考研數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué)總結(jié)4

1、高等數(shù)學(xué)部分定積分理論一、定積分的產(chǎn)生背景1、曲邊梯形的面積問(wèn)題2、變速運(yùn)動(dòng)路程問(wèn)題二、定積分的定義設(shè)為上的有界函數(shù)，若存在，稱在上可積，極限稱為在上的定積分，記，即?！咀⒔狻浚?）極限與區(qū)間的劃分及的取法無(wú)關(guān)。（2），反之不對(duì)。（3）若一個(gè)函數(shù)可積，則。三、定積分基本理論定理1 設(shè)，令，則為的一個(gè)原函數(shù)，即。【注解】（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。（2）。（3）?！纠}1】設(shè)連續(xù)，且，求?！纠}2】設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，求。定理2 （牛頓萊布尼茲公式）設(shè)，且為的一個(gè)原函數(shù)，則。四、積分法1、換元積分法設(shè)，令，其中可導(dǎo)，且，其中，則。2、分部積分法設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，則。五、定積分性質(zhì)1、基本性質(zhì)（1）

2、。（2）。（3）。（4）。（5）設(shè)，則。推論1 設(shè)，則。推論2 。（6）設(shè)在上連續(xù)，且，則。（7）（積分中值定理）設(shè)，則存在，使得。2、定積分的特殊性質(zhì)（1）對(duì)稱區(qū)間上定積分性質(zhì)1）設(shè)，則。2）設(shè)，且，則。3）設(shè)，且，則。（2）周期函數(shù)定積分性質(zhì)設(shè)以為周期，則1），其中為任意常數(shù)。2）。（3）特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì)1）設(shè)，則，特別地，且。2）。3）。4）設(shè)，則?！纠}1】計(jì)算?！纠}2】計(jì)算?！纠}3】計(jì)算。第一講 極限與連續(xù)一、定義1、函數(shù)的幾個(gè)初等特性（1）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，稱為偶函數(shù)；若，稱為奇函數(shù)?！纠}1】 判斷函數(shù)的奇偶性，并求其反函數(shù)。（2）周期性設(shè)的定

3、義域?yàn)?，若存在，使得?duì)任意的，有且，稱為周期函數(shù)?！纠}2】討論函數(shù)的周期性。（3）單調(diào)性設(shè)對(duì)任意的且，有，稱在上為單調(diào)增函數(shù)，反之稱為單調(diào)減函數(shù)。（4）有界性若存在，對(duì)任意的，有，稱在上有界。2、極限（1）數(shù)列極限()若對(duì)任意的，總存在，當(dāng)時(shí)，有 成立，稱數(shù)列以為極限，記為。（2）函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限（）若對(duì)任意的，總存在，當(dāng)時(shí)，有 成立，稱為當(dāng)時(shí)的極限，記為。（3）函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限（）若對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，有 成立，稱為當(dāng)時(shí)的極限，記為。（4）左右極限若，稱為在處的左極限，記為；若，稱為的右極限，記為，注意存在的充分必要條件是與都存在且相等?！咀⒔狻浚?）函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無(wú)定義無(wú)

4、關(guān)。（2）形如當(dāng)時(shí)的極限一定分左右極限。若對(duì)，因?yàn)?，所以極限不存在；又如，顯然，故不存在。3、無(wú)窮?。?）無(wú)窮小的定義以零為極限的函數(shù)稱為無(wú)窮小。（2）無(wú)窮小的層次設(shè)，若，稱為的高階無(wú)窮小，記為；若，稱與為同階無(wú)窮小，記為，特別地，若，稱與為等價(jià)無(wú)窮小，記為?！咀⒔狻浚?）無(wú)窮小一般性質(zhì)1）有限個(gè)無(wú)窮小之和、差、積為無(wú)窮小。2）有界函數(shù)與無(wú)窮小之積為無(wú)窮小。3）的充分必要條件是，其中。（2）等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)1）；2）若，則；3）若，則；4）若且，則。（3）當(dāng)時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小1）；2）；3）。【例題3】計(jì)算極限。【例題4】計(jì)算極限?！纠}5】計(jì)算極限?！纠}6】計(jì)算極限。【例題7】計(jì)算極限。4、

5、連續(xù)（1）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義設(shè)在的鄰域內(nèi)有定義，若，稱在處連續(xù)?！咀⒔狻吭谔庍B續(xù)的充分必要條件是。（2）函數(shù)在上連續(xù)的定義設(shè)在上有定義，在內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且，稱在上連續(xù)。【注解】初等函數(shù)在其定義域上都連續(xù)。5、間斷點(diǎn)及分類（1）設(shè)在處間斷，且都存在，稱為的第一類間斷點(diǎn)。進(jìn)一步地，若，稱為的可去間斷點(diǎn)；若，稱為的跳躍間斷點(diǎn)。（2）設(shè)在處間斷，且至少一個(gè)不存在，稱為的第二類間斷點(diǎn)?！纠}8】求函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型?！纠}9】求函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型?！纠}10】求函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型。二、極限有關(guān)性質(zhì)（一）極限一般性質(zhì)定理1（唯一性定理） 極限具有唯一性。定理2（保號(hào)性定理）（1）若，則存在，當(dāng)時(shí)，。（2

