線性代數(shù)自考知識(shí)點(diǎn)匯總

1、行列式1. 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).推論1 如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素完全相同，則此行列式的值為零.如性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k ，等于用數(shù)k乘此行列式. 如 推論2如果行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為零如 性質(zhì)4若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和.如 性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.如2. 余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階

2、行列式叫做元素的余子式，記作，叫做元素的代數(shù)余子式如，元素的余子式為，元素的代數(shù)余子式為.3. 行列式按行（列）展開法則定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或如定理2 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或4. 行列式的計(jì)算（1）二階行列式（2）三階行列式（3）對(duì)角行列式，（4）三角行列式（5）消元法：利用行列式的性質(zhì)，將行列式化成三角行列式，從而求出行列式的值.（6）降階法：利用行列式的性質(zhì)，化某行（列）只有一個(gè)非零元素，再按該行（列）展開，通過降低行列式的階數(shù)求出行列式的值.（7）加邊法：行列式每行（列）所

3、有元素的和相等，將各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，進(jìn)而求出行列式的值.矩陣1. 常見矩陣1）對(duì)角矩陣：主對(duì)角線以外的元素全為0的方陣，稱為對(duì)角矩陣.記作.2）單位矩陣：主對(duì)角線上的元素全為1的對(duì)角矩陣，稱為單位矩陣.記作E.3）上三角矩陣：對(duì)角線以下的元素全為0的方陣.如4）下三角矩陣：對(duì)角線以上的元素全為0的方陣.如5）對(duì)稱矩陣：設(shè)A為階方陣，若，即，則稱A為對(duì)稱矩陣.6）反對(duì)稱矩陣：設(shè)A為階方陣，若，即 ，則稱A為反對(duì)稱矩陣.7）正交矩陣：設(shè)A為階方陣，如果或，則稱A為正交矩陣.2. 矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算（1）矩陣的加法如注： 只有同型矩陣才能進(jìn)行加減運(yùn)算； 矩陣相加減

4、就是對(duì)應(yīng)元素相加減.（2）數(shù)乘矩陣如注：數(shù)乘矩陣就是數(shù)乘矩陣中的每個(gè)元素.（3）矩陣的乘法：設(shè)，規(guī)定其中注：左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)；左矩陣A 的第i行與右矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和是矩陣乘積C的元素.左矩陣A的行數(shù)為乘積C的行數(shù)，右矩陣B的列數(shù)為乘積C的列數(shù).如行矩陣乘列矩陣是一階方陣（即一個(gè)數(shù)），即列矩陣乘行矩陣是s階方陣，即3. 逆矩陣設(shè)n階方陣A、B，若AB=E或BA=E，則A，B都可逆，且.（1）二階方陣求逆，設(shè) ，則（兩調(diào)一除法）.（2）對(duì)角矩陣的逆， .（3）分塊對(duì)角陣的逆 .（4）一般矩陣求逆，初等行變換的方法：.4. 方陣的行列式由階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各

5、元素的位置不變）叫做方陣A的行列式.記作或det（A）.5. 矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）互換兩行（列）；（2）數(shù)乘某行（列）；（3）某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）.6. 初等矩陣單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣.如都是初等矩陣.7. 矩陣的秩矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩.記作R（A）或r（A）.求矩陣的秩的方法：（1）定義法：找出A中最高階的非零子式， 它的階數(shù)即為A的秩.（2）初等行變換法：行階梯形矩陣，R（A）=R（行階梯形矩陣）=非零行的行數(shù).8. 重要公式及結(jié)論（1）矩陣運(yùn)算的公式及結(jié)論矩陣乘法不滿足交換律，即一般地AB

