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文檔簡介
1、高等數(shù)學第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)一、函數(shù)1.函數(shù)分類概念分類類型分類研究函數(shù)的主要問題:初等性質(zhì):單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性。分析性質(zhì):極限、連續(xù)性、可微性、可積性2. 例題(僅限于對應)引例 ,求解 例1 ,求。解 例2 ,且,求,并寫出定義域。解 ,。例3 設滿足,其中均為常數(shù),且,求的表達式。解 ,消掉得。小結:上述四例均強調(diào)或說體現(xiàn)“對應”,即自變量在抽象函數(shù)中的位置與具體函數(shù)中的位置相對應。抓住“對應”一點。函數(shù)問題基本解決。其他問題從略(本類題考率三年一次)。3. 習題1 設,則 1 。2 設,則(D)(A) (B)(C) (D)3 設,則(B)(A)0(B)1(C)(D)。4
2、 是(D)(A) 有界函數(shù)(B)單調(diào)函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)偶函數(shù)5 設連續(xù),則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(D)。(A)(B)(C)(D)二、極限1內(nèi)容總結1)基本型:型,2)等價代換當時,3)重要極限()其他極限不存在例:4)用泰勒公式求極限5)用夾逼定理和單調(diào)有界原理求極限(主要用于數(shù)列極限問題)2、例題基礎題目1(型) ;(型);2(等價代換);()(注意的處理。,。)3冪指4泰勒公式(注對泰勒公式只需熟悉展開式)5夾逼定理與單調(diào)有界1) 表示取整函數(shù)解1 當時,故當時,故從而 解2 ,表示小數(shù)部分2)對于數(shù)列,已知,證明。證:由歸納法易證,又 ,即當時有下界同時,即單減,從而收斂。設,對遞
3、推式取極限得,解得,(舍)。注:為兩點遞推式,寫成連續(xù)型函數(shù),若,則為單調(diào)數(shù)列,若,則不是單調(diào)的,據(jù)此可以調(diào)整證明目標。3、專題訓練類題目1)重要極限與冪指型極限例1例2例32)等價代換例1例2例33)反問題例1,求值解 原式,故。例2,求。解 原式,由此,有回代原式 例3,求。解 當時,故,則從而 ,由此。三、連續(xù)函數(shù)1定義:,稱在點連續(xù)。(本質(zhì)上 )2、問題分類1)討論函數(shù)的連續(xù)性2)指出函數(shù)間斷點,且分類3)介值定理應用4)連續(xù)性應用()3、例題例1 討論的連續(xù)性。解 當時,考查三點;(除以上三點外,函數(shù)連續(xù));,為第一類間斷點;是第一類間斷點(可去間斷)同法 ;,是第一類間斷點。例2
4、設,討論的間斷點及其類型。解 在點 ,為可去間斷點。在點 不存在,為第二類間斷點(無窮間斷點)。例3 設在點連續(xù),求與的關系。解 ,于點連續(xù),則。例4 證明,恰有三個實根證 令,則于上連續(xù),而,由零點存在定理 ,使即方程有三個實根,又三次方程至多有三個實根,故恰有三實根。方程有根問題當與微分學結合時會很精彩。例5 設在上連續(xù),且對都使,證明在上。證:在上連續(xù)。則有界,即,使。又,使,故又使,同理 ,使令,則有。例6 設在上連續(xù),且,證明,使。證 設,假設,則,相加,與矛盾,即恒大于0,不可能。同理(恒)也不可能,即必有大于0的點,也有小于0的點,由連續(xù)性和介值定理,使,即。第二章一元函數(shù)微分學
5、及其應用一、導數(shù)概念的三類問題1“分析”形式問題例1 在處可導,求。解 原式例2 可導,。求。解 原式。例3 設在點可導,且,求。分析:例4 設有導數(shù),且,求。分析:原式例5 設是周期為5的連續(xù)函數(shù),且于的某鄰域內(nèi)滿足(*)其中是當時比高階無窮小量,且于處可導,求曲線于點的切線方程。分析:由(*)式,令(湊定義):令,。切線方程:,。2“隱式”導數(shù)問題例1 在點連續(xù),且,求。解 ,由分母,則(連續(xù))則例2 設曲線在原點與相切,試求極限。解 在點兩曲線相切,。3導數(shù)物理解釋問題(速度,變化率)(相關變化率)例1 有一底半徑為Rcm,高為h的錐形容器,現(xiàn)以Acm/s的速率向容器內(nèi)注水,試求當容器內(nèi)