6、）設(shè)且，則。（二）極限的存在性質(zhì)定理1 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。情形一：設(shè)單調(diào)增加，且存在，使得，則存在。情形二：設(shè)單調(diào)減少，且存在，使得，則存在。定理2（夾逼定理）（1）數(shù)列型：設(shè)，且，則。【例題11】計(jì)算。（2）函數(shù)型：設(shè)，且，則。三、重要極限與有關(guān)結(jié)論1、。記憶：（1）時(shí)，尤其（）； （2）時(shí)，。2、。記憶：?jiǎn)握{(diào)增加收斂于。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四大性質(zhì)定理1 （最大值最小值定理）設(shè)，則在上取到最小值和最大值。定理2 （有界性定理） 設(shè)，則在上有界。定理3 （零點(diǎn)定理） 設(shè)，且，則存在，使得。定理4（1）設(shè)，對(duì)任意的，存在，使得，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。（2）設(shè)，

7、且，不妨設(shè)，則對(duì)任意的，存在，使得，即位于左右端點(diǎn)函數(shù)值之間的任何值函數(shù)都能取到?！痉椒ㄖ笇?dǎo)】設(shè)，若結(jié)論中存在，基本確定使用零點(diǎn)定理或介值定理，一般開(kāi)區(qū)間用零點(diǎn)定理，閉區(qū)間用介值定理?！纠}1】設(shè)，證明：存在，使得?！纠}2】設(shè)，證明：對(duì)任意的，存在，使得 ?！纠}3】設(shè)，證明：對(duì)任意的及且，存在，使得一元函數(shù)微分學(xué)基本理論一、基本概念1、導(dǎo)數(shù)設(shè)為定義于上的函數(shù)，若極限存在，稱在處可導(dǎo)為在處的導(dǎo)數(shù)，記為或?！咀⒔狻浚?）同時(shí)包括與。若存在，稱此極限為在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記為，若存在，稱此極限為在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記為，在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是與都存在且相等。（2）函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義。（3）若在處

8、可導(dǎo)，則在處連續(xù)，反之不對(duì)。（4）取絕對(duì)值可保持連續(xù)性，不一定保持可導(dǎo)性。2、可微設(shè)為定義于上的函數(shù)，若，稱在處可微，記，或者。【注解】（1）函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與函數(shù)在一點(diǎn)可微等價(jià)。（2）。（3）若函數(shù)處處可導(dǎo)，則其微分為。二、求導(dǎo)數(shù)三大工具（一）基本公式1、。 2、，特別地。3、，特別地。 4、，特別地。5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。6、（1）； （2）； （3）； （4）。（二）求導(dǎo)四則運(yùn)算法則1、。 2、。3、。 4、；5、。（三）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)竭\(yùn)算法則設(shè)，都是可導(dǎo)函數(shù)，則可導(dǎo)，且?！咀⒔狻浚?）原函數(shù)與其反函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)

9、系設(shè)為二階可導(dǎo)函數(shù)，且，為的反函數(shù)，則 ，即原函數(shù)與其反函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系， 。（2）設(shè)在處連續(xù)，若，則。三、求導(dǎo)基本類型（一）顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)【例題1】設(shè)，求；【例題2】設(shè)，求；（二）參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)由確定，其中皆二階可導(dǎo)，求及?！纠}1】 設(shè)，求及。（三）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)【例題1】 設(shè)，求。（四）分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)【例題1】設(shè)，求并討論的連續(xù)性?！纠}2】設(shè)，且存在，求。（五）高階導(dǎo)數(shù)【例題1】，求?！纠}2】設(shè)，求。中值定理及應(yīng)用一、預(yù)備知識(shí)1、極值點(diǎn)與極值設(shè)連續(xù)，其中。若存在，當(dāng)時(shí)，有，稱為的極大點(diǎn)；若存在，當(dāng)時(shí)，有，稱為的極小點(diǎn)，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。2、函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)情況討

10、論（1）設(shè)，即，由極限的保號(hào)性，存在，當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。顯然不是的極值點(diǎn)。（2）設(shè)，即，由極限的保號(hào)性，存在，當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。顯然不是的極值點(diǎn)。【結(jié)論1】設(shè)連續(xù)函數(shù)在處取極值，則或不存在。【結(jié)論2】設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在處取極值，則。二、一階中值定理定理1（羅爾中值定理）設(shè)函數(shù)滿足：（1）；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3），則存在，使得。定理2（Lagrange中值定理）設(shè)滿足：（1）；（2）在內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得?！咀⒔狻浚?）中值定理的等價(jià)形式為：，其中；，其中。（2）對(duì)端點(diǎn)有依賴性。（3）端點(diǎn)可以是變量，如，其中是介于與之間的的函數(shù)。定理3（Cauchy中值定理）設(shè)滿足：（1）；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3），則存在，使得 。典型題型題型一：結(jié)論中含一個(gè)中值，不含，且導(dǎo)出之間差距為一階【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得。【例題2】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得 。題型二：關(guān)于微分中值定理的慣性思維題【注解】對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，若所研究問(wèn)題中涉及三個(gè)或三個(gè)以上點(diǎn)時(shí)，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定理【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)不為常數(shù)，證明：存在，使得?！纠}2】設(shè)，在上二階可導(dǎo)，且的最小點(diǎn)在內(nèi)，證明：。三、高階中值定理泰勒中值定理背景：求極限。定理4（泰勒中值定理）設(shè)函數(shù)在的鄰