第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用自測(cè)題A

1、1設(shè)則在內(nèi) 。A至少有三個(gè)根B至少有一個(gè)根C僅有兩個(gè)根D至少有兩個(gè)根2若在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且, 則必有。ABC D3下列求極限題目中，不能使用洛必達(dá)法則的是。A B C D4設(shè)是曲線的拐點(diǎn),則在該點(diǎn)處。AB必有切線C D可能沒(méi)有切線5設(shè)一階可導(dǎo), 且, 則。A一定是的極大值 B一定是的極小值C一定不是的極值 D不一定是的極值6設(shè)為偶函數(shù)且二階可導(dǎo),若, 則。A一定是的極大值B一定的極小值C一定不是的極值D不一定是的極值7下列各式中, 當(dāng)時(shí)成立的是。A B C D8曲線。A沒(méi)有拐點(diǎn) B有一個(gè)拐點(diǎn) C有兩個(gè)拐點(diǎn) D有三個(gè)拐點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_.2函數(shù)的垂直漸進(jìn)線的方程是_.3,是在內(nèi)單調(diào)增

2、加的條件。4設(shè)，則=_.5設(shè)某種商品的需求函數(shù)為，其中表示需求量，表示產(chǎn)品單價(jià)，當(dāng)=_時(shí)，該商品可以獲得最大收益，此時(shí)的需求的價(jià)格彈性。6設(shè)，則，。7若，在內(nèi)，則在內(nèi)0，0 8.設(shè)產(chǎn)量為時(shí)的收益為，成本為，利潤(rùn)為。已知都是二階可導(dǎo)的函數(shù)，若為最大利潤(rùn)，則0.（是、否、不一定）小于零。1. 計(jì)算2. 計(jì)算3. 計(jì)算4. 計(jì)算1B 2C 3D 4D 5C 6A7C 8C123無(wú)關(guān) 456 ，-1 6 1 ， 7 8. ，不一定解：，故極限不存在。2解：本題是型極限，直接用洛必達(dá)法則求不出該極限，注意到，則，由于。故原式=。3解：。4.解：。5.已知在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，且有，其中為正常數(shù)，討論在點(diǎn)處

3、是否有極值。解：由，根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理有其中，于是可知當(dāng)在點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)時(shí)，與同符號(hào)，因此（1）當(dāng)在點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)時(shí)，若為偶數(shù)，則與同符號(hào)，當(dāng)時(shí)，可知為的極小值；當(dāng)時(shí)，可知為的極大值；（2）當(dāng)在點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)時(shí)，若為奇數(shù)，則在點(diǎn)的兩側(cè)異號(hào)，即不恒正(或恒負(fù))，可知不是極值。6. 設(shè)在內(nèi)一階可導(dǎo)，且在點(diǎn)二階可導(dǎo)，求極限。解：由于在內(nèi)一階可導(dǎo)，由洛必達(dá)法則可得，這時(shí)不符合洛必達(dá)法則的條件，因此不能用洛必達(dá)法則求它的極限，但，因此7. 已知是曲線的拐點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處取得極值，求。解：由題設(shè)有，又。所以有，解得。8設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（0）=0, 又 ，求并討論的連續(xù)性。解：，這

4、時(shí)連續(xù)所以又 9求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)、漸近線，并畫(huà)出草圖。解:1)定義域?yàn)?，且是非奇非偶函?shù)無(wú)對(duì)稱性，2）由于時(shí)，。故曲線過(guò)原點(diǎn)，又是函數(shù)的間斷點(diǎn)。3），令得駐點(diǎn).,令得列表如下13+0+0+0+0無(wú)定義由表看出拐點(diǎn)是，極小值是4）漸近線 是其鉛直漸近線；，故是其斜漸近線；無(wú)水平漸近線。5）作圖略。四.1. 證明不等式，其中。證明：令，顯然它在a,b上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在使即。而 故所以：。2. 設(shè)，且，為實(shí)常數(shù)，試證：。證明：，故顯然，在或上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是有，在0與之間，因此即：當(dāng)時(shí)，由于在0與之間，故當(dāng)時(shí)，從而可得：。自測(cè)題B一 選擇題：1

5、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，有。A B C D2對(duì)函數(shù)，柯西公式不成立的區(qū)間是，其中。A B C D3設(shè)，則。A B C D4函數(shù)，若，則。A是函數(shù)的極大值 B是函數(shù)的極小值C不是函數(shù)的極小值 D不能判定是否是函數(shù)的極值5條件是的圖形在點(diǎn)處是拐點(diǎn)的條件。A必要 B充分 C充分必要 D無(wú)關(guān)6若點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則。A BC D以上都不對(duì)7若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，和是區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn)，使。ABCD8在區(qū)間內(nèi)，曲線是。A下降且向上凸 B下降且向下凸C上升且向上凸 D上升且向下凸1曲線的漸近線是。2設(shè)時(shí)，與是同階無(wú)窮小，則。3曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是。4函數(shù)在區(qū)間上的最大值

6、是。5 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)則函數(shù)單調(diào)。6函數(shù)的凹區(qū)間是。7設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則。8.當(dāng)時(shí)，是的5階無(wú)窮小，則，。1A 2D 3B 4B5D 6C 7C 8C1233 245增加67C(C表示任意常數(shù)) 8.1求解：。2求解：原式。3求曲線的漸近線。解：（1），故為的水平漸近線；，故為的水平漸近線；（2）使沒(méi)有意義的點(diǎn)是。，故為的垂直漸近線；，故為的垂直漸近線；，故不是的垂直漸近線。4已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，又設(shè)，求的值。解：由條件易知，另一方面，由拉格朗日中值定理得，其中。因此。比較等式兩端得，故。5寫(xiě)出的麥克勞林公式，并求與。解：將公式中的用替換，得。根據(jù)泰勒公式系數(shù)的定義

