解析幾何教材分析打印

1、高三平面解析幾何一輪復(fù)習(xí)建議一、對高三一輪復(fù)習(xí)的一點認識新課標(biāo)將解析幾何分成了“平面解析幾何初步”“圓錐曲線與方程”“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”三個部分，分別編入數(shù)學(xué)2、選修11（或選修21）、選修44中，采用這種螺旋式上升的編排方法，使學(xué)生在高一、高二的學(xué)習(xí)過程中有多次機會接觸解析幾何的內(nèi)容，反復(fù)體會、螺旋上升，但同時也使得學(xué)生對解析幾何部分知識點的認識較為零散，不易形成較為系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).因此，高三的復(fù)習(xí)課不同于起始年級的新授課，也不同于高一高二階段的章節(jié)復(fù)習(xí)、學(xué)期復(fù)習(xí)課，它是學(xué)生在學(xué)習(xí)完全部高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，站在“數(shù)學(xué)整體”角度對所學(xué)全部數(shù)學(xué)知識（概念、公式、法則、原理）、方法、技能、思想等

2、回頭再認識、再理解、再提高、再升華的過程；是學(xué)生的空間想象力、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力再發(fā)展的過程；是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題等綜合能力再提升的過程；是注重聯(lián)系、提高對數(shù)學(xué)整體認識的過程.二、新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)考試大綱的考點要求：2011北京考試大綱與以前考試大綱的對比，對內(nèi)容和要求的變化要給予特別關(guān)注. 其中，理科：考試內(nèi)容要求層次ABC平面解析幾何初步直線與方程直線的傾斜角和斜率過兩點的直線斜率的計算公式兩條直線平行或垂直的判定直線方程的點斜式、兩點式及一般式兩條相交直線的交點坐標(biāo)(新增)兩條直線交角（刪）兩點間的距離公式(新增)、點到直線的距離公式兩條平行線間的距

3、離(新增)圓與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程直線與圓的位置關(guān)系(新增)兩圓的位置關(guān)系(新增)圓錐曲線與方程圓錐曲線橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(新增)曲線與方程曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系（曲線與方程的概念）根據(jù)已知條件求曲線方程（刪）坐標(biāo)系與參數(shù)方程極坐標(biāo)系用極坐標(biāo)表示點的位置(新增)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(新增)參數(shù)方程直線的參數(shù)方程(新增)圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程文科：考試內(nèi)容要求層次ABC平面解析幾何初步直線與方程直線的傾斜角和斜率過兩點的直線斜率的計算公式兩條直線平行或垂直的判

4、定直線方程的點斜式、兩點式及一般式兩條相交直線的交點坐標(biāo)(新增)兩條直線交角（刪）兩點間的距離公式(新增)、點到直線的距離公式兩條平行線間的距離(新增)圓與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程直線與圓的位置關(guān)系(新增)兩圓的位置關(guān)系(新增)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間兩點間的距離公式圓錐曲線與方程圓錐曲線橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(新增)三、根據(jù)課標(biāo)要求、近年考題和學(xué)生情況把握解析幾何復(fù)習(xí)方向：1、圓的方程、圓錐曲線的方程和簡單的幾何性質(zhì)是最基礎(chǔ)知識點，側(cè)重點是圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和

5、簡單的幾何性質(zhì).2、解析幾何中一些思維量大、靈活性高的題容易出現(xiàn)在選擇和填空題的壓軸位置，對學(xué)生綜合各部分知識分析問題和解決問題的能力要求較高，具有較大的區(qū)分度.3、通過對直線和圓、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的考查基本上為解答題，重點考查學(xué)生對坐標(biāo)法的理解和運用，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類思考等數(shù)學(xué)思想方法，考查運算能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力.試題分步設(shè)問，由易到難，側(cè)重點是直線和橢圓的位置關(guān)系.應(yīng)當(dāng)注意到，在根據(jù)課標(biāo)要求調(diào)整后的高考說明的指導(dǎo)下，新課標(biāo)卷加大了對直線與圓位置關(guān)系的考察力度.同時，就2011年各省區(qū)的高考而言，在解答題中對雙曲線的考察僅出現(xiàn)在廣東和江西卷中

