空間幾何—平行垂直證明高一

1、空間幾何平行垂直證明專題訓(xùn)練v 知識(shí)點(diǎn)講解一、“平行關(guān)系”常見(jiàn)證明方法（一）直線與直線平行的證明1) 利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對(duì)邊互相平行2) 利用三角形中位線性質(zhì)3) 利用空間平行線的傳遞性:m/a,m/ba/b平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 4) 利用直線與平面平行的性質(zhì)定理：b如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。5）利用平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行 6）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行。7）利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì)：在同一個(gè)平面

2、內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。8）利用定義：在同一個(gè)平面內(nèi)且兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)（二）直線與平面平行的證明1) 利用直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 2) 利用平面與平面平行的性質(zhì)推論：兩個(gè)平面互相平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一個(gè)平面。a3) 利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)（二）平面與平面平行的證明常見(jiàn)證明方法：1) 利用平面與平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。P2) 利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等3) 利用定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)

3、二、“垂直關(guān)系”常見(jiàn)證明方法（一）直線與直線垂直的證明1) 利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2) 看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3) 利用直線與平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。 b4) 利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論：如果兩個(gè)平面互相垂直，在這兩個(gè)平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。b5) 利用常用結(jié)論：c 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三條直線。b b 如果有一條直線垂直于一個(gè)平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直

4、線互相垂直。（二）直線與平面垂直的證明1) 利用某些空間幾何體的特性：如長(zhǎng)方體側(cè)棱垂直于底面等2) 看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直于此平面。3) 利用直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線垂直于此平面。4) 利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。5) 利用常用結(jié)論： 一條直線平行于一個(gè)平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。 兩個(gè)平面平行，一直線垂直于其中一個(gè)平面，則該直線也垂直于另一個(gè)平面。（三）平面與平面垂直的證明1) 利用某些空間幾何體的特性：如長(zhǎng)方體側(cè)面垂直于

5、底面等2) 看二面角：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就說(shuō)這連個(gè)平面互相垂直。3) 利用平面與平面垂直的判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。題型一：平行（線線平行、線面平行、面面平行）例1.如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，求證： EF平面ABC； (兩種方法證明)方法一：方法二： 例2.如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)， 求證：平面（兩種方法證明）方法一：方法二： 3如圖，在底面為平行四邊行的四棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；（兩種方法證明）方法一：方法二：4.如圖，分別為，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面；（兩種方法證明）方法一：方法二：

6、 課后練習(xí)1.已知空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證：AC/平面EFG.2.已知空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證：EF /平面BGH.3.已知在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，E為PC的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn).求證：OE /平面ADP4.已知在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形， E為PC的中點(diǎn). 求證：PA/平面BDE5.正方體中，分別是中點(diǎn).求證：平面6.如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形， 為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)證明：直線平面；7.在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形

7、，E,F分別是AB，PD的中點(diǎn). 求證：平面PBAPCBAPDCBAPADCBAPEAPFAP9已知正方體ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)求證： C1O/平面AB1D1； 題型二：垂直（線線垂直、線面垂直、面面垂直）1.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在上，.求證：平面平面.2.如圖，正三棱柱中，D是BC的中點(diǎn)，求證：直線； 3.如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上. 求證：平面； 4.如圖，直三棱柱中，AB=1，ABC=.求證：5. 直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，求證：平面； 6.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，PAC=PBC=90º。 求證：ABPC 課后練習(xí)1.如圖，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱.求證：BD平面ACC1A1;2.如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且底面，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連結(jié)，（1）求證：平面；（2）求證：平面。4.如圖所示，四邊形為矩形，平面，為上的點(diǎn)，且平面 （1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積。5.如圖，正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，