6、水位上升到時,水面上升的速率和液面面積的變化率。解 設坐標系如圖令,則;令,則。注:體會物理解釋,“以速率注水”,“水面上升速度“面積變化率“例2 一動點P在曲線上運動。已知P點橫坐標的速率位30cm/s。當P點運動到點時,從原點到P點的距離的變化率是多少?(設坐標軸長度單位為1cm)。解 方程兩邊對求導,得,。記,則,對求導,得,。例3 設雨滴為球狀體,若雨滴聚集水分的速率與其表面積成正比。證明雨滴半徑增加的速率為一常數(shù)。證 ,則。二、導數(shù)計算(的四個重點)重點掌握:隱函數(shù)求導(含二階導數(shù));分段函數(shù)求導;積分上限函數(shù)求導;參數(shù)方程所確定函數(shù)求導。1復合函數(shù)求導)例1,求。解 ;例2,求。解
7、 ,例3,求。解 法(1)方程兩邊對求導 。法(2),。2隱含數(shù)求導例1,求。解 ,兩邊對求導得整理 (1)(2)(1)兩邊對求導:,例2設,求。解 令得,方程兩邊對求導:(1)由(1)得。對(1)再求導得:(2)當時,代入(2),。3參數(shù)方程求導,.例1. ,求,。解 ,。例2且,求。解 ,。例3設是由方程組所確定的函數(shù),求。解 ,方程兩邊對微分得從而,。將代入得。4絕對值函數(shù)與分段函數(shù)求導1設,則使存在的最高階導數(shù)解 由于因而,從而類似地可求得,以及而因而不存在。可見,存在的最高階數(shù)為。例2設在x=0可導,求之值。解 要在點連續(xù),則,則,由于在可導,所以5、積分上限求導,。,例1,求。解
8、,;例2連續(xù) ,求。解 令,;例3設由方程確定,求(1);(2)過點切線方程(3)。解 在,對方程求導(1)再求導 (2)將代入(1),切線,將代入得代入(2),得,6關于高階導數(shù)例1,求。解 ,。例2,求。解 例4,求。解 ,則,即。注:1. 高階導數(shù)直接用公式的已推廣到2結合泰勒公式如3,4尤其4應注意。例5、三階導數(shù)存在,求,。解 ,。三、微分中值定理與Taylor公式1內(nèi)容小結1)費馬引理:在點處取得極值,并且在處可導,那么。2)羅爾定理:滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導;(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即,那么在內(nèi)至少有一點,使得。3)拉格朗日中值定理 滿足(1)在閉區(qū)
9、間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導,那么在內(nèi)至少有一點,使4)柯西中值定理 滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導;(3)對任一,那么在內(nèi)至少有一點,使5)泰勒中值定理 含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導數(shù),則對任一,有其中?;蛘咔罢哒归_到項常用于求極限,后者余項確切常用于估計誤差。要點:中值定理:證等式(含方程有根),放縮一下也可以證不等式。泰勒公式:“建立兩點連續(xù)”,“一點在另一點展開”,“尋求函數(shù)和其導數(shù)之間的聯(lián)系。2例題1)關于羅爾定理直接法例1 設拋物線與軸有兩個交點和,又二階可導,且,同時上述兩曲線在上有一交點。證明使。證 令,則,(在點兩曲線相交),由羅爾定理,使,使,從而,使
10、,即。倒推法例2 在上連續(xù),在可導,證明,使。分析:,。,驗證例3 設在上連續(xù),在上可導,且,證明正整數(shù),使。分析 。(乘一因子,使之易求原函數(shù),考題難度合適?。┢渌?) 欲證,2) ;3)4) ;5)6) ;7)8)9)2)關于拉格朗日中值定理 例1 求極限。解 原式,介于之間例2 設在內(nèi)有界??蓪掖嬖冢C明證 ,若,則,但矛盾,說明小注:(1)凡遇到先用一下中值定理往往有效。(2)有時要刻意構造同一類函數(shù)在兩點做差。3)關于泰勒公式問題已知一點信息例1 設二階可導,求。解 原式已知多點信息例2 設在上具有三階連續(xù)導數(shù),且,證明,使。分析:(1)求證泰勒公式,余項三階(2),故在點展開可去
11、掉一階項(3)兩端在中點展開相減可去掉二階項(4)三階導數(shù)連續(xù)用介值定理證 相減:,若,則,由的連續(xù)性及介值定理,使,若否則可取。展開中再展開例1 設,又有,證明。證 與假設式比較 整理,令,得。四、利用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)1小結1)用極值定義判別極值(常用極限保號性)2)用一階導數(shù)判別極值3)用二階導數(shù)(或2n階)導數(shù)判別極值2習題例1 ,求極值點與極值。解 ,得駐點,及不可導點。如上三點充分小的鄰域內(nèi),故是極大值。,不是極值,是極小值用一階導數(shù),注意不可導點,畫圖,反映。例2 求所確定隱含數(shù)是極值。解 方程兩邊對求導 令得代入原方程得駐點,對(*)式再求導:。1) 將代入上式,是極大值。2)