6、，說明大多數(shù)實施新課標(biāo)高考的省區(qū)對課標(biāo)要求的理解是一致的，對我們的復(fù)習(xí)也具有一定的導(dǎo)向性.4、對新課標(biāo)新增內(nèi)容參數(shù)方程與極坐標(biāo)系的考察多為所謂“占點題”，較容易，關(guān)鍵在于落實基本概念和基本計算.5、學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的難點在于解析幾何綜合題具有較高的靈活性，要求在思考問題時能夠突破章節(jié)知識的限制，充分依據(jù)條件，合理選用方法.在教學(xué)中需要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進行探究訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.溝通知識聯(lián)系，加深學(xué)生對知識的綜合性的認識.在平時學(xué)習(xí)中，客觀上造成對知識之間聯(lián)系的認識是比較膚淺的，綜合運用知識解決問題的機會也相對較少，這需要在高三復(fù)習(xí)課上打破各部分內(nèi)容之間的屏障，溝通各部分內(nèi)容的內(nèi)

7、在聯(lián)系.更重要的是，打通代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化通道，不斷在幾何問題幾何意義代數(shù)表示代數(shù)運算之間轉(zhuǎn)換，以達到靈活求解問題的目的.表12011年北京高考海淀區(qū)分類校理科解析幾何總分分析表分類人數(shù)滿分值最大值最小值平均值標(biāo)準(zhǔn)差差異系數(shù)得分率一類校 1924 19.0 19.0 0.0 14.82 3.36 0.23 0.78二類校 2102 19.0 19.0 0.0 12.18 3.71 0.30 0.64三類校 3313 19.0 19.0 0.0 9.05 3.71 0.41 0.48四類校 1388 19.0 17.0 0.0 6.32 3.97 0.63 0.33分類整體 8727 19.0

8、 19.0 0.0 10.64 4.68 0.44 0.56表2 2010年北京高考海淀區(qū)分類校理科解析幾何總分分析表分類人數(shù)滿分值最大值最小值平均值標(biāo)準(zhǔn)差差異系數(shù)得分率一類校 1860 19.0 19.0 0.0 13.65 2.89 0.21 0.72二類校 1421 19.0 19.0 0.0 10.99 3.11 0.28 0.58三類校 4386 19.0 19.0 0.0 7.91 3.91 0.49 0.42四類校 1024 19.0 15.0 0.0 7.06 4.11 0.58 0.37分類整體 8691 19.0 19.0 0.0 9.54 4.37 0.46 0.50數(shù)據(jù)

9、表明：一類校的考生在解析幾何的答題中優(yōu)勢明顯，從平均分看，一類校的平均分要明顯高于二類校平均分(12.18),更遠高于三類校和四類校.這種差距表明學(xué)生對解析幾何這門學(xué)科的基本思想的認識深度和領(lǐng)悟的差距，特別是對于二類校三類校的學(xué)生來說，可以說突破了解析幾何解答題就是占領(lǐng)了數(shù)學(xué)高考的制高點，而這些學(xué)生在解析幾何知識板塊尚有一定的提升空間，提高的關(guān)鍵在于能夠提高學(xué)科思想的認識，學(xué)會用解析幾何的思維看待問題和解決問題. 四、復(fù)習(xí)建議及例題選編 （一）注重基礎(chǔ)知識、基本概念的理解，突出圓錐曲線概念的應(yīng)用意識，從理解、把握概念和基本性質(zhì)的角度去認識易錯、易混題.沒有基礎(chǔ)就談不上能力， 復(fù)習(xí)要真正回到重視

10、基礎(chǔ)的軌道上來，要扎扎實實，不要盲目攀高，以免眼高手低.部分學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)時對基礎(chǔ)題沒有予以足夠的重視， 認為題目看上去會做就可以不加訓(xùn)練， 結(jié)果常在一些“不該錯的地方錯了”，最終把原因簡單地歸結(jié)為粗心大意，從而忽略了基本計算的訓(xùn)練和常規(guī)方法的積累， 造成了實際成績與心理感覺的偏差.復(fù)習(xí)要把“三基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法作為重中之重，學(xué)生只有“三基”過關(guān)，才有能力去做難題.例1（2011北京高考文科10）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則 .例2（2010北京高考理科13、文科13）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 . (&#

11、177;4，0)，x±y=0例3（2009北京高考理科12、文科13）橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 . 例4 橢圓上的點M到左焦點的距離為2，N是中點，則 4例5 若橢圓的一個焦點是(2，0)，則_ 例6（1）若橢圓的長軸長為2，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案： 或（2）若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_答案：焦點在x軸上；焦點在y軸上（3）已知橢圓的離心率，則的值為_答案：或 （二）注意幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)、概括數(shù)學(xué)的思維特點在復(fù)習(xí)中，教師有必要幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生概括出每個單元數(shù)學(xué)知識的思維特點和思維方法，逐步樹立信心去解決

