正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)當(dāng)析因設(shè)計(jì)要求的實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多時(shí)，一個(gè)非常自然的想法就是從析因設(shè)計(jì)的水平組合中，選擇一部分有代表性水平組合進(jìn)行試驗(yàn)。因此就出現(xiàn)了分式析因設(shè)計(jì)（fractionalfactorialdesigns）,但是對(duì)于試驗(yàn)設(shè)計(jì)知識(shí)較少的實(shí)際工作者來(lái)說(shuō)，選擇適當(dāng)?shù)姆质轿鲆蛟O(shè)計(jì)還是比較困難的。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Orthogonalexperimentaldesign）是研究多因素多水平的又一種設(shè)計(jì)方法，它是根據(jù)正交性從全面試驗(yàn)中挑選出部分有代表性的點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，這些有代表性的點(diǎn)具備了均勻分散，齊整可比”的特點(diǎn)，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是分式析因設(shè)計(jì)的主要方法。是一種高效率、快速、經(jīng)濟(jì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。日本著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家

2、田口玄一將正交試驗(yàn)選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個(gè)三因素三水平的實(shí)驗(yàn)，按全面實(shí)驗(yàn)要求，須進(jìn)行33=27種組合的實(shí)驗(yàn)，且尚未考慮每一組合的重復(fù)數(shù)。若按L9（3）3正交表按排實(shí)驗(yàn)，只需作9次，按Li8（3）7正交表進(jìn)行18次實(shí)驗(yàn)，顯然大大減少了工作量。因而正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在很多領(lǐng)域的研究中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。1 .正交表正交表是一整套規(guī)則的設(shè)計(jì)表格，用工式/）。L為正交表的代號(hào)，n為試驗(yàn)的次數(shù)，t為水平數(shù)，c為列數(shù)，也就是可能安排最多的因素個(gè)數(shù)。例如L9（34）,（表11）,它表示需作9次實(shí)驗(yàn)，最多可觀察4個(gè)因素，每個(gè)因素均為3水平。一個(gè)正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混合型正

3、交表，如L8（4>24）（表12）,此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)看出，正交表是一個(gè)n行c列的表，其中第j列由數(shù)碼1,2,S組成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)N/S次，例如表11中，第二列的數(shù)碼個(gè)數(shù)為3,S=3,即由1、2、3組成，各數(shù)碼均出現(xiàn)明3=邛=3次。表nl式廠）表引號(hào)13411i11212213iJ33.4212352A3I52?上73133R333P3331表廣X公）表民喳號(hào)-班片123451111112122223211224222IL531A1W6331Q17A122LS42112表134（2）正交表遍彳列EI2345d711111112111222

4、2312211224122221152111316212212172211221£221211口正交表具有以下兩項(xiàng)性質(zhì)：（1）每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼“1與“2；且任何一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“17”27”3；且在任一列的出現(xiàn)數(shù)均相等。（2）任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列（同一橫行內(nèi)）有序?qū)ψ庸灿?種：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）。每種對(duì)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列（同一橫行內(nèi)）有序?qū)灿?種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.

5、2、2.3、3.1、3.2、3.3,且每對(duì)出現(xiàn)數(shù)也均相等。以上兩點(diǎn)充分的體現(xiàn)了正交表的兩大優(yōu)越性，即均勻分散性，整齊可比通俗的說(shuō)，每個(gè)因素的每個(gè)水平與另一個(gè)因素各水平各碰一次，這就是正交性。2 .交互作用表每一張正交表后都附有相應(yīng)的交互作用表，它是專門用來(lái)安排交互作用試驗(yàn)。表14就是L8（27）表的交互作用表。表145（2，）表的交互作用表號(hào)列4、12345672325416167457654123321安排交互作用的試驗(yàn)時(shí)，是將兩個(gè)因素的交互作用當(dāng)作一個(gè)新的因素，占用一列，為交互作用列，從表14中可查出L8（27）正交表中的任何兩列的交互作用列。表中帶（）的為主因素的列號(hào)，它與另一主因素的交

6、互列為第一個(gè)列號(hào)從左向右，第二個(gè)列號(hào)順次由下向上，二者相交的號(hào)為二者的交互作用列。例如將A因素排為第（1）列，B因素排為第（2）列，兩數(shù)字相交為3,則第3列為AXB交互作用列。又如可以看到第4列與第6列的交互列是第2歹U,等等。3 .正交實(shí)驗(yàn)的表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì)是正交設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，它承擔(dān)著將各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任務(wù)，因此一個(gè)表頭設(shè)計(jì)就是一個(gè)設(shè)計(jì)方案。表頭設(shè)計(jì)的主要步驟如下：(1)確定列數(shù)根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，選擇處理因素與不可忽略的交互作用，明確其共有多少個(gè)數(shù)，如果對(duì)研究中的某些問題尚不太了解，列可多一些，但一般不宜過多。當(dāng)每個(gè)試驗(yàn)號(hào)無(wú)重復(fù)，只有1個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，可設(shè)2個(gè)或多個(gè)空白

