數(shù)據(jù)處理的基本方法參考模板

1、第六節(jié) 數(shù)據(jù)處理的基本方法 前面我們已經(jīng)討論了測量與誤差的基本概念，測量結果的最佳值、誤差和不確定度的計算。然而，我們進行實驗的最終目的是為了通過數(shù)據(jù)的獲得和處理，從中揭示出有關物理量的關系，或找出事物的內在規(guī)律性，或驗證某種理論的正確性，或為以后的實驗準備依據(jù)。因而，需要對所獲得的數(shù)據(jù)進行正確的處理，數(shù)據(jù)處理貫穿于從獲得原始數(shù)據(jù)到得出結論的整個實驗過程。包括數(shù)據(jù)記錄、整理、計算、作圖、分析等方面涉及數(shù)據(jù)運算的處理方法。常用的數(shù)據(jù)處理方法有：列表法、圖示法、圖解法、逐差法和最小二乘線性擬合法等，下面分別予以簡單討論。 一、列表法列表法是將實驗所獲得的數(shù)據(jù)用表格的形式進行排列的數(shù)據(jù)處理方法。列表

2、法的作用有兩種：一是記錄實驗數(shù)據(jù)，二是能顯示出物理量間的對應關系。其優(yōu)點是，能對大量的雜亂無章的數(shù)據(jù)進行歸納整理，使之既有條不紊，又簡明醒目；既有助于表現(xiàn)物理量之間的關系，又便于及時地檢查和發(fā)現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)是否合理，減少或避免測量錯誤；同時，也為作圖法等處理數(shù)據(jù)奠定了基礎。 用列表的方法記錄和處理數(shù)據(jù)是一種良好的科學工作習慣，要設計出一個欄目清楚、行列分明的表格，也需要在實驗中不斷訓練，逐步掌握、熟練，并形成習慣。1 / 13一般來講，在用列表法處理數(shù)據(jù)時，應遵從如下原則：(1)欄目條理清楚，簡單明了，便于顯示有關物理量的關系。 (2)在欄目中，應給出有關物理量的符號，并標明單位(一般不重復寫在每

3、個數(shù)據(jù)的后面)。 (3)填入表中的數(shù)字應是有效數(shù)字。 (4)必要時需要加以注釋說明。例如，用螺旋測微計測量鋼球直徑的實驗數(shù)據(jù)列表處理如下。 用螺旋測微計測量鋼球直徑的數(shù)據(jù)記錄表 mm次 數(shù)初讀數(shù)(mm)未讀數(shù)(mm)直 徑(mm)(mm)10.0046.0025.998+0.001320.0036.0005.997+0.000330.0046.0005.996-0.000740.0046.0015.997+0.000350.0056.0015.996-0.000760.0046.0005.996-0.000770.0046.0015.997+0.000380.0036.0025.999+0.0

4、02390.0056.0005.995-0.0017100.0046.0005.996-0.0007從表中，可計算出 （mm）取mm，。不確度的A分量為（運算中保留兩位存疑數(shù)字） （mm）B分量為(按均勻分布) （mm）則 （mm）取 (mm)測量結果為(mm)。 二、圖示法 圖示法就是用圖象來表示物理規(guī)律的一種實驗數(shù)據(jù)處理方法。一般來講,一個物理規(guī)律可以用三種方式來表述:文字表述、解析函數(shù)關系表述、圖象表示。圖示法處理實驗數(shù)據(jù)的優(yōu)點是能夠直觀、形象地顯示各個物理量之間的數(shù)量關系，便于比較分析。一條圖線上可以有無數(shù)組數(shù)據(jù)，可以方便地進行內插和外推，特別是對那些尚未找到解析函數(shù)表達式的實驗結果，

5、可以依據(jù)圖示法所畫出的圖線尋找到相應的經(jīng)驗公式。因此，圖示法是處理實驗數(shù)據(jù)的好方法。 要想制作一幅完整而正確的圖線，必須遵循如下原則及步驟： 1.選擇合適的坐標紙。作圖一定要用坐標紙，常用的坐標紙有直角坐標紙、雙對數(shù)坐標紙、單對數(shù)坐標紙、極坐標紙等。選用的原則是盡量讓所作圖線呈直線，有時還可采用變量代換的方法將圖線作成直線。 2.確定坐標的分度和標記。一般用橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，并標明各坐標軸所代表的物理量及其單位(可用相應的符號表示)。坐標軸的分度要根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字及對結果的要求來確定。原則上，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中也應是可靠的。即不能因作圖而引進額外的誤差。在坐標軸上應每隔

6、一定間距均勻地標出分度值，標記所用有效數(shù)字的位數(shù)應與原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同，單位應與坐標軸單位一致。要恰當選取坐標軸比例和分度值，使圖線充分占有圖紙空間，不要縮在一邊或一角。除特殊需要外，分度值起點可以不從零開始，橫、縱坐標可采用不同比例。 3.描點。根據(jù)測量獲得的數(shù)據(jù)，用一定的符號在坐標紙上描出坐標點。一張圖紙上畫幾條實驗曲線時，每條曲線應用不同的標記，以免混淆。常用的標記符號有、等。 4.連線。要繪制一條與標出的實驗點基本相符的圖線，圖線盡可能多的通過實驗點，由于測量誤差，某些實驗點可能不在圖線上，應盡量使其均勻地分布在圖線的兩側。圖線應是直線或光滑的曲線或折線。 5.注解和說明。應

