單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)及matlab分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)及matlab分析 摘要：以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為力學(xué)模型,研究單自由度系統(tǒng)的特性有著非常普遍的實(shí)際意義。根據(jù)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,利用Matlab軟件設(shè)計(jì)了單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到單自由度振動(dòng)方程的數(shù)值關(guān)鍵字：有阻尼自由振動(dòng)、有阻尼自由振動(dòng)、matlab正文：無(wú)阻尼自由振動(dòng):如圖所示的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)可以用如下微分方程描述：圖1 (1-1)令 ，方程的通解為 (1-2)式(1-2)表示了圖示(1)中質(zhì)量m的位置隨時(shí)間而變化的函數(shù)關(guān)系，反映了振動(dòng)的形式與特點(diǎn)，稱為振動(dòng)函數(shù)。式(1-2)中，a、b為積分常數(shù)，它決定于振動(dòng)的初始條件。

2、如假定t=0時(shí)，質(zhì)量塊的位移 x=x0，其速度 ,則即 （1-3）或?qū)懗?（1-4），其中A為振幅，為振動(dòng)圓頻率， 為相位角，（赫茲）稱為固有頻率。固有頻率與外界給予的初始條件無(wú)關(guān)，它是系統(tǒng)本身所具有的一種重要特性。有阻尼自由振動(dòng)圖2圖1所示的自由振動(dòng)中，由于系統(tǒng)的能量守恒，如果振動(dòng)一旦發(fā)生，它就會(huì)持久的，等幅的一直進(jìn)行下去。但是，實(shí)際上所遇到的自由振動(dòng)都是逐漸衰減而至最終停止的，即系統(tǒng)存在阻尼。阻尼有相對(duì)運(yùn)動(dòng)表面的摩擦力，液體與氣體的介質(zhì)阻力，電磁阻力以及材料變形時(shí)的內(nèi)阻力等。圖2所示為考慮了阻尼的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型。其運(yùn)動(dòng)微分方程為 (2-1)令，則 （2-2）其通解為 （2-3）式中c

3、1、c2為積分常數(shù)，由振動(dòng)初始條件確定。令 ，稱為相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼率。則式 （2-3）可寫為 （2-4）由此可以討論阻尼對(duì)系統(tǒng)的自由振動(dòng)產(chǎn)生的影響。一、當(dāng)時(shí)，稱為弱阻尼狀態(tài)此時(shí)，為虛數(shù)，式 (2-4) 變?yōu)?（2-5）利用歐拉公式，式(2-5)可寫為 （2-6）括號(hào)內(nèi)為兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)相加,即式 (2-5) 可寫為 （2-7）由式(2-7)可以看出，弱阻尼自由振動(dòng)具有如下幾種特性:它是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的頻率為，這是為無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。一般情況下，常在0.1左右，因此對(duì)固有頻率的影響不大，即認(rèn)為 。2. 振動(dòng)的振幅為，其中、皆為定值。所以振幅隨時(shí)間變化的規(guī)律是一條指數(shù)遞減曲線(圖3)。二、

4、當(dāng)時(shí)，稱為強(qiáng)阻尼狀態(tài)此時(shí)，式(1.2.2-4)可寫成圖3 （2-8）由于，故式(2-8 )中二項(xiàng)指數(shù)皆為實(shí)數(shù)。又因?yàn)?，故二?xiàng)之指數(shù)皆為負(fù)值，所以，式（2-8）所表示的是一根指數(shù)遞減曲線。這表示系統(tǒng)將不再產(chǎn)生前面所述的振動(dòng)，而是產(chǎn)生一按指數(shù)規(guī)律衰減的曲線。三、當(dāng)時(shí)，稱為臨界阻尼狀態(tài) 由于 ，則有 (2-9) 這里 cc 為臨界阻尼狀態(tài)下的阻尼系數(shù)，稱為臨界阻尼系數(shù)。顯然它是系統(tǒng)本身所具有的特性之一。由及，有。也就是說(shuō)，相對(duì)阻尼系數(shù)（阻尼率）反映了系統(tǒng)的實(shí)際阻尼與臨界阻尼的關(guān)系。在臨界阻尼狀態(tài)下，有 (2-10)其中。顯然，在這種狀態(tài)下不能形成振動(dòng)。有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算與 MATLAB實(shí)現(xiàn)根據(jù)式

5、(2-7)、(2-8)、(2-10) 編寫的程序如下：function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用來(lái)計(jì)算單自由度有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)%VTB1繪出單自由度有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)圖%m為質(zhì)量;c為阻尼;k為剛度;x0為初始位移;v0為初始速度;tf為仿真時(shí)間%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)繪出單自由度有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)圖%zeta為阻尼系數(shù);n為固有頻率%程序中z為阻尼系數(shù);A為振動(dòng)幅度;phi為初相位clc%該循環(huán)確定輸入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),還是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)if nargin=5 z=

6、m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w2;endwn=sqrt(k/m);%固有頻率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z2);fprintf('固有頻率為%.3g.rad/s.n',wn);fprintf('阻尼系數(shù)%.3g.n',z);fprintf('有阻尼的固有頻率%.3g.n',wd);t=0:tf/1000:tf;if z<1 A=sqrt(v0+z*wn*x0)2+(x0*wd)2)/wd2); phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0); x=A*exp(-z*

7、wn*t).*sin(wd*t+phi); fprintf('A=%.3gn',A); fprintf('phi=%.3gn',phi);elseif z=1 a1=x0; a2=v0+wn*x0; fprintf('a1=%.3gn',a1); fprintf('a2=%.3gn',a2); x=(a1+a2*t).*exp(-wn*t);else a1=(-v0+(-z+sqrt(z2-1)*wn*x0*wn*x0)/2/wn/sqrt(z2-1); a2=(v0+(z+sqrt(z2-1)*wn*x0)/2/wn/sqrt(

8、z2-1);圖4 fprintf('a1=%.3gn',a1); fprint('a2=%.3gn',a2); x=exp(-wn*t).*(a1*exp(wn*sqrt(z2-1)*t) +a2*exp(wn*sqrt(z2- 1)*t);endplot(t,x),gridxlabel('時(shí)間(s)')ylabel('位移')title('位移相對(duì)時(shí)間的關(guān)系')運(yùn)行該程序時(shí)，只需要給出相應(yīng)參數(shù)，例如>>VTB1(1,0.05,1,1,1,100)則顯示固有頻率為1（rad/s）,阻尼系數(shù)0.03，幅值為A=1.43相位角為phi=0.773。其響應(yīng)曲線如圖 (4) 所示。程序中if語(yǔ)句就是判斷大小的，即判斷是弱阻尼狀態(tài)、強(qiáng)阻尼狀態(tài)還是臨界阻尼狀態(tài)。如果運(yùn)行>>VTB1(1,2,1,0.1,1,20)，則顯示固有頻率為1（rad/s），阻尼系數(shù)1。其響應(yīng)曲線如圖 (5) 所示。如果要想求出振動(dòng)的速度(=xd)和加速度(=xdd)，只要式(2-1)、式(