解決平面向量問題“五技巧”

1、解決平面向量問題“五技巧”平面向量具有“數(shù)”和“形”的“雙重身份”，是數(shù)形結(jié)合的典范.準(zhǔn)確把握平面向量 的概念與運(yùn)算，正確理解向量的幾何意義，充分發(fā)揮圖形的直觀作用，挖掘“式”和“形” 中隱含的幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，這樣才能較好地解決平面向量問題.在熟練掌握解決平面向 量問題的通性通法的基礎(chǔ)上，還要體味如何巧解平面向量問題，下面的“五巧”要盡量掌握.一、巧用向量中點(diǎn)公式> 1 在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)C為線段A5的中點(diǎn)，。為任意一點(diǎn)，則OC = 5（QA + O8）.例1（2011年高考上海卷文18）設(shè)A，A，A，4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)，則使 麗+麗+麗+西=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）A. 0 B

2、. 1 C. 2 D. 4分析：由條件得函+麗=-（兩+兩），聯(lián)想向量中點(diǎn)公式進(jìn)行簡(jiǎn)化得 MC = -MD （其中C為線段44的中點(diǎn)，。為線段的中點(diǎn)），進(jìn)而得到“為CO的 中點(diǎn)，問題即可獲解.解：設(shè)c為線段AA的中點(diǎn)，。為線段A4的中點(diǎn)，由條件得 麗+做=（麗+兩），即加=一而，所以向量與而是相反向量，且共 用起點(diǎn)M,所以M為CO的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的個(gè)數(shù)是唯一的，選B.點(diǎn)評(píng)：利用向量中點(diǎn)公式對(duì)條件向量等式進(jìn)行簡(jiǎn)化，化歸為熟知的問題，簡(jiǎn)捷獲解.2 /Z【牛刀小試】（贛州市2011屆高三摸底考試）在長(zhǎng)方形45C0中，=AD =與,。為46的中點(diǎn)，若尸是線段OO上動(dòng)點(diǎn)，則（蘇+麗）麗的最小值是(解：由

3、題意得|。|=1 .因?yàn)?。為A6的中點(diǎn)，所以 PA+PB = 2PO,設(shè)| 麗 |=x (0<x<l),則| 而 |=1 x, (PA + PB)PD = 2POPD-1111二21 尸。| | 尸。| cos 180 = -2x(1 -x) = 2(x-)2故所求最小值為一萬.)二、巧用。_1_方=0例2 （2011年高考上海卷理11）在正三角形A5C中，。是5c上的一點(diǎn)，AB = 3,BD = 1,則而麗=.分析：欲求而詬，而I而I、cos N8Ao雖然可以利用條件求 出，但是顯得繁瑣；注意到NA6C = 60'，BD = 1, AB = 3 ,作 Z）石_LAB垂足為

4、E,則可將麗麗轉(zhuǎn)化為麗亞，可快速獲解.解：如圖，過點(diǎn)。作DE±AB垂足為E ,則 AB-AD = AS（AE + ED）=ABAE + ABED = ABAE = 31AEI=3（3一百町）=為點(diǎn)評(píng)：利用a_L= 0結(jié)合問題的特征（數(shù)量、圖形），數(shù)形結(jié)合，將要求解的 目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利于溝通條件而快捷獲解.【牛刀小試】（2011年高考湖南卷理14）在邊長(zhǎng)為1的正三 / 角 形A8C中，設(shè)團(tuán)=2而，CA = 3CEf則詬而=. 爪（批啰意"8 空怛 ADLBCADBE / IV= AD（BC + CE） = ADBC+ADCE = ADCE=| AD|-|CE|cosl503

5、=)三、巧用平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件平面內(nèi)A,P,6三點(diǎn)共線O 而=2而(2eR ) o對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)0,使得OP = aOA + pOB (其中a,77£R，a + 0 = l).例3 (2011屆北京市東直門學(xué)校第二次月考)己知46,C是平面上不共線的三點(diǎn)，。-1-為&48C的外心，。為48的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸= §(2 22)OO + (l + 2X)OC(2eR),則點(diǎn)尸的軌跡一定過A46C的()A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心分析：審視條件向量等式，有g(shù)(2-24) + g(l + 2X) = l,問題即可獲解. 1 111解:因?yàn)?。?

