第4章 習題解答

1、第4章 習題與答案4-1作簡諧振動的物體，每次通過同一位置時，不一定相同的量是 (A) 位移； (B) 速度； (C) 加速度； (D) 能量。答案：B 4-2 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，使擺線與豎直方向成一微小角度q ，然后由靜止放手任其振動，從放手時開始計時。若用余弦函數(shù)表示其運動方程，則該單擺振動的初相為 (A) p； (B) p/2； (C) 0； (D) q 答案：C 4-3 諧振動的振動曲線如題4-3圖所示，則有 （A）A超前/2； （B）A落后/2；題4-3圖 （C）A超前； （D）A落后。答案：A 4-4 一個質(zhì)點作簡諧振動，振輻為A，在起始時刻質(zhì)點的位移為A/2，

2、且向x軸的正方向運動，代表此簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖為題4-4圖 中哪一個? 題4-4圖 (C)(B)(A)(D)OxwA/2AOOxA/2wAOxOA/2AwOxAwA/2答案：B 4-5 兩個質(zhì)點各自作簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同。第一個質(zhì)點的振動方程為x1 = Acos(wt + a)。當?shù)谝粋€質(zhì)點從相對于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時，第二個質(zhì)點恰在最大負位移處。則第二個質(zhì)點的振動方程為 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 答案：A 4-6 已知某簡諧振動的振動曲線如題4-6圖所示。則此簡諧振動的振動方程（SI）為 （A）； （B）； 題4-6圖 （C）； （D）。答

3、案：C 4-7 彈簧振子作簡諧振動，先后以相同的速度依次通過A、B兩點，歷時1秒，質(zhì)點通過B點后再經(jīng)過1秒又第二次通過B點，在這2秒內(nèi)質(zhì)點通過的總路程為12cm，則質(zhì)點的振動周期和振幅分別為 （A）3s、12cm ； （B）4s、6cm； （C）4s、9cm； （D）2s、8cm。答案：B 4-8 一質(zhì)點作簡諧振動，振動方程式為，動能和勢能相等時，它的位移為 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。答案：B 4-9 作簡諧運動的單擺，在最大角位移向平衡位置運動過程中 （A）動能減少，勢能增加； (B) 動能增加，勢能減少；（C）動能增加，勢能增加； (D) 動能減少，勢能減少。答案：B

4、4-10 一彈簧振子作簡諧振動，其運動方程用余弦函數(shù)表示。若t = 0時，振子在位移為A/2處，且向負方向運動，則初相為 。答案：p/3 題4-11圖 4-11 一水平彈簧簡諧振子的振動曲線如題4-11圖所示。當振子處在位移為零、速度為-wA、加速度為零的狀態(tài)時，對應于曲線上的 點；當振子處在位移的絕對值為A、速度為零、加速度為-w2A的狀態(tài)時，對應于曲線上的_點。答案：b，f；a，e 4-12兩質(zhì)點1和2均沿X軸作簡諧振動，振幅分別為A1和A2。振動頻率相同。在t=0時，質(zhì)點1在平衡位置向X軸負向運動，質(zhì)點2在處向x軸正向運動，兩質(zhì)點振動的相位差= .答案： 4-13一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，

5、振動范圍的中心點為x軸的原點. 已知周期為T,振幅為A.(a)若t=0時質(zhì)點過x=0處且朝x軸正方向運動,則振動方程為x= .(b)若t=0時質(zhì)點處于x=A/2處且朝x軸負方向運動,則振動方程x= .答案：Acos(2pt/T-p/2)，Acos(2pt/T+p/3) 4-14 已知兩個作簡諧振動的物體的質(zhì)量相同，振動曲線如圖所示。則這兩個簡諧振動的總能量之比為_。題4-14圖答案：4-15 一質(zhì)點同時參與了兩個同方向的簡諧振動,它們的振動方程分別為x1=0.05cos(w t+p/4) (SI)和x2=0.05cos(w t+19p/12) (SI)，其合成運動的運動方程為x= .答案：0.