6、AB; 矩陣乘法不滿足消去律，即一般地若AB=AC，無(wú)B=C；只有當(dāng)A可逆時(shí)，有B=C. 一般地若AB=O，則無(wú)A=O或B=O.（2）逆矩陣的公式及定理A可逆|A|0AE（即A與單位矩陣E等價(jià)）（3）矩陣秩的公式及結(jié)論R( AB ) R( A ), R( AB ) R( B ).特別地，當(dāng)A可逆時(shí)，R(AB)=R(B)；當(dāng)B可逆時(shí)，R(AB)=R(A). 即等價(jià)矩陣的秩相等或初等變換不改變矩陣的秩.9. 矩陣方程（1）設(shè) A 為n階可逆矩陣，B為nm矩陣，則矩陣方程AX=B 的解為； 解法： 求出，再計(jì)算； . （2）設(shè) A 為n階可逆矩陣，B為mn矩陣，則矩陣方程XA=B 的解為；解法： 求

7、出，再計(jì)算； . 10. 矩陣間的關(guān)系（1）等價(jià)矩陣：如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B等價(jià).即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B. 性質(zhì)：等價(jià)矩陣的秩相等.（2）相似矩陣：如果存在可逆矩陣P，使得,那么稱A與B相似.性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，相同的特征值，相同的行列式，相同的跡. （3）合同矩陣：如果存在可逆矩陣P，使得，那么稱A與B合同.性質(zhì)：合同矩陣的秩相等.向量空間1. 線性組合（1）若k，則稱向量與成比例（2）零向量是任一向量組的線性組合（3）向量組中每一向量都可由該向量組線性表示2. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)（1） 單獨(dú)一個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是零向量 （

8、2） 單獨(dú)一個(gè)向量線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是非零向量 （3） 兩向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量對(duì)應(yīng)成比例.（4） 兩向量線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量不對(duì)應(yīng)成比例.（5） 含有向量的向量組一定線性相關(guān)（6） 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是 齊次線性方程組有非零解. 以向量組為列作的矩陣的秩n時(shí)，m個(gè)n維向量一定線性相關(guān).定理1：向量組 a1 , a2 , am （m2）線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示.向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是向量組中任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示 定理2：如果向量組A：a1 , a2 , ar 線性無(wú)關(guān)，而向量組 a1 , a2 , ar，

9、線性相關(guān)，則可由A線性表示，且表示式唯一.定理3：設(shè)向量組， 若A線性相關(guān)，則向量組B也線性相關(guān)；反之，若向量組B線性無(wú)關(guān)，則向量組A也線性無(wú)關(guān).（即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān)）.定理4：無(wú)關(guān)組的截短組無(wú)關(guān)，相關(guān)組的接長(zhǎng)組相關(guān).3. 極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩定義1 如果在向量組 T 中有 r 個(gè)向量 a1 , a2 , ar ，滿足條件： 向量組 a1 , a2 , ar 線性無(wú)關(guān)， ，線性相關(guān). 那么稱向量 a1 , a2 , ar 是向量組 T 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. 定義2 向量組的極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩.定義3 矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向

10、量組的秩稱為矩陣的列秩。結(jié)論1 線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是它本身。 結(jié)論2 如果向量組的秩是r ，那么該向量組的任意 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。定理1 設(shè)向量組A:a1,a2, ,ar；及向量組B:b1,b2, , bs，如果組A能由組B線性表示，且組A線性無(wú)關(guān)，則rs. 推論1 等價(jià)的向量組有相同的秩. 定理2 矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩.4. 向量空間定義1設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合V為向量空間.5. 基與向量在基下的坐標(biāo)定義2 設(shè)V是向量空間，如果向量組a1 , a2 , ar ，滿足條件：

11、 （1）向量組 a1 , a2 , ar 線性無(wú)關(guān)；（2），線性相關(guān). 那么稱向量組a1 , a2 , ar是向量空間V的一個(gè)基， 基中所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量空間V的維數(shù)，記作dimV，并稱V為r維向量空間定義3 設(shè)向量組 a1 , a2 , , ar 是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一向量x可唯一地表示為基的一個(gè)線性組合，即 ，稱有序數(shù)組為向量x在基 a1 , a2 , , ar下的坐標(biāo). 線性方程組1. 線性方程組解的判定（1） 線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣（A,b）的秩相同，即R（A）=R（A，b）. 當(dāng)R（A）=R（A，b）=r 方程組AX=b有惟一解的

