空間角與距離和空間向量VIP

1、空間角與距離 1.角：異面直線(xiàn)所成的角,直線(xiàn)和平面所成的角,二面角,都化歸為平面幾何中兩條相交直線(xiàn)所成的角。異面直線(xiàn)所成的角：通過(guò)平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線(xiàn)、補(bǔ)形法等。直線(xiàn)和平面所成的角：通過(guò)作直線(xiàn)射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線(xiàn)定理法，棱的垂面法及面積射影法。2.距離：異面直線(xiàn)的距離，點(diǎn)面距離，線(xiàn)面距離及面面距離。異面直線(xiàn)的距離：除求公垂線(xiàn)段長(zhǎng)度外，通?；瘹w為線(xiàn)面距離和面面距離。線(xiàn)面距離，面面距離常化歸為點(diǎn)面距離。3.計(jì)算問(wèn)題：（1）空間角的計(jì)算步驟：一作、二證、三算異面直線(xiàn)所成的角 范圍：0°90° 方法：平移法；補(bǔ)形

2、法.直線(xiàn)與平面所成的角 范圍：0°90° 方法：關(guān)鍵是作垂線(xiàn)，找射影.二面角范圍：0°180° 方法：定義法； 三垂線(xiàn)定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S=Scos來(lái)計(jì)算（2）空間距離兩點(diǎn)之間的距離. 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離. 點(diǎn)到平面的距離. 兩條平行線(xiàn)間的距離.兩條異面直線(xiàn)間的距離. 平面的平行直線(xiàn)與平面之間的距離. 兩個(gè)平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，平行線(xiàn)面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化

3、成點(diǎn)到平面的距離.在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線(xiàn)間的距離是難點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線(xiàn)，求垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.(3)體積法.求異面直線(xiàn)的距離：(1)定義法，即求公垂線(xiàn)段的長(zhǎng). (2)轉(zhuǎn)化成求直線(xiàn)與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線(xiàn)的距離是分別在兩條異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離中最小的.注:在解答立體幾何的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.將空間圖形展開(kāi)是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問(wèn)題的一種常用方法.補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)

4、則圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單圖形.利用三棱錐體積的自等性，將求點(diǎn)到平面的距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高.平面圖形的翻折，要注意翻折前后的長(zhǎng)度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個(gè)三角形中的角度、長(zhǎng)度不變例51.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點(diǎn)，若CD2AB4，EFAB，則EF與CD所成的角為( ) (A)30°(B)45° (C)60°(D)90°例52. 如圖，AB=2，AC，BD，C，D，CD=1，則直線(xiàn)AB與所成的角為（ ）(A)30 (B)60 (C)arctan (D)45例53. 已知正方形ABCD，沿對(duì)角線(xiàn)AC將ADC折起，設(shè)A

5、D與平面ABC所成的角為b，當(dāng)b 取最大值時(shí)，二面角BACD等于( ) (A)1200 (B)900 (C)600 (D)450例54. 若三直線(xiàn)PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=3，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（ ）(A) (B) (C) (D)空間角與距離和空間向量空間角與距離例55. 等邊ABC的邊長(zhǎng)是1，BC邊上的高是AD，沿AD折成直二面角，則點(diǎn)A到BC的距離是（ ）(A) (B) (C) (D)1例56. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E是的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)OE和之間的距離等于( )(A) (B)1 (C) (D) 例57.正方體ABCD-A1B1

6、C1D1中，（1）BC1與底面ABCD所成角為 ；（2）A1C與底面ABCD所成的角的正切值為 ；（3）BC1與對(duì)角面BB1D1D所成的角為 。例58. 若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是 .例59. 二面角為，在其內(nèi)一點(diǎn)到平面的距離分別為2，3，則的周長(zhǎng)的最小值為 . 例60. 如圖，PABCD是正四棱錐，是正方體，其中.（1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的大??；（3）求到平面PAD的距離.空間向量及其運(yùn)算 1.空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算：(1)在空間，具有大小和方向的量叫做向量長(zhǎng)度相等且方向相同的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等

7、的向量(2)空間向量的加法、減法與向量數(shù)乘運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的推廣(3)空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算律：加法交換律：;加法結(jié)合律：;數(shù)乘分配律：.空間向量及其運(yùn)算2.共線(xiàn)向量與共面向量: (1)如果表示向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫共線(xiàn)向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量任意兩個(gè)向量總是共面的(3)共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)使;推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn) P在直線(xiàn)上的充要條件是存在實(shí)數(shù),滿(mǎn)足等式.其中向量叫做直線(xiàn)的方向向量.(4)共面向量定理:如果兩個(gè)向量不共線(xiàn),則向量與向量

8、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)，使. 推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有.3.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.其中叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z, 使 (這里隱含x+y+z1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證. 4.兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)向量的數(shù)量積 (2)向量的數(shù)量積的性質(zhì):(是單位向量)；.(3)向量的數(shù)量積滿(mǎn)足如下運(yùn)算律:交換律:; 與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律=

9、; 分配律:. 注:向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即5.如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用來(lái)表示在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)xOy平面、 yOz平面、z0x平面作空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使xOy=1350,yOz=900對(duì)于空間任一向量，由空間向量的基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記為=對(duì)于空間

10、任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為.空間向量及其運(yùn)算空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)=(a1,a2,a3),，則, (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)設(shè)，則=這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)則，這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式6. 法向量：若向量所在直線(xiàn)垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果, 那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：利用法向量可求點(diǎn)到平面的距離定理：如圖，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條射線(xiàn)，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為. (實(shí)質(zhì)是在法向量方向上的投影的絕對(duì)值) 利用法向量可

11、求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.直線(xiàn)與平面所成角(為平面的法向量).異面直線(xiàn)間的距離 (的公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離). (實(shí)質(zhì)是在公垂向量方向上的投影的絕對(duì)值)例61.已知向量(1，3，2)，(2，0，2)，(0，2，1)，則的模為( )(A) (B) (C)12 (D)13空間向量及其運(yùn)算例62. 如圖，已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AM、AG、MG，則+等于( ) (A) (B) (C) (D) 例63. 若、三個(gè)單位向量?jī)蓛芍g夾角為,則|+

12、|( )(A)6 (B) (C)3 (D)例64. 設(shè)，則使A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)的條件是( )(A)，(B) (C) (D)例65. 設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則BCD是( )(A)鈍角三角形 (B)直角三角形 (C)銳角三角形 (D)不確定例66. 設(shè)是平面 a 內(nèi)的兩個(gè)非零向量，則0，0是為平面 a 的法向量的( )(A)充分條件 (B)充要條件 (C)必要條件(D)既非充分又非必要條件例67. 若A(1，2，3)、B(2，4，1)、C(x，1，3)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則x 例68. 已知，若，共同作用在一個(gè)物體上，使物體從點(diǎn)M1(1, 2, 1)移到點(diǎn)M2(3, 1,

13、 2)，則合力所作的功為_(kāi).例69. 這四個(gè)點(diǎn)是否共面_.(注:共面填“是”,不共面填“否”) 例70. 如圖直角梯形OABC中，COAOAB，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz.求的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；設(shè)OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）；O到平面SBC的距離.設(shè)_. 異面直線(xiàn)SC、OB的距離為_(kāi).（注：只要求寫(xiě)出答案）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題(第九章直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單的幾何體)答案例51. A 例52.B 例53B例54.B例55.C 例56.A例57. (1)450（2）（3）300 例58. 75 0或1650 例59. 作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，A2，A1A2的長(zhǎng)度即為所求