7、，在上述的麥克勞林公式中，與的系數(shù)分別為與。由此得及。6設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍。解：時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)且，因此是極小值，從而是最小值。由條件可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單減，由于，因此在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，或時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。7某工廠在一生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)某產(chǎn)品為a噸，分若干批生產(chǎn)，每批產(chǎn)品需投入固定支出2000元，每批產(chǎn)品生產(chǎn)時(shí)直接耗用費(fèi)用（不包括固定支出）與產(chǎn)品數(shù)量的立方成正比，又知每批產(chǎn)品為20噸時(shí)，直接耗用費(fèi)用為4000元，問(wèn)每批生產(chǎn)多少噸時(shí)使總費(fèi)用最省？解：噸。8已知函數(shù)，試

8、求其單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，圖形的凹凸性，拐點(diǎn)和漸近線，并畫(huà)出函數(shù)的圖形。解：（1）定義域?yàn)?。?），令得，且，（3）列表如下：2 0 無(wú)定義極小值3 （4）漸近線，因此是它的一條垂直漸近線，又由于，因此是它的一條斜漸近線。（5）作圖略。四證明題：1當(dāng)時(shí)，證明不等式.解：所證不等式等價(jià)于，作輔助函數(shù)，只要證明下面的不等式成立即可：，考慮在內(nèi)的最小值問(wèn)題：，令，得駐點(diǎn)。因?yàn)椋詾闃O小值。又因?yàn)?，所以，也是在最小值。故?dāng)時(shí)，。即當(dāng)時(shí)，.2設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。提示：對(duì)函數(shù)在應(yīng)用拉格朗日中值定理。3設(shè)，求證。證明：設(shè)，且，由，得，由，可知當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，所以當(dāng)時(shí)，即也即。自

9、測(cè)題 C1設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則 （ ）A.對(duì)任意B. 對(duì)任意C.函數(shù)單調(diào)增加 D. 函數(shù)單調(diào)增加2. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo)，則 （ ）A.當(dāng)時(shí)，必有B當(dāng)存在時(shí)，必有C.當(dāng)時(shí)，必有D當(dāng)存在時(shí)，必有3設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則 （ ）A.是的極大值B.是的極小值C.是曲線的拐點(diǎn)D.不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)4.曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ）A.0 B.1 C.2 D.35.若函數(shù)在內(nèi)且則在內(nèi)有 （ ）A.， B.，C.， D.，6設(shè)下列命題正確的是 （ ）A.是的極大值,是的極小值B.是的極小值,是的極大值C.是的極大值,是的極大值D.是的極小值,是的極小值7設(shè)則 （ ）A. 是的

10、極值點(diǎn)，但不是曲線的拐點(diǎn)B.不是的極值點(diǎn)，但是曲線的拐點(diǎn)C.是的極值點(diǎn)，且是曲線的拐點(diǎn)D.不是的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn)8設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則有 （ ）A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C. 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D. 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) yA B O C x1.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線的凸區(qū)間為。2.。3.。4.。5曲線的漸近線方程為。6函數(shù)在區(qū)間上的最大值是。7。 8已知是由方程所確定的隱函數(shù)，曲線有斜漸近線，則，。自測(cè)題C參考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C1. 2. 3. 4.5 616

11、72 81，三 計(jì)算題與證明題：1討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解:設(shè)則有不難看出，是的駐點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，即單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)增加，故為函數(shù)的最小值。當(dāng)即時(shí)，無(wú)實(shí)根，即兩條曲線無(wú)交點(diǎn)。當(dāng)即時(shí)，有唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)即時(shí)，由于；，故有兩個(gè)實(shí)根，分別位于與即兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。2已知函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。證明：（1）存在，使得；（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得。證明：（1）令則在連續(xù)，且所以存在，使得即。（2）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在使得從而。3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且證明存在和，使及。證明：不妨設(shè)即故由函數(shù)極限的局部保號(hào)性知，存在使由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可得存在使得。再由及羅

12、爾定理，知存在和使，又在區(qū)間上對(duì)應(yīng)用羅爾定理，知存在使。4.設(shè)且，證明。證明：因?yàn)檫B續(xù)且具有一階導(dǎo)數(shù)，所以由知又令則由于所以。又由知單調(diào)增加，故是的極小值，且只有一個(gè)駐點(diǎn)，從而是的最小值。因此即。5試證：當(dāng)時(shí)，。證明：令則，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是，當(dāng)時(shí)，即。6就k的不同取值情況，確定方程在開(kāi)區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。解：設(shè)，則在上連續(xù)。由解得在內(nèi)的唯一駐點(diǎn).由于當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)減少,在上單調(diào)增加,因此是在內(nèi)的唯一極小值點(diǎn),極小值為，故最小值為.又因故在在內(nèi)的取值范圍為因此當(dāng)即或時(shí),原方程在內(nèi)沒(méi)有根;當(dāng)時(shí), ,原方程在內(nèi)有唯一根;當(dāng)時(shí),原方程在和內(nèi)各恰有一個(gè)根,即原方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的根.7. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在且單調(diào)減少;試用拉格朗日中值定理證明不等式:,其中常數(shù)a,b