6、67;(2 2X)OO + §(l + 24)OC , -(2-22) + -(1 + 22) = 1 ,所以 尸,CO三點(diǎn)共線.又。為46的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡一定過A48C的重心，選C.點(diǎn)評(píng)：利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件快捷揭去條件向量等式的“包裝”露出P,C,O三點(diǎn)共線這個(gè)“內(nèi)核”，問題迎刃而解.【牛刀小試】(哈爾濱市2011屆高三第二次月考試題)如圖， / 酎在AABC中，4"_18。于“，M為AH的中點(diǎn)，若 臺(tái) HCAM =AAB + pAC,則丸 + =.(解：因?yàn)镸為A”的中點(diǎn)，民”,C三點(diǎn)共線，所以2赤=而=。而+/正， a+fl = l.所以AM=5A6

7、+ ?AC,所以 + = ,(a +/) = ,)四、巧用常用結(jié)論(1)三角形四心的向量表示：在A45C中，角4民。所對(duì)的邊分別為。8,c,。為 外心<=>= OB = OC ；G為重心<=> G/4 + G總+ Gd = 0 ：為垂心">HA HB = HB HC = HC HA ；/為內(nèi)心=a ZA + b力+c /C = 0 . (2) 上£- + 金-(簡(jiǎn)化為而)所在的直線一定通過A4BC的內(nèi)心(即AO為4AC的角平 |A8| |AC|_ 麗AC分線)；(3) A8 + 4C所在的直線一定通過AA5C的重心；(4) + | AB | c

8、os B | AC|cosC(簡(jiǎn)化為所，可證得而就=0)所在直線一定通過AA5C的垂心.例4 (上海市浦東新區(qū)2011屆高三質(zhì)量抽測(cè))點(diǎn)。在A46C所在平面內(nèi)，給出下列關(guān) 系式：(i)o4+o豆+。6 = 0：(2)04。月二04。6;二。己04；(3)麗(/£-一-竺-)_|AC| ABJ=(4)(pa + ob)aS = (oS+oc)bc = o.則點(diǎn)°依次為AA6C的()A.內(nèi)心、外心、重心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心、垂心C.重心、垂心、內(nèi)心、外心 D.外心、內(nèi)心、垂心、重心分析：根據(jù)熟知的結(jié)論可排除選項(xiàng)A、B、D,選C.解：（1）顯然。為AABC的重心；（2）顯

9、然。為AABC的垂心；（3）設(shè) =麗7,|AC|而 _ _,=麗，則赤、aM都為單位向量且分別與正、而同向共線.由|A6|_- AC AB。4-（一一） = 0得OA-NM=0,所以O(shè)A_LMN,所以。1是NBAC的平分線;AC| abj _同理由無（2£ 出）=0得到06是NA6c的平分線，所以。為AMC的內(nèi)心.（4） 18cl |W設(shè)。為45的中點(diǎn)，由（況+礪）通=0得2歷而=0,所以O(shè)D_LA6,所以O(shè)£>是 A6的垂直平分線.同理由（而+方）團(tuán)=0得到點(diǎn)O在線段5c的垂直平分線上，所 以。為A45C的外心.點(diǎn)評(píng)：熟記一些重要而常用的小結(jié)論，對(duì)解決數(shù)學(xué)問題是很有

10、益的，或者可以開啟解題 思路，或者可以直接用于解題贏得考試時(shí)間.【牛刀小試】（安徽蚌埠二中2011屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)題）已知A45C所在平面上的動(dòng)點(diǎn)M滿足2麗7初而1則M點(diǎn)的軌跡過A45c的（）A.內(nèi)心 B.垂心 C.重心 D.外心（解：由己知得2而團(tuán)=（衣+麗）（衣一通），即2AM BC =（AC + AB） BC,所以第2麗（通+ /）=0,設(shè)8C的中點(diǎn)為 D，則而+/=2而，所以前2麗7 = 0,所以M0_L8C,所以動(dòng)點(diǎn)M在6C的 垂直平分線上，所以M點(diǎn)的軌跡過AABC的外心，選D.）五、巧構(gòu)圖形1 .構(gòu)圖求向量夾角的取值范圍例5 （2011年高考課標(biāo)全國卷理10）己知。與均為單位向