12、將代入,是極小值。用二階導數(shù),隱含數(shù),對*求導直接代入,計算技巧。3單調(diào)性,凹凸性,拐點,漸近線,曲率等1)概念l 單調(diào)性判別定理:,l 凹凸性判別定理:,下凸(上凹);,上凸(下凹)在兩邊變號,稱為拐點,特殊情況不存在。l 斜率:,。2)例題例1 求的單調(diào)區(qū)間,極值,凸性及拐點。解 定義域,令及駐點,單增。,單減,是極大值點,是極大值;得,當,為拐點。下凸區(qū)間,上凸區(qū)間。例2 依圖的特點判斷函數(shù)的圖形特征。單增區(qū)間,單減區(qū)間,:拐點,極值點,極小值,單增,是拐點,下凸區(qū)間,上凸區(qū)間,極大值,不可導點,尖點。例3 對數(shù)曲線上的那點曲率半徑最小,并求該點的曲率半徑。解 ,令得,在兩邊附近異號,由
13、負到正,故在點曲率半徑最小,此時。第三章一元函數(shù)積分學及其應用一、不定積分本節(jié)重點掌握(1)不定積分概念;(2)換元法;(3)分布積分法。1. 概念,。的原函數(shù)的一般式或全體2. 性質(zhì),或 ;,或記作 .3. 例題例1 ,求。解 ,則,。例2 設是的一個原函數(shù),求。解 (1)(2)例3 的一個原函數(shù)滿足,求。解 ,則可導,必連續(xù)。;即,則,。;即,則,。記,則滿足,則,故二、不定積分計算1湊分法簡例例1.;例2.例3.。2拆項,補項積分例1例2例3例4例5;例6;3一般換元法注意積分中含有令,令,令例1 解 令4分布積分法例1 例2 令例3 例4 注意分母為平方項,原函數(shù)分母為一次方項,求導至
14、此,因此積分中先要營造在分子中出現(xiàn)分母的導數(shù)項,而分母的導數(shù)易求得們?yōu)椋愃瓶赏瓿上骂}。例4 三、定積分與不定積分相聯(lián)系,計算定級分,只須將原函數(shù)帶上下限即可解決問題了。因此本節(jié)只須解決或說注重一些特殊解即可,特殊問題有那些呢?1和式極限問題由定積分定義:實際和式極限問題多是采用等分區(qū)間。(例)取分點。引例:求解 原式;(注意:識,定限方法:(下限)(上限)(有界)例1 (以上為標準和式極限)。例2 ,連續(xù)。(乘積變?yōu)楹褪剑。├? (夾擠一下)計算 解 ;故 。(放大、縮小無關緊要小量)2定積分計算中的幾個特殊問題1)奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分(1)若在上連續(xù)且為偶函數(shù),則 (2)若在上
15、連續(xù)且為奇函數(shù),則 上述結論可推廣到關于對稱函數(shù)積分2)絕對值函數(shù)和分段函數(shù)積分:分區(qū)間去絕對值符號積之。3)注意公式例 ;4)周期函數(shù)積分5)(證:令代換即可證得,此處連續(xù))例四、定積分與微分學相聯(lián)系問題定積分與微分學相聯(lián)系“橋梁”是積分上限函數(shù)。引入這個函數(shù)。重寫微分學討論的到問題,使問題形式新穎,豐富多彩。1、極限與連續(xù)問題例1例2例3求A為何值時,在點可導,且求。解 使在可導,則(連續(xù))而即,2、導數(shù)例1設由方程確定,(1)求(2)求過點的切線方程(3)求。解 在,方程兩邊對求導,得(1),過點切線方程為。對(1)兩邊求導:,3中值定理例1設,均為上的連續(xù)函數(shù),證明至少存在一點,使。證 令,則,故使,即,移項得證。4積分1,計算解 5不等式與零點例1設在上連續(xù),且單增,證明證 令單增,即例2設在上連續(xù),單減,設,對滿足,證明。證 記,令,則,(得證。例3設,且。證在上有且僅有一個實根。證 令,故 使,又,故實根唯一。例4若在二階導數(shù)連續(xù),且,證明使。證明 由在上連續(xù),必存在最大值和最小值,使,從而即由得連續(xù)性及介值定理,使,即例5在上有連續(xù)導數(shù),且,證明證 則即例6在上連續(xù),且,證明使證 令,0()6、其他例1設在可積,證明(柯西許瓦茨不等式)。證,(可衍生許多題目,略去)五、定積分應用例題例1 設星形線的參數(shù)方程形式為,試求(1)它所圍的面積,(2)弧長(3)繞軸
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