極限教學(xué)的處理技巧

1、極限教學(xué)的處理技巧極限是微積分理論的基礎(chǔ)，也是人類認(rèn)知無限的工具。因此，搞好極限理論的教學(xué)尤其重要，本文就多年的教學(xué)中積累的經(jīng)驗談一些自己的體會。 數(shù)列極限語言定義的引入設(shè)有一數(shù)列，我們通常說當(dāng)趨于無窮大時以為極限是指：當(dāng)無限增大時，與一個固定的常數(shù)無限接近。但這種定性的描述并不能揭示極限的本質(zhì)（內(nèi)涵），因此它并不能作為極限的定義。為此，必須引入能刻畫極限本質(zhì)的定量化的定義。為了學(xué)生更清晰的弄清楚極限語言定義來歷及確切的含義，我們可以直接對學(xué)生腦子已有的極限的定性描述加以分析可知：所謂“與常數(shù)無限接近，實質(zhì)上就是可以無限小，而可以無限小亦即可以小于任何一個事先給定的正數(shù)；但又并不是一開始就可以

2、小于任何一個事先給定的正數(shù)的。那可以小于任何一個事先給定的正數(shù)的前提是什么呢？上述定性的描述中說得清楚，前提就是無限增大時，也就是當(dāng)充分大之后，換句話說就是當(dāng)大到比某個正整數(shù)還要大之后。也就是說：所謂以為極限是指：對于任何一個事先給定的正數(shù)，當(dāng)大到比某個正整數(shù)還要大之后，可以小于這個正數(shù)。這樣，我們通過上述分析，可以很自然而又清晰地得到數(shù)列極限的定義：“設(shè)為一數(shù)列，為一個固定的常數(shù)。若對于任何一個事先給定的正數(shù)，都存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，有成立，則稱數(shù)列以為極限（或數(shù)列收斂于）。并記作：得到極限的定義之后，很多人自然想到立即用極限的定義去求極限。但通過對極限的定義分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列極限的定義是非

3、構(gòu)造性的定義，換句話說，極限定義中的并不能通過給定的數(shù)列通過我們已經(jīng)熟知的運(yùn)算（加、減、乘、除、乘方、開方等等）計算等到。因此，教師不能在此時舉求極限的例子而錯誤的引導(dǎo)學(xué)生。那么，我們?nèi)绾谓鉀Q數(shù)列極限的求法呢？事實上，通過分析我們以前所學(xué)的所有數(shù)學(xué)概念（運(yùn)算），即使是很簡單的構(gòu)造性的概念（運(yùn)算），如果人們僅以定義去計算，問題也會變的十分煩瑣。比如乘法運(yùn)算，如果由定義去計算，有，這是十分簡單的，但如果要我們用定義去計算兩個很大的數(shù)的乘法就行不通了。那么，人們又是如何解決任意兩個數(shù)之間的乘法運(yùn)算的呢？分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)在解決這類問題時的方法都是一致的：先通過定義證明一些常用的公式，再建立起該類運(yùn)算性質(zhì)

4、及運(yùn)算法則,然后就可以運(yùn)用這些基本的運(yùn)算公式及運(yùn)算法則解決這類問題的計算了。類似的，我們要解決極限問題的計算，也要遵循這樣的規(guī)則。也就是我們先要根據(jù)極限的定義證明一些常用的極限公式，再建立起極限的性質(zhì)及運(yùn)算法則。這樣極限的計算問題也就迎刃而解了。為此，在引入極限的定義后，可先用定義證明一些常用的極限公式(僅列部分?jǐn)?shù)列極限公式)：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 (后證) 如何用定義證明極限由極限的定義分析可知要證，只要對，我們都存在正整數(shù)（不一定要求是正整數(shù)），使得當(dāng)時，有即可。那么我們對，如何去找到滿足上述條件的呢？由于這樣的（如果存在的話）不是唯一的，而定義又只要求存在這樣的數(shù)即可

5、，所以我們不一定去找滿足條件的最小的事實上，對，要找這樣的，我們只需直接去解不等式。解的過程可能出現(xiàn)以下兩種情況：10） 如果解的結(jié)果為某個數(shù)（關(guān)于的表達(dá)式），則這個數(shù)就是我們要找的數(shù)。公式得證。如果解的結(jié)果為某個數(shù)（關(guān)于的表達(dá)式），則數(shù)列不以為極限。這種情況當(dāng)然不會讓我們證明20）如果不等式比較繁瑣，從中不易解出上面的結(jié)果，則我們可將表達(dá)式作適當(dāng)?shù)姆糯螅热缱?，然后再從中能解出某個數(shù)（關(guān)于的表達(dá)式），則這個數(shù)也可作為我們要找的數(shù)。這個過程的難點就在將作適當(dāng)?shù)姆糯?，那么何謂適當(dāng)放大呢？事實上，只要有，放大就是適當(dāng)?shù)?！由此可見，極限的證明步驟幾乎是模版化的格式。以下就是證明的格式模版： 證明極限

6、：證：對，要使 這里是解的過程，得結(jié)果某個數(shù)（關(guān)于的表達(dá)式）；或當(dāng)比較繁瑣不易解得，則在這里將作適當(dāng)?shù)姆糯?，使，然后從中解得某個數(shù)取某個數(shù)（關(guān)于的表達(dá)式）或某個數(shù)（關(guān)于的表達(dá)式），則當(dāng)時，有成立，所以 函數(shù)極限定義的處理方法在解決了數(shù)列極限的上述問題后，函數(shù)極限都可以做類似的處理。這里只談?wù)労瘮?shù)極限定義的歸一化處理方法。對函數(shù)極限而言，自變量的變化過程有，等方式，而函數(shù)值的變化趨勢有，等方式，因此函數(shù)極限分種不同的情況引入了定義。但我們只要對上述定義作質(zhì)的分析可知，只要我們與有限點一樣引入的鄰域（去心鄰域）登記號（概念）后,種函數(shù)極限的定義便可做歸一化的處理，并且學(xué)生能從這歸一化的定義中清晰的

