第二十五講平面向量的概念及運(yùn)算

1、第二十五講 平面向量的概念及運(yùn)算一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求（1）平面向量的實(shí)際背景及基本概念通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；（2）向量的線性運(yùn)算通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。（3）平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算； 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。二、2010年命題預(yù)測(cè)本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向

2、量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。此類題難度不大，分值59分。預(yù)測(cè)2010年高考：（1）題型可能為1道選擇題或1道填空題；（2）出題的知識(shí)點(diǎn)可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點(diǎn)位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問題。三、知識(shí)精點(diǎn)講解1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作|即向量的大小，記作|。向量不能比較大小，但向量

3、的?？梢员容^大小。零向量長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。（注意與0的區(qū)別）單位向量模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，向量為單位向量1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與

4、幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。2向量的運(yùn)算（1）向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)，則+=。規(guī)定：（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向

5、量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加： ，但這時(shí)必須“首尾相連”。（2）向量的減法 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）。（3）實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方

6、向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。3兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。4平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5平面向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中

7、x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：（1）相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)系。（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則。四典例解析題型1：平面向量的概念例1（1）給出下列命題：若|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中正確的序號(hào)是 。（2）設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=|·(2)若與a0平行，則=|·

8、;；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D3解析：（1）不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同；正確； ， 且，又 A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此，。正確； =， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同；又， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故。 不正確；當(dāng)/且方向相反時(shí)，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件； 不正確；考慮=這種特殊情況； 綜上所述，正確命題的序號(hào)是。點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易

9、遺忘。為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。（2）向量是既有大小又有方向的量，與|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)=|，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。點(diǎn)評(píng)：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。題型2：平面向量的運(yùn)算法則例2（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來。（2）（06上海理，13）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

10、 ）A B C D（3）（06廣東，4）如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量（ ）A BC D（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=+=+=2+，同樣在平行四邊形 BCDO中，()2，。點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，

11、表示。（2）C（3），故選A。例3設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：，。解析：原式= ；原式= ；原式= 。例4設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0解析：原方程可化為：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0， =+ 。點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì)。題型3：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算例5已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC邊上的高為AD，求。解析：設(shè)D(x,y)，則得所以。例6已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：設(shè)，則因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)，所以在直線上，也

12、在直線上。即得，由點(diǎn)得，。得方程組，解之得。故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為。題型4：平面向量的性質(zhì)例7平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問題：（1）求滿足的實(shí)數(shù)m,n；（2）若，求實(shí)數(shù)k；（3）若滿足，且，求。解析：（1）由題意得，所以，得。（2），；（3）由題意得，得或。例8已知（1）求；（2）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，與平行， 平行時(shí)它們是同向還是反向？解析：（1）因?yàn)樗詣t（2），因?yàn)榕c平行，所以即得。此時(shí)，則，即此時(shí)向量與方向相反。點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計(jì)算方法。題型5：共線向量定理及平面向量基本定理例9（2002天津文12，理

13、10）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（1，3），若點(diǎn)C滿足，其中、R，且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）A3x+2y11=0 B（x1）2+（y2）2=5C2xy=0 Dx+2y5=0解法一：設(shè)，則。由得，于是，先消去，由得。再消去得，所以選取D。解法二：由平面向量共線定理，當(dāng)，時(shí)，A、B、C共線。因此，點(diǎn)C的軌跡為直線AB，由兩點(diǎn)式直線方程得即選D。點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示；運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合。例10（1）（06福建理，11）已知=1，=,=0,點(diǎn)C在AO

14、B內(nèi)，且AOC=30°，設(shè)=m+n(m、nR)，則等于（ ）A B3 C DABOM圖（2）（06湖南文，10）如圖：OMAB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）可以是（ ）AB. C. D. 解析：（1）B；（2）C。題型6：平面向量綜合問題例11已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。（1）證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；（2）設(shè)，求向量及的坐標(biāo)；（3）求使，（p，q為常數(shù)）的向量的坐標(biāo)解析：（1）設(shè)，則，故，（2）由已知得=（1，1），=（0，1）（3）設(shè)=（x，y），則，y=p，x=2pq，即=（2Pq，p）。例12求證：起

15、點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量，32的終點(diǎn)在同一條直線上。證明：設(shè)起點(diǎn)為O，=，32，則=2()，=， 共線且有公共點(diǎn)A，因此，A，B，C三點(diǎn)共線，即向量，32的終點(diǎn)在同一直線上點(diǎn)評(píng)：（1）利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成： 證明向量平行； 說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)；用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證明向量平行；說明兩向量無公共點(diǎn)。五思維總結(jié)數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”,能力是在知識(shí)傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習(xí)題相同或相似，雖然只是個(gè)別小題，但它對(duì)學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個(gè)局部知識(shí)按照一定的觀點(diǎn)和方法組織成整體，形成知識(shí)體系。學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題