12、所面對的數(shù)學(xué)問題. 同時，每一節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)定位要準(zhǔn)確，課堂教學(xué)一定要能夠揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì). 我們的有限的課堂教學(xué)不能僅僅告訴學(xué)生這道題怎么解.而是應(yīng)把教學(xué)的落腳點放在思維過程的揭示上. 每節(jié)課一般都要分析一些典型的例題，但教師要能夠從如何審題，如何分析題，如何思考問題入手展開教學(xué).例7 若圓的方程為，圓的方程為，則方程表示的軌跡是（ ）DA 經(jīng)過、的直線B 線段的中垂線C 兩圓公共弦所在的直線D 一條直線且過該直線上點到兩圓的切線長相等在本題中大部分學(xué)生沒有考慮到兩圓方程相減求得公共弦直線方程的前提條件必須是兩圓相交，由此暴露出教師和學(xué)生平時解題時更重視解題方法的技巧性，而忽視了數(shù)學(xué)思維鏈條

13、的完整性，即首先思考這個問題的存在性，對這個問題來講就是“公共弦是否存在”.類似的問題其實屢見不鮮，比如：已知是方程（為實數(shù)）的兩個實數(shù)根，的最大值是（ ）A19 B18 C D不存在這雖然是一個二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問題，但究其根源與上例如出一轍，學(xué)生往往不假思索上來就用韋達定理，卻忽視了韋達定理的適用條件，也就是方程首先要有兩實根，即.再如：例8 已知雙曲線的方程，試問：是否存在被點平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，說明理由.錯解：設(shè)存在弦AC被點平分，其坐標(biāo)為，有 所以，所以AC所在的直線方程為，即在解析幾何中，涉及直線與圓錐曲線相交于兩點且與弦的中點有關(guān)的問題時，“

14、點差法”采用設(shè)而不求的技巧可以實現(xiàn)數(shù)量之間的合理轉(zhuǎn)化，使運算更加便捷，但必須判斷滿足條件的直線是否存在.對這類錯誤，學(xué)生經(jīng)常歸因為“忘了，沒注意到”，至多能“深刻”到認為自己“思維不嚴謹，分析問題不全面”，而這些表面上看起來的“陷阱”、“坑”實際上揭示了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念認識的模糊和對問題本質(zhì)理解的不到位.（三）理解幾何對象的幾何特征，這是實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ).解析幾何的思維特征就是要用代數(shù)的方法解決幾何問題.思維的要點是：通過分析幾何元素的幾何特征進行有效的代數(shù)化，并通過代數(shù)的運算得出代數(shù)的結(jié)果，從而得到幾何的結(jié)論. 在這個過程中，“培養(yǎng)幾何直觀能力是基本點”，“復(fù)習(xí)中，要能主動的去理解幾何

15、對象的本質(zhì)特征，這是實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ). 解析幾何畢竟是幾何，決不能忽視對幾何對象的幾何特征的認識與理解. 解析幾何審題的主要目的之一，就是要理解幾何對象的幾何屬性，為準(zhǔn)確的代數(shù)化打好基礎(chǔ).”要善于將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何對象，并主動地去理解幾何對象的幾何特征，這是實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ).例9 點P在上，若則= 17例10（2010湖北理數(shù)9）若直線y=x+b與曲線有公共點，則b的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】曲線方程可化簡為，即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線與此半圓相切時須滿足圓心（2，3）到直線y=x+b距離等于2，解得，因為是下半圓故可得

16、（舍），當(dāng)直線過（0，3）時，解得b=3,故所以C正確.例11 設(shè)是曲線上的點,，則必有（ ）A（A） （B）（C） （D）例12（2010北京高考理科19）在平面直角坐標(biāo)系中，點B與點A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.本題幾何元素的幾何特征是：動點的軌跡方程為，點P運動引起PAB與PMN的面積的變化，問是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等.問題的焦點是P點.故有效的代數(shù)化方式是：設(shè)點,并以