11、量，其夾角為6,有下列 命題：P： |。+叫l(wèi)o9e0,）%： |。+b|>1<=>。£（券，司JTJTp3： a-b>l< 0eQ,) p4 ： a-b>lo 其中真命題是A. P, p4B. pl9 p3 C. p2, P3 D. p1, p4分析：利用向量的三角形法則分別表示。+、a-b,固定。而讓旋轉(zhuǎn)，觀察角，如 何變化結(jié)合條件即可確定相應(yīng)的取值范圍.。增大，|而|=|。-增大，解：如圖（1）, |而|=|。|, |就|衣|=| + ", /CBD = e ,當(dāng)前繞著點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，。增大， |AC|=|a + 0減小，當(dāng)夕=1

12、-時(shí)AABC為正三角形，易知 |。+|>1。夕£0,亨）.如圖（2）|福卜|。1，I/1=1"， CB=a-b, 4CAB = 8,當(dāng)正繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí), 易知，|。一|>1 <=>6£（?,乃,故選A.點(diǎn)評(píng)：向量具有“數(shù)”和“形”的雙重特征，利用向量的三角形法則和運(yùn)動(dòng)思想，研究 相應(yīng)條件下6的取值范圍，解法新穎獨(dú)特，直觀快捷（只畫圖讓圖在大腦中運(yùn)動(dòng)并抓臨界值 即可獲解）.【牛刀小試】（2011年高考浙江卷理14）若平面向量Q、/滿足|a|=l, I尸區(qū)1, 且以向量Q、2為鄰邊的平面四邊形的面積為:，則向量Q與2的夾角夕的取值范圍為（

13、解：如圖，在單位圓中，取半徑04,設(shè)3=。，作 08_104交圓于點(diǎn)5二08的中點(diǎn)0,過點(diǎn)。作OA的平行線交 單位圓于點(diǎn)瓦廠.設(shè)歷=夕，當(dāng)點(diǎn)。在線段成（含兩個(gè)端點(diǎn)）上 時(shí)滿足區(qū)1,且以向量a、2為鄰邊的平面四邊形的面積為g,易知= ZFOA = ,所以三） 666 62 .求向量的模的最值例6 （2011年高考天津卷理14）己知直角梯形46CD中，AD/BC. ZADC = 90 , AD = 2, BC = l, P是腰OC上的動(dòng)點(diǎn)，則|再+ 3方|的最小值為.分析：構(gòu)圖時(shí)自然是從直角梯形45CD內(nèi)的向量圖 形出發(fā)，扣蛉而螃點(diǎn)酬用二向量三角形來 描述轉(zhuǎn)化為不+而即|巨5 + 3而|=|不|,

14、點(diǎn)P在OC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)G在直線人£上的投影點(diǎn)E到點(diǎn)。的距 離為2,動(dòng)點(diǎn)尸在直線A3上的投影點(diǎn)N到點(diǎn)。的距離 為3,于是獲得構(gòu)圖思路.解：作出直角梯形ASC0,延長(zhǎng)至點(diǎn)E使得AQ = ZE,過點(diǎn)E作石_LAO.延 長(zhǎng)C6至點(diǎn)M ,使得M6 = 28C,過點(diǎn)M作M/V_L4£）,交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,如圖.由 AD = 2, BC = 1,易知EN = 5.延長(zhǎng)AP交七”于點(diǎn)G,延長(zhǎng)PB交MN于點(diǎn)F ,則 PA + 3PB =GP+PF = GF .當(dāng)點(diǎn)尸向點(diǎn)C靠近時(shí)，點(diǎn)G向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸向下運(yùn)3動(dòng).GE = 2PD = 2（CD-PC） , FN = 2PC+CD ,當(dāng) G

15、E = f7V 即尸。=8 時(shí) GF/AD,此時(shí)|不|取得最小值5,所以|+ 3方|的最小值為5.點(diǎn)評(píng)：依據(jù)紀(jì)而色產(chǎn)點(diǎn)及已知條件進(jìn)行，充分利用平面幾何知識(shí)巧妙構(gòu)圖，數(shù)形 結(jié)合在運(yùn)動(dòng)中探索|再+ 3方|的最小值.【牛刀小試】（2011年高考遼寧卷理10）若a, b,。均為單位向量，且。力二0, （a-c）（b-c）0,則 |a + -c| 的最大值為（）A. /2-1 B. 1 C. y/2 D. 2（解：因?yàn)椤?，b, c均為單位向量，且。0= 0,所以構(gòu)造單 位圓，如圖，使得況=a, OB = b , OC = c , OB LOA.又 （oc）（c）0,所以4cA290 ,所以O(shè)C只能在N5O4內(nèi)或者與OA （或06）重合.作歷=。+