橢圓知識點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題練習(xí)

1、第二部分 圓錐曲線（一）-橢圓知識點(diǎn)一：1、平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓即：。注意：若，則動點(diǎn)的軌跡為線段；這兩個定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距2、橢圓的幾何性質(zhì)： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距 范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，軸長長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。知識點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸

2、建立直角坐標(biāo)系時(shí)， 才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，知識點(diǎn)三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ，

3、 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；規(guī)律方法： 1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，且。可借助右圖理解記憶： 顯然：恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上。 4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時(shí)，方程表

5、示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7如何求解與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問題思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解

6、題。將有關(guān)線段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)椋帽硎緸?。顯然：當(dāng)越小時(shí)，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。（二）橢圓練習(xí)題一、選擇題1、與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為4的橢圓方程是 ( )(A) 2、橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸兩個頂點(diǎn)，是一個含60°角的菱形的四個頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ( )(A) (B) (C) (D)或3、橢圓中,F1、F2為左、右焦點(diǎn),A為短軸一端點(diǎn),弦AB過左焦點(diǎn)F1,則ABF2的面積為 ( )（A）3 （B） （C）

7、（D）44、方程=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m< (C)<m<25 (D)m> 5、已知橢圓的離心率e=，則m的值為 ( )(A)3 (B)3或 (C) (D)或 6、橢圓的一焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)為等邊三角形的三個頂點(diǎn)，則橢圓的長軸長是短軸長的 ( )(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍7、橢圓ax2by2ab=0(a<b<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )(A)(0，±) (B)(±，0) (C)(0，±) (D)(±，0) 8、橢圓x2+4y2=1的

8、離心率為 ( ) (A) 9、從橢圓短軸的一個端點(diǎn)看兩焦點(diǎn)的視角是1200,則這個橢圓的離心率e= ( )(A) (B) (C) (D) 10、曲線與曲線(m<9)一定有 ( )(A)相等的長軸長 (B)相等的焦距 (C)相等的離心率 (D)相同的準(zhǔn)線二、填空題11.(1)中心在原點(diǎn)，長半軸長與短半軸長的和為9，離心率為0.6的橢圓的方程為_；(2)對稱軸是坐標(biāo)軸,離心率等于，且過點(diǎn)(2，0)的橢圓的方程是_12.(1)短軸長為6，且過點(diǎn)(1，4)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_；(2)頂點(diǎn)(-6，0)，(6，0)過點(diǎn)(3，3)的橢圓方程是_13.已知橢圓=1的焦距為4，則這個橢圓的焦點(diǎn)在_軸上，坐標(biāo)是_14.已知橢圓的離率為，則m= 三、解答題15、求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值16已知圓，從這個圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段，求線段的中點(diǎn)M的軌跡.17ABC的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)分