6、05cos(wt-p/12) 4-16從運動學角度看什么是簡諧振動? 從動力學角度看什么是簡諧振動?一個物體受到一個使它返回平衡位置的力，它是否一定作簡諧振動?答：從運動學角度看，物體在平衡位置附近作來回往復運動，運動變量(位移、角位移等)隨時間t的變化規(guī)律可以用一個正(余)弦函數(shù)來表示，則該物體的運動就是簡諧振動。從動力學角度看，物體受到的合外力(合外力矩)與位移(角位移)的大小成正比，而且方向相反，則該物體就作簡諧振動。根據(jù)簡諧振動的定義可以看出，物體所受的合外力不僅要與位移方向相反，而且大小應與位移大小成正比。所以，一個物體受到一個使它返回平衡位置的力，不一定作簡諧振動。4-17試說明下

7、列運動是不是簡諧振動：(1)小球在地面上作完全彈性的上下跳動；(2)小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動；(3)曲柄連桿機構(gòu)使活塞作往復運動；(4)小磁針在地磁的南北方向附近擺動。答：簡諧振動的運動學特征是：振動物體的位移(角位移)隨時間按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律變化；動力學特征是：振動物體所受的合力(合力矩)與物體偏離平衡位置的位移(角位移)成正比而反向；從能量角度看，物體在系統(tǒng)勢能最小值附近小范圍的運動是簡諧振動，所以：(1)不是簡諧振動，小球始終受重力，不滿足上述線性回復力特征；(2)是簡諧振動，小球只有在“小幅度”擺動時才滿足上述特征；(3)不是簡諧振動活塞所受的力與位移成非線性關(guān)系

8、，不滿上述動力學特征；(4)是簡諧振動，小磁針只有在“小幅度”擺動時才滿足上述特征。4-18若把單擺或彈簧振子放到月球上去，它們的振動周期會發(fā)生變化嗎?答：由單擺的周期可知，把單擺放到月球上去以后，由于其重力加速度g發(fā)生了變化，所以單擺的振動周期就變長了。而由彈簧振子的振動周期可知，在月球上彈簧振子的振動周期不會變，因為彈簧振子的振動周期不涉及地球或月球的因素，只與彈簧振子本身的因素有關(guān)。4-19在振動中，為什么要用相位來表示振動物體的運動狀態(tài)?答：在力學中，物體在某一時刻的運動狀態(tài)是用位移、速度和加速度來描述的。在振動中，其特點是運動狀態(tài)變化的周期性，對于這種運動，已知相位可以確定位移、速度

9、和加速度，但是，只用位移、速度和加速度這些物理量無法反映其周期性的特征。對于簡諧振動，當振幅和振動頻率一定時，振動物體在任一時刻相對平衡位置的位移及其速度都由相位來決定。在一個周期內(nèi)，相應的相位在02之間，物體所經(jīng)歷的運動狀態(tài)在各點都不相同；在下一周期則重復上述各運動狀態(tài)。所以，物體經(jīng)歷兩個相同的運動狀態(tài)，必須間隔一個周期或周期T的整數(shù)倍時間，相應地相位間的差則為2或2的整數(shù)倍。這樣，用相位來既可以決定物體的運動狀態(tài)，又可以反映出這種運動的周期性特征。另外，在比較兩個同頻率簡諧振動的運動狀態(tài)變化的步調(diào)時，用相位表示更一目了然，具有明顯的優(yōu)越性。例如，若大于零或小于零，就表示振動物體2超前振動物

10、體1或落后于振動物體1；若0則表示兩個物體的振動是同步的。因此，在振動學中，用相位來表示運動狀態(tài)。4-20彈簧振子的無阻尼自由振動是簡諧振動，同一彈簧振子在周期性驅(qū)動力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)受迫振動也是簡諧振動，這兩種簡諧振動有什么不同?答：無阻尼自由振動(簡諧振動)的振幅由決定，振動周期由決定，即A和T由系統(tǒng)的初始狀態(tài)、和系統(tǒng)本身的固有性質(zhì)決定，其中的是簡諧振動系統(tǒng)的固有角頻率。而彈簧振子在周期性驅(qū)動力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅由決定，由此可知，系統(tǒng)的振幅不再由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和決定，而依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和周期性驅(qū)動力的特征。穩(wěn)態(tài)受迫振動的振動頻率也不決定于系統(tǒng)本身的固有性質(zhì)，而由驅(qū)動

