矩陣特征值的運算性質(zhì)及推廣VIP

1、矩陣特征值的運算性質(zhì)及推廣摘 要:本篇論文主要從五方面來進行講解：引言；矩陣特征值的性質(zhì)；矩陣特征值的應用推廣；分塊矩陣的性質(zhì)；分塊矩陣特征值應用推廣。由于本篇論文是要以矩陣特征值性質(zhì)的應用為主題，首先介紹總結了矩陣的一些基本概念及矩陣基本運算，然后在文中著重闡述了矩陣特征值性質(zhì)，羅列出相關引理并予以證明,然后通過五種類型的矩陣特征值的應用例子將矩陣特征值的運算性質(zhì)進行推廣。將矩陣拓展到分塊矩陣，討論分塊矩陣的性質(zhì)及應用.關鍵詞： 矩陣，特征值，特征向量，特征方程，特征多項式 The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui hai

2、yang (Institute of Computer Science, Math) Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues. Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic c

3、oncepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. Key words：Matrix , Eigenvalue,

4、 Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial1 引 言矩陣計算領域在不斷的發(fā)展和成熟，作為一門數(shù)學學科，它是眾多理工學科重要的數(shù)學工具，矩陣理論既是經(jīng)典數(shù)學的基礎課程，是數(shù)學的一個重要且目前仍然非?；钴S的領域，又是一門最有實用價值的數(shù)學理論，是計算機科學與工程計算的核心，已成為現(xiàn)代各科技領域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關系強有力的工具.計算機科學和工程問題很多都可以轉(zhuǎn)化成矩陣的運算與求解，特別是計算機普及應用為矩陣論的應用開辟了廣泛的前景.隨著科學技術的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)的知識已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩

5、陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領域必不可少的工具.半個多世紀以來，計算機已廣泛應用于自然科學和工程技術的各個領域，使得矩陣理論的重要性越來越顯著，這是因為用矩陣理論和方法解決現(xiàn)代工程技術中的各種問題，不僅表述簡潔，便于進行研究，而且更具有適合計算機處理的特點，電子計算機及計算技術的迅速發(fā)展為矩陣理論的應用開辟了更廣闊的前景。矩陣理論在各學科領域有廣泛的應用，諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計、控制論、力學、電子學、網(wǎng)絡等學科領域都與矩陣理論有著密切的聯(lián)系，甚至在經(jīng)濟管理、金融、保險、社會科學等領域，矩陣理論和方法也有著十分重要的應用.目前在高等院校，矩陣論（或稱為矩陣分析、矩陣理論、矩

6、陣方法等）已經(jīng)列為工科研究生的必修課程.但是對本科學生來說，一般只作為選修課程（也有為數(shù)不多的院校把它列為必修課），學生學到的矩陣理論知識與方法非常有限，無法適應現(xiàn)代科學技術的飛速發(fā)展.本課題引入幾種在矩陣的理論和計算方法中有重要應用的特殊的矩陣乘法運算，深入討論矩陣特征值的研究意義，以及矩陣特征值的應用. 2. 矩陣特征值的性質(zhì)與應用 2.1 矩陣特征值的性質(zhì)設是階方陣,如數(shù)與維非零列向量使關系式成立,則稱數(shù)為方陣的特征值,稱為的對應于的特征向量；稱為特征多項式，稱為特征方程5.性質(zhì)16設為階方陣,為的個特征值,則.性質(zhì)26方陣可逆的個特征值都不為零.性質(zhì)36設為方陣的特征值，為的多項式,則

7、為的特征值.性質(zhì)46不為方陣的特征值.性質(zhì)56(凱萊哈密頓定理)設階方陣的特征多項式為,則.性質(zhì)66設階方陣的個特征值為,且為對應的個線性無關的特征向量,記,則性質(zhì)76設為階實對稱陣, 是它的個特征值,則(1)當且僅當都大于零時, 正定;(2)當且僅當都小于零時, 負定;(3)當且僅當都非負,但至少一個等于零時, 是半正定;(4)當且僅當都非正,但至少一個等于零時, 是半負定;(5)當且僅當中既有正數(shù),有又負數(shù)時, 是不定的. 2. 2矩陣特征值的應用 2. 2. 1 求方陣的行列式以及的多項式的行列式7.例1已知三階矩陣的特征值為1,-1,2,設,求：；.解: 由性質(zhì)1可得；因,由性質(zhì)3可知

8、的特征值為, , .故.的特征多項式為,令,得，故：.例2設是的特征值, ,求.解: 因是的特征值,既有,故. 2. 2. 2判斷方陣及的可逆性7.例 3 設 ,問當為何值時，可逆.解：因,故,為的三個特征值,由性質(zhì)4可知,當時,可逆.例 4設矩陣滿足,證明可逆.證明：設,則,因,即有,即,而,只有,于是,可知3不是的特征值,所以,即可逆. 2. 2. 3求方陣,的逆陣及的次冪7.例 5 設,求;.解： ,由性質(zhì)5有,故由,可知0不是的特征值,由性質(zhì)2知可逆.而,故,故注：用此法可將都化作的次數(shù)小于等于3的多項式,從而簡化的計算.例 6設3階方陣的特征值為;對應的特征向量依次為.求 (為大于1