12、充分必要條件是r=n; 方程組AX=b有無(wú)窮多解的充分必要條件是r n.（2） 方程組AX= b無(wú)解的充分必要條件是R(A) R（A，b）.2. 齊次線性方程組有非零解的判定 （1） 齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩 R(A) 未知量的個(gè)數(shù)n .（2） 含有n個(gè)方程，n個(gè)未知量的齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.（即|A|=0）（3） 齊次線性方程組AX=0中，若方程的個(gè)數(shù)m未知量的個(gè)數(shù)n，則方程組有非零解 3. 齊次線性方程組解的性質(zhì)（1） 若是Ax=0的解，則也是Ax=0的解；（2） 若是Ax=0的解，則也是Ax=0的解.4.

13、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解（1） 解空間 齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所組成的集合，是一個(gè)向量空間，稱為方程組 Ax=0的解空間記作V，即V= x | Ax=0，xR . （2） 基礎(chǔ)解系齊次方程組AX=0的解空間 V 的一個(gè)基，稱為齊次方程組AX=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)是n-r（A）.方程組AX=0的任意n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解都是AX=0的基礎(chǔ)解系.（3）齊次線性方程組的通解為，其中是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.5. 非齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若是Ax=b的解，則是Ax=0的解；即Ax=b 的任意兩個(gè)解的差必是其導(dǎo)出組Ax=0的解.（2）若是Ax=b的解，是Ax

14、=0的解，則是Ax=b的解.即Ax=b 的任意一個(gè)解和其導(dǎo)出組 Ax=0 的任意一個(gè)解之和仍是 Ax=b 的解.6. 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組AX=b的通解為其中為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 為非齊次線性方程組AX=b的任意一個(gè)解，稱為特解. 方陣的特征值1. 向量的內(nèi)積設(shè)，則x，y的內(nèi)積為.（1）向量x的長(zhǎng)度：（2）非零向量的單位化：若向量 x 0 , （3）當(dāng)正交.（4）若非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向量組為正交組（5）若正交組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱它為標(biāo)準(zhǔn)正交組.定理1 正交向量組必線性無(wú)關(guān)定理2 A 為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）

15、向量都是單位向量且兩兩正交（6）施密特正交化過程設(shè)是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組， 正交化：令； 單位化：取.則是與等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交組.2. 特征值與特征向量（1）方陣A的特征值是特征方程的根.（2）三角矩陣和對(duì)角矩陣的全部特征值就是它的全部對(duì)角元（3）方陣和它的轉(zhuǎn)置方陣有相同的特征值.（4）設(shè)是n階方陣A的全部特征值，則，.即方陣A的對(duì)角線上元素之和等于A的全部特征值之和，方陣A的行列式等于A的全部特征值的乘積.（5）若是方陣A的特征值，則是方陣的特征值. 特別地，當(dāng)時(shí)，方陣A的特征值是的根.說明：，.例如是方陣A的特征值，則方陣的特征值是.方陣的特征值是.例如若，則方陣A的特征值是的根，即.（6）設(shè)

16、都是方陣A的屬于同一特征值的特征向量，則也是的特征向量.（7）屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān). （8）屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的并集仍線性無(wú)關(guān).3. 方陣的對(duì)角化（1）若方陣A與對(duì)角矩陣相似，則說A可以對(duì)角化即存在可逆矩陣P，使得.（是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.）（2）n階方陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；屬于每一個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)與該特征值的重?cái)?shù)相同（3）n階方陣A可以對(duì)角化的充分條件是n階方陣A的n個(gè)特征值互不相等（4）若A與B相似，則與相似.4. 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（1）實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交.（2）

17、實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化. 即存在正交矩陣P，使得.（是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.）（3）利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣的步驟： (1)求特征值；(2)求特征向量；(3)將特征向量正交化，單位化；(4)最后將這些特征向量做成矩陣二次型1. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化（1） 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟: 寫出二次型的對(duì)稱矩陣A； 求A的全部特征值； 求每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量； 將特征向量正交化，單位化，得； 將這些特征向量做成矩陣，記，最后做正交變換x=Cy，得到f的標(biāo)準(zhǔn)形為.（其中是的矩陣A的特征值.）（2） 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟: 若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都