11、力的頻率決定。4-21何謂拍現(xiàn)象，出現(xiàn)拍現(xiàn)象的條件是什么？如果參與疊加的兩個振動的頻率相差很大，能否出現(xiàn)拍現(xiàn)象?答：兩個頻率都較大，但頻率之差都很小的兩個同方向簡諧振動合成所產(chǎn)生的合振動其振幅周期性變化的現(xiàn)象叫做拍。出現(xiàn)拍現(xiàn)象要求兩個分振動的角頻率都較大且非常接近，其差值很小時，即遠小于和。如果參與疊加的兩個振動的頻率相差很大，不能出現(xiàn)拍現(xiàn)象。題4-22圖4-22 由質(zhì)量為M的木塊和勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧組成在光滑水平臺上運動的諧振子，如題4-36圖所示。開始時木塊靜止在O點，一質(zhì)量為m的子彈以速率v0沿水平方向射入木塊并嵌在其中，然后木塊（內(nèi)有子彈）作簡諧振動。若以子彈射入木塊并嵌在木塊中時

12、開始計時，試寫出系統(tǒng)的振動方程。取x軸如圖所示。解：寫系統(tǒng)的振動方程，要求出A，w，f , vm為子彈與木塊（一個整體）開始運動的速率，由動量守恒得： 4-23 一質(zhì)量均勻的方木塊靜止在水面上，沒入水中的高度為。如果將木塊輕輕下壓再放手，它將上下浮動。試證明木塊的上下浮動為簡諧振動，且周期為。（不考慮水的阻力）解：由受力分析可知，當木塊離開平衡位置的位移為x時，重力與浮力的合力為，這里和分別是水的密度和木塊的底面積。此外，由平衡條件，木塊的質(zhì)量?？梢?，木塊的運動等效于一質(zhì)量，勁度系數(shù)的彈簧振子的運動，故為簡諧振動。振動周期4-24質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質(zhì)點1在 x1=A/

13、2 處，且向左運動時，另一個質(zhì)點2在 x2= -A/2處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的位相差。解：設(shè)兩個同頻率、同振幅的簡諧振動表達式分別為， 由 ，且向左運動，得 由 ，且向右運動，得 則兩個質(zhì)點的位相差 （ 或 ） 4-25簡諧運動的小球，速度最大值為cm/s，振幅cm，若從速度為正的最大值的某時刻開始計算時間。（1）求振動的周期；（2）求加速度的最大值；（3）寫出振動表達式。解：（1）振動表達式為 振幅，得 周期 （2）加速度的最大值 （3）速度表達式 由旋轉(zhuǎn)矢量圖知， 得初相 振動表達式 （SI） 4-26知某簡諧振動的振動曲線如題4-26圖所示，位移的單位為厘米，時間單位為秒。求此簡諧

14、振動的振動方程。解：設(shè)振動方程為 由曲線可知 A = 10 cm當t = 0， 題4-26圖解上面兩式，可得 初相 由圖可知質(zhì)點由位移為 x0 = -5 cm和v 0 < 0的狀態(tài)到x = 0和 v > 0的狀態(tài)所需時間t = 2 s，代入振動方程得 則有 ， 故所求振動方程為 (SI) 4-27 質(zhì)量為1kg的質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程為 (SI)（1）寫出動能和勢能的表達式；（2）當x值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半； （3）質(zhì)點從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為多少?解：（1） ，勢能 動能 總能量 （2） 勢能 總能量 由題意， m (3) 周期 T = 2p/w = 6 s 從平衡位置運動到的最短時間 Dt 為 T/8 Dt = 0.75 s 4-28一彈簧振子作簡諧振動，振幅A=0.20m，如彈簧的勁度系數(shù)k=2.0N/m，所系物體的質(zhì)量m=0.50kg，試求：（1）當動能和勢能相等時，物體的位移是多少?（2）設(shè)t=0時，物體在正最大位移處，達到動能和勢能相等處所需的時間是多少?（在一個周期內(nèi)。）解：(1)由題意，及簡諧振動特征，得(2)由條件，得4-29有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，