17、此建立直線AP和BP的方程，通過運算得出M,N的左坐標(biāo)，進而通過PAB與PMN的面積相等得出P點的坐標(biāo). 本題全面考查了學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的意識和能力，對平面解析幾何教學(xué)中準(zhǔn)確把握學(xué)科的基本思想，在平面解析幾何學(xué)習(xí)中體會學(xué)科的思維特征進行了正確的導(dǎo)向. 本題方法很多，不同方法的區(qū)別源于對幾何特征代數(shù)化的不同形式的選擇，因此有必要引導(dǎo)學(xué)生對常見的幾何特征代數(shù)化的形式做總結(jié)和梳理，使學(xué)生在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化過程中更有方向性和目的性.（四）在解析幾何的復(fù)習(xí)中要注意對學(xué)生運算技能的訓(xùn)練，提高學(xué)生的運算求解能力和對運算的心理承受力.運算能力是最基礎(chǔ)的能力.由于高三復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重，部分教師和學(xué)生

18、不重視運算能力的培養(yǎng).一個問題，看一看知道怎樣解就行了，這正是高三學(xué)生運算能力差的直接原因.其實，運算的合理性、正確性、簡捷性、時效性對學(xué)生的考試成績有著很重要的作用.因此，運算能力要進一步加強，學(xué)生要領(lǐng)悟運算的重要性和書寫的規(guī)范性，同時在運算中不斷地反思解題過程的合理性、轉(zhuǎn)化的等價性等.例13（2011北京高考理科19）已知橢圓. 過點（m,0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點.（I）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.評析：本題主要考查橢圓基本性質(zhì)，包括焦點，離心率，基本量的運算，直線和橢圓的位置關(guān)系，突出的是如何用代數(shù)方法來研究幾何問題，在這個轉(zhuǎn)化過程中考察

19、對函數(shù)的相關(guān)知識，包括函數(shù)解析式如何建立，如何求函數(shù)的最值等等.應(yīng)該說對理科學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題、代數(shù)變形、計算能力的要求較高.解：（）略（）由題意知，.當(dāng)時，切線l的方程，點A、B的坐標(biāo)分別為此時當(dāng)m=1時，同理可得當(dāng)時，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時，所以.因為且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.例14（2011北京高考文科19）已知橢圓的離心率為，右焦點為.斜率為1的直線與橢圓交與兩點，以為底作等腰三角形，頂點為.（I）求橢圓的方程；（II）求的面積.例15（2011高考全國課標(biāo)卷20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在直線上，點滿足/，

20、點的軌跡為曲線，（1） 求的方程；（2） 為上的動點，為在點處的切線，求點到距離的最小值.（四）注重分析能力的培養(yǎng)，提高思維的靈活性與深刻性例16（軌跡問題）（1） (04北京)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是 lABC A直線 B圓 C雙曲線 D拋物線 （2）(2006北京理科4)平面的斜線AB交于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交于點C，則動點C的軌跡是 （ ）A.一條直線 B一個圓 C一個橢圓 D雙曲線的一支 （3）（2004 天津卷)如圖，定點A和B都在平面內(nèi)，定點，C是內(nèi)異于A

21、和B的動點，且，那么，動點C在平面內(nèi)的軌跡是( ) A. 一條線段，但要去掉兩個點 B. 一個圓，但要去掉兩個點C. 一個橢圓，但要去掉兩個點 D. 半圓，但要去掉兩個點 （4） 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是棱CD的中點，點O是側(cè)面AA1D1D的中心，若點P在側(cè)面BB1C1C及其邊界上運動，并且總是保持，則點P的軌跡是 要點： AM為面AC內(nèi)的線段，OP為面AC的斜線，依據(jù)三垂線定理，可將轉(zhuǎn)化為OP在面AC內(nèi)的射影OP垂直的問題.所以，P的軌跡是線段BB1例17 （2011年北京高考理科14）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；若點P在曲線C上，則的面積不大于.其中，所有正確結(jié)論的序號是_.本題考查了通過曲線方程如何來研究曲線的幾何性質(zhì)的基本方法，具有以下幾個特點：（1）以動點軌跡問題為背景，考查考生對求動點軌跡問題一般方法的掌握情況，突出基礎(chǔ)知識和基本方法的考查；（2）這道試題的背景來自于圓錐曲線的定義，由到平面內(nèi)兩定點距離之和與兩定點距離之差為常數(shù)的動點軌跡，會很自然地想到與兩定點距離之積為常數(shù)的動點軌跡是什么？這無疑鼓勵和倡導(dǎo)了學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中要善于思考，敢于提出新的問題，這種質(zhì)疑精神正是學(xué)生發(fā)展所需要的；（3）解析幾何的核心思想是如何用代數(shù)的方法來