7、在圖紙上標出圖的名稱，有關符號的意義和特定實驗條件。如，在繪制的熱敏電阻-溫度關系的坐標圖上應標明“電阻溫度曲線”；“ 實驗值”；“ 理論值”；“實驗材料：碳膜電阻”等。 三、圖解法 圖解法是在圖示法的基礎上，利用已經(jīng)作好的圖線，定量地求出待測量或某些參數(shù)或經(jīng)驗公式的方法。 由于直線不僅繪制方便，而且所確定的函數(shù)關系也簡單等特點，因此，對非線性關系的情況，應在初步分析、把握其關系特征的基礎上，通過變量變換的方法將原來的非線性關系化為新變量的線性關系。即，將“曲線化直”。然后再使用圖解法。 下面僅就直線情況簡單介紹一下圖解法的一般步驟：1.選點。通常在圖線上選取兩個點，所選點一般不用實驗點，并用

8、與實驗點不同的符號標記，此兩點應盡量在直線的兩端。如記為和，并用“+”表示實驗點，用“”表示選點。2.求斜率。根據(jù)直線方程，將兩點坐標代入，可解出圖線的斜率為 。3.求與y軸的截距。可解出 。4.與x軸的截距。記為 。例如，用圖示法和圖解法處理熱敏電阻的電阻隨溫度T變化的測量結果。 (1)曲線化直：根據(jù)理論，熱敏電阻的電阻溫度關系為 。為了方便地使用圖解法，應將其轉化為線性關系，取對數(shù)有 。令，有 。這樣，便將電阻與溫度T的非線性關系化為了與的線性關系。(2)轉化實驗數(shù)據(jù)：將電阻取對數(shù)，將溫度T取倒數(shù)，然后用直角坐標紙作圖，將所描數(shù)據(jù)點用直線連接起來。 (3)使用圖解法求解：先求出和；再求；最

9、后得出T函數(shù)關系。 四、逐差法 由于隨機誤差具有抵償性，對于多次測量的結果，常用平均值來估計最佳值，以消除隨機誤差的影響。但是，當自變量與因變量成線性關系時，對于自變量等間距變化的多次測量，如果用求差平均的方法計算因變量的平均增量，就會使中間測量數(shù)據(jù)兩兩抵消，失去利用多次測量求平均的意義。例如，在拉伸法測楊氏模量的實驗中，當荷重均勻增加時，標尺位置讀數(shù)依次為，如果求相鄰位置改變的平均值有 =即中間的測量數(shù)據(jù)對的計算值不起作用。為了避免這種情況下中間數(shù)據(jù)的損失，可以用逐差法處理數(shù)據(jù)。 逐差法是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，特別是當自變量與因變量成線性關系，而且自變量為等間距變化時，更有其獨特

10、的特點。逐差法是將測量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對應項的差值(即求逐差)，然后取其平均值。例如，對上述楊氏模量實驗中的10個數(shù)據(jù)的逐差法處理為： 1.將數(shù)據(jù)分為兩組 組： 組： 2.求逐差：， 3.求差平均：在實際處理時可用列表的形式較為直觀，如：組組逐差（） 但要注意的是：使用逐差法時之，相當于一般平均法中的倍(n為的數(shù)據(jù)個數(shù))。 五、最小二乘法 通過實驗獲得測量數(shù)據(jù)后，可確定假定函數(shù)關系中的各項系數(shù)，這一過程就是求取有關物理量之間關系的經(jīng)驗公式。從幾何上看，就是要選擇一條曲線，使之與所獲得的實驗數(shù)據(jù)更好地吻合。因此，求取經(jīng)驗公式的過程也即是曲線擬合的過程

11、。 那么，怎樣才能獲得正確地與實驗數(shù)據(jù)配合的最佳曲線呢？常用的方法有兩類：一是圖估計法，二是最小二乘擬合法。 圖估計法是憑眼力估測直線的位置，使直線兩側的數(shù)據(jù)均勻分布，其優(yōu)點是簡單、直觀、作圖快；缺點是圖線不唯一，準確性較差，有一定的主觀隨意性。如，圖解法，逐差法和平均法都屬于這一類，是曲線擬合的粗略方法。 最小二乘擬合法是以嚴格的統(tǒng)計理論為基礎，是一種科學而可靠的曲線擬合方法。此外，還是方差分析、變量篩選、數(shù)字濾波、回歸分析的數(shù)學基礎。在此僅簡單介紹其原理和對一元線性擬合的應用。 1.最小二乘法的基本原理 設在實驗中獲得了自變量與因變量的若干組對應數(shù)據(jù)，在使偏差平方和取最小值時，找出一個已知

12、類型的函數(shù)(即確定關系式中的參數(shù))。這種求解的方法稱為最小二乘法。 根據(jù)最小二乘法的基本原理，設某量的最佳估計值為，則 可求出 即 而且可證明 >0說明可以取得最小值。 可見，當時，各次測量偏差的平方和為最小，即平均值就是在相同條件下多次測量結果的最佳值。根據(jù)統(tǒng)計理論，要得到上述結論，測量的誤差分布應遵從正態(tài)分布(高斯分布)。這也即是最小二乘法的統(tǒng)計基礎。2.一元線性擬合設一元線性關系為 ，實驗獲得的對數(shù)據(jù)為（=1，2，）。由于誤差的存在，當把測量數(shù)據(jù)代入所設函數(shù)關系式時，等式兩端一般并不嚴格相等，而是存在一定的偏差。為了討論方便起見，設自變量的誤差遠小于因變量的誤差，則這種偏差就歸結為因變量的偏差，即 根據(jù)最小二乘法，獲得相應的最佳擬合直線的條件為 若記 代入方程組可以解出 由