）(3)設(shè)，我們來考察，通過計(jì)算，得： 一般情況的證明與此完全類似,只是符號(hào)較多而已,（列變換的證明也與此類似）.由此看來,分塊矩陣的三類初等變換,其實(shí)就是對(duì)不分塊的原矩陣進(jìn)行若干次初等變換.第一類分塊初等變換就是互換矩陣的行（列）,第二類分塊初等變換限于對(duì)所乘可逆矩陣的那些塊行（塊列）內(nèi)作初等變換,第三類分塊初等變換涉及到其它塊行（塊列）.有趣的是,分塊矩陣的初等變換,比普通的初等變換,其“規(guī)模”要大得多,是一種“成批量”的初等變換.因此,分塊初

13、等矩陣、分塊矩陣的初等變換與普通的初等矩陣、初等變換具有類似的性質(zhì).分塊初等矩陣是可逆矩陣,其逆矩陣仍是初等分塊矩陣；矩陣的分塊行（列）初等變換相當(dāng)于同類分塊初等矩陣左（右）乘以被變換的矩陣；進(jìn)行分塊初等變換不改變矩陣的秩,如果是方陣,則不改變它的行列式是否為零的屬性（第一類分塊矩陣初等變換不改變行列式的絕對(duì)值,第二類分塊矩陣初等變換不改變行列式的值）.第三章 分塊矩陣的運(yùn)算在求逆矩陣中的運(yùn)用分塊矩陣的運(yùn)算在數(shù)學(xué)中有廣泛的運(yùn)用，這里只揭示分塊矩陣的運(yùn)算在求逆矩陣方面的運(yùn)用.3.1 利用分塊矩陣的思想探討逆矩陣的計(jì)算問題設(shè)可逆,則可用初等行變換求的逆,也可用初等列變換求的逆,還可以同時(shí)使用行、列

14、初等變換來求.1、行變換的一般方法為：把用初等行變換化為單位矩陣,同時(shí)對(duì)用相同的行變換即可化得.事實(shí)上，設(shè)可逆,則有初等矩陣,使得,由此可得, 格式為：用等式表示為: （這里，設(shè),則當(dāng)式中時(shí),.）2、列變換的一般方法為:把用初等列變換化為單位矩陣,同時(shí)對(duì)用相同的列變換即可化得.事實(shí)上，設(shè)可逆,則有初等矩陣,使得,此時(shí),格式為:用等式表示為: （這里，設(shè),則當(dāng)式中時(shí),.）3、可以把行變換和列變換結(jié)合在一起,同時(shí)使用行變換和列變換求.即:取,其中均為初等矩陣,構(gòu)造分塊矩陣并作運(yùn)算: 從式可以看出,可以對(duì)進(jìn)行一系列的初等變換,當(dāng)塊的位置即時(shí),.例1 設(shè),用初等變換求矩陣的逆.解:(I)初等行變換的方

15、法：(II)初等列變換的方法：.(III)同時(shí)使用行變換和列變換的方法：.3.2 求分塊矩陣的逆矩陣?yán)? 設(shè)是一個(gè)分塊矩陣,其中為階方陣,為階方陣,當(dāng)與都是可逆矩陣時(shí),求證可逆,并求.解法一：因?yàn)榕c都是可逆矩陣,且所以可逆.解法二：第四章 結(jié)論分塊矩陣是高等代數(shù)的基本工具,分塊矩陣的運(yùn)算（包括初等變換）是高等代數(shù)的基本語言.但是分塊矩陣的運(yùn)算（特別是分塊矩陣的乘法和初等變換）的合理性并不是一目了然.通過本文的討論,我們看到,求逆矩陣的問題集中反映了分塊矩陣的深刻思想內(nèi)涵.分塊矩陣的乘法與初等變換之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.參考文獻(xiàn)1.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)M.第三版.北

16、京:高等教育出版社,2003.7.2.姚慕生.高等代數(shù)學(xué)M.復(fù)旦大學(xué)出版社,2005.3.3.智婕.分塊矩陣的初等變換J.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,25(9):22-23.4.張新育,周世國.矩陣的分塊初等變換與分塊初等矩陣及其應(yīng)用J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(19):245-248.5.陳文華.分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用J.大理學(xué)院院報(bào),2009,8(8):7.6.嚴(yán)坤妹.分塊矩陣的應(yīng)用J.福建廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2006,5:71-72.7.高百俊.分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用J.伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,4:16-17.8.王秀芳.分塊矩陣的應(yīng)用討論J.連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2008,3:97-98.9.丘維聲.高等代數(shù)(上)M.北京:清華大學(xué)出版社,2010.6,194-211.10.王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.第三版.北京:高等教育出版社,2003.9(2010重印),181-186.致 謝值此畢業(yè)論文完成之際,特感謝我的論文指導(dǎo)老師張?jiān)２ɡ蠋?他是一位認(rèn)真負(fù)責(zé),熱情的老師,在整個(gè)畢業(yè)論文的撰寫過程中,他都對(duì)我進(jìn)行了認(rèn)真的指導(dǎo)和詳細(xì)的修改,從他的身上我也學(xué)到了很多,比如說嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、一絲不茍的工作作風(fēng).我將