9、的整數(shù)).解: 因線性無關,記,由性質(zhì)6有所以故 于是當為偶數(shù)時，；為奇數(shù)時，注：此法當可以對角化時才可使用.例 7設3階實對稱陣的特征值為6,3,3,與特征值6對應的特征向量為,求.解：設對應于3的特征向量為,因?qū)崒ΨQ陣的不同特征值下的特征向量正交,即有,即的分量滿足.又因特征值3的重數(shù)為2,所以對應于3恰有兩個線性無關的特征向量,顯然的基礎解系就是對應于3的兩個線性無關的特征向量.由得它的一個基礎解系為.令，由性質(zhì)6有.故. 2. 2. 4 求方陣的多項式7.例 8 設,計算.解：，而，顯然.由性質(zhì)5可知，所以. 2. 2. 5判斷實對稱陣的正定性例 9設階實對稱陣正定,則存在矩陣,使,且

10、也是正定矩陣.證明: 因為實對稱陣,故存在正交矩陣,使，其中為的個特征值.因正定，故有.于是令,故有,又因即與對角陣相似，相似矩陣的特征值相同，故為的個特征值，因，由性質(zhì)7知正定.3. 矩陣特征值的推廣 3. 1 分塊矩陣的性質(zhì)在高等代數(shù)中，矩陣的特征值問題是一項非常重要的內(nèi)容，特征值對于線性變換的研究具有基本的重要性而我們在求一些階數(shù)較高和較復雜的矩陣特征值時，經(jīng)常會用矩陣的分塊去解決，這樣可以使問題的解決更簡明下面就分塊在矩陣特征值問題中的應用進行一些簡單的討論對普通矩陣作初等變換相當于在矩陣左（或右）乘一個初等矩陣，同理，我們用廣義初等矩陣左（或右）乘一分塊矩陣，也就相當于對分塊矩陣作一

11、次廣義行（或列）初等變換且對矩陣作若干廣義初等變換，其秩也不變性質(zhì)1 設是矩陣,是矩陣,證明的特征多項式與的特征多項式有關系:. 11 分析:我們先把上式改寫為因為都是抽象矩陣,我們無法把和直接算出來,但它們是兩個行列式的值,我們就不妨構造出兩個矩陣來,使得它們的行列式為和,這樣,我們構造分塊矩陣,要出現(xiàn)行列式,則我們對做初等變換,即左乘一個廣義初等分塊矩陣對上式求行列式,得到: (1)同理, 右乘一個矩陣兩邊取行列式得到: (2)由(1)和(2)命題得證階引理1 設為矩陣,則為冪等矩陣的充分必要條件是,為階單位矩陣,表示的秩.引理2 冪等矩陣與或相似,.性質(zhì)2 設均為階方陣,且.若,則的特征

12、值為1或0,且1的個數(shù)和它們的秩相等.分析:因為給出的矩陣并不是具體的,所以我們考慮用分塊矩陣初等變換來解這個題目. 12證明: (1) 可逆時,即,因為,所以,又,由已知得,由引理1得到,同樣,所以是冪等矩陣,由引理2, ,和,有相同的特征值,所以的特征值為1或0,且特征值1的個數(shù)和它們的秩相等.(2) 當時,即,結論顯然成立.(3)設,即為非零又不可逆矩陣.因為,故存在可逆矩陣,使,令這里 ,從而這樣,且,由(1)的證明可知,存在可逆矩陣,使設因為所以設同上可得，故又，從而（因為上述矩陣的秩為），同樣，及故有綜上所述，對于，結論都成立。從上面的討論我們知道，對于一些給出的不是具體的矩陣，如

13、果要計算或證明有關它的特征值問題時，我們一般都采用分塊矩陣的方法，這樣可以使解決過程變得簡潔當然，分塊矩陣的應用并不僅僅在于特征值問題上，對于一些求矩陣的逆或者計算行列式等問題時，同樣可以用分塊矩陣去解決，在這里就不討論了參考文獻1 雷紀剛,唐平,田茹矩陣論及其應用M北京:機械工程出版社20052 程云鵬矩陣論M西北:工業(yè)大學出版社19993 史榮昌矩陣分析M北京:北京理工大學出版社20044 湯鳳香,方秀男矩陣 Khatri - Rao 積的推廣J黑龍江:佳木斯大學學報(自然科學版)20075 楊忠鵬,馮曉霞矩陣特殊乘積之間關系J.西安:莆田高等?？茖W校學報20016 戴華矩陣論M北京:科學

14、出版社20017 方保镕,周繼東等矩陣論M北京:清華大學出版社20048 蘇育才,姜翠波,張躍輝矩陣理論M北京:科學出版社20069 曾慕蠡等油田應用數(shù)學（第六卷）M東營:石油大學出版社199710 Bellman RIntroduction to Matrix AnalysisMThe Rand Corporation,197011 Horn R A, Johnson C R Matrix AnalysisMCambridge University Press,198512 王萼芳,石生明高等代數(shù)M北京:高等教育出版社200313 杜鵑,范嘯濤,馮思臣特殊矩陣Kronecker積J四川:四川師范大學學報200914 薛長峰矩陣的Hadamard乘積J江蘇:鹽城工學院學報（自然科學版）2009 致謝時光匆匆如流水，轉(zhuǎn)眼便是大學畢業(yè)時節(jié)，春夢秋云，聚散真容易。離校日期已趨臨近，畢業(yè)論文的的完成也隨之進入了尾聲。從開始進入課題到論文的順利完成，一直都離不開老師、同學、朋友給我熱情的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意!本學位論文是在我的導師李玉潔講師的親切關懷和悉心指導下完成的。他嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。從課題的選擇到項