棗八北校高一平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義30

1、 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 教材分析本節(jié)內(nèi)容是必修4第二章第4節(jié)，平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后引入的一種新的向量運(yùn)算，既是對(duì)前面知識(shí)的延續(xù)，又是學(xué)好后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，起承上啟下的作用此外它在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的廣泛應(yīng)用本節(jié)課是以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，并在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力數(shù)量積的概念是本節(jié)課的核心概念，是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)的時(shí)間完成，主要探討平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運(yùn)算律教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念，性質(zhì)、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)與論證難點(diǎn)：平面

2、向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算率的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念，性質(zhì)、運(yùn)算律能力點(diǎn)：通過對(duì)平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算律的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力教育點(diǎn)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索的精神，體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂，體會(huì)各學(xué)科之間是密不可分的培養(yǎng)學(xué)生思考問題認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度自主探究點(diǎn)：有關(guān)向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律的證明考試點(diǎn)：考查向量數(shù)量積運(yùn)算；有關(guān)向量夾角的計(jì)算；應(yīng)用向量解決垂直問題易錯(cuò)易混點(diǎn)：向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別拓展點(diǎn)：向量在幾何中證明垂直的應(yīng)用教具準(zhǔn)備 多媒體課件、直尺課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、 創(chuàng)設(shè)情境、引入課題任意兩

3、個(gè)向量都可以進(jìn)行加減運(yùn)算，那么，兩個(gè)向量是否可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？回憶一下物理中“功”的計(jì)算，功的大小與哪些量有關(guān)？結(jié)論：如右圖，一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，且力與位移的夾角為，那么力所做的功 功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量與的“數(shù)量積”一般地，對(duì)于非零向量與的數(shù)量積是指什么？【設(shè)計(jì)意圖】由舊知識(shí)引出新內(nèi)容，同時(shí)聯(lián)系物理學(xué)和數(shù)學(xué)，理解具體和一般的關(guān)系二、探究新知1平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(inner product)（或內(nèi)積），記作，即，其中是與的夾角特別強(qiáng)調(diào)：（1）兩個(gè)向量，的數(shù)量積與代數(shù)中兩個(gè)數(shù)的乘積是兩碼事

4、，要注意向量與的數(shù)量積是記作，中間的實(shí)心小圓點(diǎn)不能省略，也不能把實(shí)心小圓點(diǎn)用乘號(hào)“×”代替，寫成（2）我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0.思考1：定義中涉及哪些量？數(shù)量積是數(shù)量還是向量？ 結(jié)論：，涉及兩向量的模及它們的夾角.數(shù)量積是個(gè)數(shù)量.思考2：兩個(gè)非零向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號(hào)，何時(shí)為正？何時(shí)為負(fù)？何時(shí)為零？當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)思考1：當(dāng)兩個(gè)非零向量與共線或者垂直時(shí)，數(shù)量積有什么特殊性呢？結(jié)論：（1）； （2）當(dāng)與同向時(shí)，； 特別地，所以通常記作當(dāng)與反向時(shí)，；思考2：設(shè)與都是非零向量，如何計(jì)算它們的夾角？結(jié)論：由可得，再結(jié)合可求出

5、思考3：與的大小關(guān)系如何？為什么？ 結(jié)論：，因?yàn)?，所以【設(shè)計(jì)意圖】通過上述4個(gè)思考，在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，由教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動(dòng)這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情3數(shù)量積的幾何意義對(duì)于兩個(gè)非零向量與，設(shè)其夾角為，叫做向量在方向上的投影 如上圖所示，是向量在方向上的投影思考1：向量在方向上的投影是數(shù)量，一定是正數(shù)嗎？向量在方向上的投影是什么？ 結(jié)論： 不一定是正數(shù)，其正負(fù)取決于，即的取值向量在方向上的投影是思考2：根據(jù)投影的概念，數(shù)