7、列，作為計(jì)算誤差項(xiàng)之用。(2)確定各因素的水平數(shù)根據(jù)研究目的，一般二水平(有、無(wú))可作因素篩選用；也可適用于試驗(yàn)次數(shù)少、分批進(jìn)行的研究。三水平可觀察變化趨勢(shì)，選擇最佳搭配；多水平能以一次滿足試驗(yàn)要求。(3)選定正交表根據(jù)確定的列數(shù)(c)與水平數(shù)(t)選擇相應(yīng)的正交表。例如觀察5個(gè)因素8個(gè)一級(jí)交互作用，留兩個(gè)空白列，且每個(gè)因素取2水平，則適宜選Li6(215)表。由于同水平的正交表有多個(gè)，如L8(27)、Li2(211)、Li6(215),一般只要表中列數(shù)比考慮需要觀察的個(gè)數(shù)稍多一點(diǎn)即可，這樣省工省時(shí)。(4)表頭安排應(yīng)優(yōu)先考慮交互作用不可忽略的處理因素，按照不可混雜的原則，將它們及交互作用首先在

8、表頭排妥，而后再將剩余各因素任意安排在各列上。例如某項(xiàng)目考察4個(gè)因素A、B、C、D及AXB交互作用，各因素均為2水平，現(xiàn)選取L8(27)表，由于AB兩因素需要觀察其交互作用，故將二者優(yōu)先安排在第1、2歹U,根據(jù)交互作用表查得AXB應(yīng)排在第3歹U,于是C排在第4歹U,由于AXC交互在第5歹U,BXC交互作用在第6歹U,雖然未考查AXC與BXC,為避免混雜之嫌，D就排在第7歹U。表151。丁)表頭設(shè)計(jì)列號(hào)123453因素與交互作用ABCD(5)組織實(shí)施方案根據(jù)選定正交表中各因素占有列的水平數(shù)列，構(gòu)成實(shí)施方案表，按實(shí)驗(yàn)號(hào)依次進(jìn)行，共作n次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)按表中橫行的各水平組合進(jìn)行。例如L9(34)表，

9、若安排四個(gè)因素，第一次實(shí)驗(yàn)A、B、C、D四因素均取1水平，第二次實(shí)驗(yàn)A因素1水平，B、C、D取2水平，第九次實(shí)驗(yàn)A、B因素取3水平，C因素取2水平,D因素取1水平。實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)記錄在該行的末尾。因此整個(gè)設(shè)計(jì)過程我們可用一句話歸納為：因素順序上列、水平對(duì)號(hào)入座，實(shí)驗(yàn)橫著作4 .二水平有交互作用的正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與方差分析例8某研究室研究影響某試劑回收率的三個(gè)因素，包括溫度、反應(yīng)時(shí)間、原料配比，每個(gè)因素都為二水平，各因素及其水平見表16。選用L8(27)正交表進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表17。5表1。因素與水平因素水平12A溫度七60SOB反應(yīng)時(shí)間h253：.5C原料配比11:112:1表17票試劑回收率的

10、正交實(shí)噓口（2，）去結(jié)果試虻號(hào)kk2B3AXB4-C563試脂給果回收率了乂i11Ii111U2L1r：2.22.餐953122品.122914L222211945)12ia1291621221219672211.221£3822鳥1；11'128S3663633523513593SP3581(53723733(533fi53fi5?1220爾聾-a-6,占J喀VS.&50,。缸50.54.54.5首先計(jì)算Ij與山，Ij為第j列第1水平各試驗(yàn)結(jié)果取值之和，山為第j列第2水平各試驗(yàn)結(jié)果取值之和。然后進(jìn)行方差分析。過程為：/=58-=M6.0求：總離差平方和-3TI/各列

11、離差平方和SS=，本例各列離均差平方和見表10最底部一行。即各空列SS之和。即誤差平方和=£&&至負(fù)=05+45+45=95自由度v為各列水平數(shù)減1,交互作用項(xiàng)的自由度為相交因素自由度的乘積。分析結(jié)果見表18表三種因素對(duì)某試劑回收率哥晌的正較實(shí)驗(yàn)方差分析表變異來(lái)源離差平方和S寫自由度U均方MSF值P值A(chǔ)801S.02.2530.2102B1S.0112.05右80.0973AXB5k0150.015.390.02S5C60U160.519.10.0222誤差Q.53316總變異146.0?從表18看出，在a=0.05水準(zhǔn)上，只有C因素與AXB交互作用有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，其余

12、各因素均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，A因素影響最小，考慮到交互作用AXB的影響較大，且它們的二水平為優(yōu)。在C2的情況下，有B1A2和Bi,Ai兩種組合狀況下的回收率最高。考慮到B因素影響較A因素影響大些，而B中選Bi為好，故選A2B10這樣最后決定最佳配方為A2B1C2,即80C,反應(yīng)時(shí)間2.5h,原料配比為121。如果使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在數(shù)據(jù)是只需要輸入試驗(yàn)因素和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的內(nèi)容，交互作用界的內(nèi)容不用輸入，然后按照表頭定義要分析的模型進(jìn)行方差分析。附錄1:常用正交表(1)L4(23)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123111121223二2124221L8(27)列號(hào)1234567試驗(yàn)號(hào)11111111211122122

13、31221122412222115212121262口221217221122182212112(3)L 12(211)列號(hào)1234567891011試驗(yàn)號(hào)111111111111211111222222J311222111222412122122112512212|21212161I2I212212117212211221218212122211129211222122111022211112212112212121112212221121212214(4)L9(3)列號(hào)1234試驗(yàn)號(hào)1111121222313334212352231623127313283213933216(5)L16(4

14、5)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234511111121222231333341444452123462214372341218243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132(6)L25(56)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123456111111121222223133333414444451555556212345722一3451823451292451231025123411313524123241351333524114341352153524131641425317425314184314251944253120453142215154322252一1543235321542454321525554321，、，4、L8(4X2)列號(hào)實(shí)驗(yàn)號(hào)123451|1|1|1112|12222321122422211531212632121741221842112(8)L12(3X24)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123451111112111