7、理解極限的本質(zhì)。點的鄰域：點的左鄰域：點的右鄰域：點的去心鄰域：點的左去心鄰域：點的右去心鄰域：的鄰域（也稱為的去心鄰域）：的鄰域（也稱為的去心鄰域）：的鄰域（也稱為的去心鄰域）：在引入了上述記號后，我們用記號表示，中的某一種情況，而用常數(shù)，中的某一種情況，則極限式的定義如下。定義：設(shè)在的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對任意的的鄰域，總存在的去心鄰域，使得當(dāng)，有。則稱當(dāng)時，以為極限，記為（定義中的與為任意的正數(shù)，這里加*表示主要是為了強(qiáng)調(diào)當(dāng)代表有限的常數(shù)時刻畫的是任意小的正數(shù)，而當(dāng)代表的是，（或，）時刻畫的是任意達(dá)的正數(shù)，而事實上與只要為任意的正數(shù)即可）由該定義可以看到，所謂時，以為極限就是指當(dāng)與充分

8、接近（落在的充分小的去心鄰域）時，與無限接近（落在充分小鄰域內(nèi)），這樣學(xué)生便能更加清晰地理解極限定義的本質(zhì)：就是當(dāng)自變量在某點作“微小”的變化時，函數(shù)值也在某個值附近作“微小”的變化。從而對極限理論有更深刻和清晰地認(rèn)識。同時，當(dāng)我們把極限的定義作了這樣的歸一化處理后，以后許多關(guān)于極限的性質(zhì)及運(yùn)算法則的證明也都可以做歸一化的描述和歸一化的證明。本文僅舉一例說明這種歸一化的描述和歸一化的證明方法。比如，對于復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，幾乎所有課本上都是類似這樣敘述的：設(shè)函數(shù)是由與復(fù)合而成，在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時，有，又，則然后書中會有注解說明在該定理中，把換成或而把換成，可得類似的

9、定理。而事實上，當(dāng)我們有了上述關(guān)于各類極限趨勢的歸一化處理后，所有這些類似的定理（甚至可包含更多的情形）都可以歸一化的敘述成這樣的定理：設(shè)函數(shù)是由與復(fù)合而成，在點的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時，有，又，則其中，該定理中表示，中的某一種情況，而表示常數(shù)，中的某一種情況，表示常數(shù)，中的某一種情況，這樣該定理就能描述復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則的96種情形，或者，如果要求復(fù)合函數(shù)的極限存在的話，也能描述24種不同的情形。（事實上對或，顯然有，所以對這幾種情形當(dāng)時，有可省略）該定理中的歸一化證明如下：證 ，由于，所以，當(dāng)，有又由于，所以對上述，當(dāng)，有。由假設(shè)當(dāng)時，有，取，這兩個去心鄰域中較小的那個記

10、為，則當(dāng)時，從而：當(dāng)時，有即：。證畢。 如何利用兩個重要的極限公式求極限在完成了極限的定義、極限公式的證明、極限的性質(zhì)、極限的運(yùn)算法則等方面的教學(xué)后，我們自然要回到開始的問題，那就是如何秋熟列（函數(shù)）的極限呢？對于一般的極限，里利用我們提到的那些常用的極限公式再運(yùn)用極限的運(yùn)算法則一般都很容易求得結(jié)果。但對一些、等未定式的極限（此時學(xué)生還未學(xué)到洛必達(dá)法則）學(xué)生還往往不知如何入手。特別是在學(xué)完兩個重要的極限公式后，學(xué)生往往不知如何應(yīng)用。下面我主要談?wù)勅绾卫脙蓚€重要的極限公式求極限。41 如何利用解決某些型未定式的極限411 在求極限時，學(xué)生往往會問：那種類型的極限可用來求呢？一般來說，可以讓學(xué)生

11、從以下兩個方面來判斷：10）如果所求的極限式子為型（或可化為型），20）在這個型式子的分子或分母中含有關(guān)于變量三角函數(shù)或反三角函數(shù)表達(dá)式，如果要求的極限式子同時滿足以上兩個條件，則這個極限可考慮用該公式來求。412 在得知所求的極限可考慮用該公式來求后，剩下的當(dāng)然是怎樣利用該公式來求極限呢？一般來說，就是將含有變量三角函數(shù)表達(dá)式的分子或分母通過各類三角變換（比如和差化積等）化成（或，如果極限過程為的話）與其他式子的乘積形式；或者就是將含有變量反三角函數(shù)表達(dá)式的分子或分母通過變量替換變成與其他式子的乘積形式(其中)即可。例1：例2：求42 如何利用解決型未定式的極限421那種類型的極限可用來求呢？一般來說，可以讓學(xué)生從以下兩個方面來判斷：10）如果所求的極限式子為20）當(dāng)時，為型，如果要求的極限式子同時滿足以上兩個條件，則這個極限可用該公式來求。422怎樣利用該公式來求極限呢？一般來說，就是將表達(dá)式化成（其中）的形式，則當(dāng)（常數(shù)）時，。例1： 由于所以，原式=例2： （其中為常數(shù)，）解：通過上面的分析，學(xué)生在遇到類似的求極限問題時，就不會感到措手無策了。我們再舉一個在教學(xué)中學(xué)生每次都要問到的一個極限題為例，學(xué)生每次遇