6、量積的幾何意義是什么？ 結(jié)論：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積，或等于的長度與在方向上的投影的乘積【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生從感性到理性去認(rèn)知數(shù)量積的定義通過對(duì)概念的認(rèn)識(shí)、分析和探究，使學(xué)生加深理解，掌握相關(guān)的幾何意義并加深對(duì)投影的認(rèn)識(shí)4平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的運(yùn)算律教師引導(dǎo)學(xué)生回顧實(shí)數(shù)運(yùn)算中有關(guān)的運(yùn)算律，并類比得出數(shù)量積的運(yùn)算律，體會(huì)不同運(yùn)算的運(yùn)算律不盡相同，然后由學(xué)生自主完成下列表格：在實(shí)數(shù)運(yùn)算中在向量運(yùn)算中是否正確交換律(1)（ ）結(jié)合律(2)（ ）(3)（ ）分配率(4)（ ）消去律(5)（ ）【設(shè)計(jì)意圖】通過類比、探究使學(xué)生得到數(shù)量積的運(yùn)算律，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和探究問

7、題的能力答案：(1)；(2)×；(3)；(4)；(5)×對(duì)于上述表格，學(xué)生在處理的過程中(2)(5)出錯(cuò)率較高，需要老師著重分析：(2)這是因?yàn)楸硎疽粋€(gè)與共線的向量，而表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以一般不成立，即使與共線，此式也不一定成立(5) 如下圖，均滿足，但明晰數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量、和實(shí)數(shù)，則：(1) ；(2) ；(3) 證明數(shù)量積的運(yùn)算律學(xué)生自主證明(1) (2)，同時(shí)對(duì)于(2)，注意引導(dǎo)學(xué)生反思：當(dāng)時(shí)，向量與、與的方向的關(guān)系，此時(shí)向量與、與的夾角與向量與的夾角相等嗎？教師分析證明 (3)：如右圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作， ，因?yàn)椋矗┰诜较蛏系耐队暗?/p>

8、于、在方向上的投影的和，即， 所以，所以，所以【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律、明晰運(yùn)算律、證明運(yùn)算律， 這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類比創(chuàng)新的意識(shí)，將知識(shí)的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起三、理解新知1對(duì)數(shù)量積的理解平面向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時(shí)還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn)算不同的是：數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量這個(gè)數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角的余弦值有關(guān)，數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)取決于向量與的夾角 2靈活掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1) ，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由

9、垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；(2) 與可用來求向量的模，以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算向向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化(3) 不僅可以用來直接計(jì)算兩向量、的夾角，也可用來求直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式用于求參數(shù)的值或范圍四、運(yùn)用新知例1已知，且與的夾角，求【設(shè)計(jì)意圖】本例及拓展變式1，2均由學(xué)生自主完成，然后教師進(jìn)行答案的校對(duì)其目的是通過計(jì)算鞏固對(duì)數(shù)量積定義的理解解： 拓展變式1：若，且，則是多少？答案：當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，拓展變式2：若，且，則是多少？答案：因?yàn)?，所以?我們知道，對(duì)任意，恒有，對(duì)于任意的向量，是否也有下面類似的結(jié)論？(1) ；(2) 【設(shè)計(jì)意圖

10、】使學(xué)生體會(huì)實(shí)際解題中運(yùn)算律的作用，比較向量運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的異同解：(1) (2) 例3已知，且與的夾角，求解： = = =拓展變式3 已知，與的夾角，求答案： 例4已知，且與不共線為何值時(shí)，向量與互相垂直？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)會(huì)利用數(shù)量積來解決有關(guān)垂直問題，體會(huì)運(yùn)算律的優(yōu)越性解：與互相垂直的條件是，即因?yàn)椋?，所以也就是說，當(dāng)時(shí)，與互相垂直拓展變式4：若，求的值答案：五、課堂小結(jié)1知識(shí)方面：（1）平面向量的數(shù)量積的定義；（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義；（3）平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)；（4）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律2思想方法方面：體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步提高抽象概括、推理論證的能力【設(shè)計(jì)意圖】通過課堂小結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)的內(nèi)容有一個(gè)完整、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，在培養(yǎng)概括能力的同時(shí)，也對(duì)本節(jié)課的教學(xué)效果進(jìn)行反饋六、布置作業(yè) 必做題：教材P108習(xí)題2.4 A組1、2、3；B組1選做題：已知與都是非零向量，且 與垂直，與垂直求與的夾角【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)計(jì)不同層次的作業(yè)既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到激發(fā)興趣和“減負(fù)”的目的七、教后反思1教學(xué)設(shè)計(jì)亮點(diǎn)：通過創(chuàng)設(shè)情境引入引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；以提問、猜想、討