極值點(diǎn)偏移拐點(diǎn)偏移

1、極值點(diǎn)偏移問題專題拐點(diǎn)偏移52例1已知函數(shù)fx2lnxxx,假設(shè)正實(shí)數(shù)Xi,X2滿足fXi+fX2=4,求證：x1x22。證明：注意到f1=2,fxi+fx2=2f1fx1+fx2=2f12fx=+2x10xfx=-222,f1=0,則1,2是fx圖像的拐點(diǎn)，假設(shè)拐點(diǎn)1,2也是fxx想到了 “極值點(diǎn)偏移”，想到了 “對稱化構(gòu)造”，的對稱中心，則有x1x2=2，證明xx22則說明拐點(diǎn)發(fā)生了偏移，作圖如下類似地，不妨將此問題命名為“拐點(diǎn)偏移”，仍可用“對稱化構(gòu)造”來處理.不妨設(shè)0x11x2,要證x1x22x22x11fx2f2x14fxif2%4fx1f2x1fxf2x,x0,1,則f2x2x 1

2、222x12x41x10,x2x得Fx在0,1上單增，有FxF12、極值點(diǎn)偏移PK拐點(diǎn)偏移常規(guī)套路1、極值點(diǎn)偏移f%0f x1f x22 f x0x22x0f K f x22f x0x22x0 x12xo極值點(diǎn)偏移問題專題1對稱化構(gòu)造常規(guī)套路例12010天津已知函數(shù)f xxxe1求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值;2已知函數(shù)gx的圖像與fx的圖像關(guān)于直線x1對稱，證明：當(dāng)x1時(shí),3如果XiX2,且fXifX2,證明:x1x22.解回，得/（了）在上/，在上、值t無極小值；e（2）g（x）的圖像與F（x）的圖像關(guān)于直裝工二1對稱，則g的解析式為J=一工）,構(gòu)造輔助圖數(shù)產(chǎn)（幻=兌卜式耳=/（力一2-工）r

3、（x）=r（x）+r（2-x）=門1）+尸1）=（憑_】）4_門當(dāng)1時(shí)，x-L0ex-1-e-r0,則產(chǎn)（力10，得產(chǎn)在（1,一）上單增,司尸a尸（1）=0r即/）目（工）-（3）由的尸三）,結(jié)合力的單調(diào)性可設(shè)而clc修將均代入（2）中不等式得/（三）J（2-巧）t又（兩）二了（9，故門看），/（2-9）.又近G2一1.在（）上單塔，放園2一/rX+兩2.來源:微信公眾號中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落點(diǎn)評：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問題的一般方法一一對稱化構(gòu)造的全過程，直觀展示如下:例1是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問題：對于函數(shù)f x xe x,已知 f x1證明Kx22.再次審視解題過

4、程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):1Xi ,X2的范圍0X11X2 ；2不等式fxf2xx1;3將X2代入2中不等式，結(jié)合fx的單調(diào)性獲證結(jié)論.把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問題.例22016新課標(biāo)I卷已知函數(shù) f X2 ex2有兩個(gè)零點(diǎn).1求a的取值范圍;2設(shè) x1 ,x2是f x的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:xix22.解：10,2由1,1上、，在1,x1可設(shè)x11x2.構(gòu)造輔助函數(shù)fx2a2 x e2axexe1 時(shí)，x 1 00,得F x在,1，又F10,將x1代入上述不等式中得f x1f x22 x1，又 x2x11, f1, 上/,故 x12x1 x2 2.通過以上兩例，相信讀者對極值點(diǎn)

5、偏移問題以及對稱化構(gòu)造的一般步驟有所了解.但極值點(diǎn)偏移問題的結(jié)論不一定總是xx22x0,也可以是x1x22x2,借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過程.求證:已知函數(shù)fxxlnx的圖像與直線ym交于不同的兩點(diǎn)A x1,必,b &,y2xx2-e證明:i f xm 一 ， 一 1ln x 1,得 f x 在 0,- e上/;當(dāng)0 x 1時(shí),0； f 10；當(dāng) x 1 時(shí)，f x 0 ；當(dāng) x 0 時(shí)，fx 0洛必達(dá)法則；當(dāng)x時(shí)，f x1x2 1 .小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問題大致分為以下三步:stepl :求導(dǎo)，獲彳導(dǎo)f x的單調(diào)性,極值情況，作出f x的圖像，由f x1f x2 得 x1,x2的取值范圍數(shù)形結(jié)合；step2:構(gòu)造輔助函數(shù)對結(jié)論x1x22x0,構(gòu)造Fxfxf2x0x；對