同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案第七章多元函數(shù)積分學(xué)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第七章 多元函數(shù)積分學(xué)授課序號(hào)01教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第七章 第一節(jié) 二重積分的概念、計(jì)算和應(yīng)用課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二重積分的計(jì)算方法教學(xué)難點(diǎn)二重積分的應(yīng)用參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解二重積分，了解二重積分的性質(zhì)掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會(huì)用二重積分求一些幾何量與物理量(如體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等)教 學(xué) 基 本

2、 內(nèi) 容一、基本概念：1. 曲頂柱體的體積曲面在平面閉區(qū)域上連續(xù)，且有. 過的邊界作垂直于面的柱面，則區(qū)域和柱面以及曲面構(gòu)成一個(gè)封閉的立體，稱為以為底的，為頂?shù)那斨w. 即為所求的曲頂柱體的體積. 2. 二重積分的概念 設(shè)是平面閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分割成小塊：，記第塊的面積為，在第塊上任取一點(diǎn)（見圖7-4），作，取，即是各的直徑中的最大值. 當(dāng)時(shí)，如果總是存在，則極限值稱為函數(shù)在平面閉區(qū)域上的二重積分，記為 .其中稱為積分區(qū)域，稱為被積函數(shù)，稱為面積微元，稱為被積表達(dá)式，稱為積分和.3、型區(qū)域上的二重積分若積分區(qū)域可以用不等式 來表示，其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域.4、型

3、區(qū)域上的二重積分設(shè)積分區(qū)域可以用不等式 來表示，其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域二、定理與性質(zhì)：1、定理1 在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定是上的可積函數(shù).2、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 ；性質(zhì)2 ；性質(zhì)3 設(shè)由、組成，則；性質(zhì)4 如果，則有的面積；性質(zhì)5 如果在區(qū)域上滿足，則有；特別地, 有 性質(zhì)6 設(shè)是區(qū)域的面積. 如果在上有最大值和最小值，則有 ；這個(gè)不等式稱為二重積分的估值不等式.性質(zhì)7 （二重積分的中值定理）如果在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上至少可以找到一點(diǎn)，使得 .3、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算設(shè)函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，且.若是由所圍成的型閉區(qū)域，設(shè)可以用不等式 來表示，4、極坐標(biāo)系下二重積分

4、的計(jì)算區(qū)域的積分限*5、二重積分換元法設(shè)函數(shù)在平面內(nèi)的閉區(qū)域上連續(xù)，變換將平面內(nèi)的閉區(qū)域變換成平面內(nèi)的閉區(qū)域，且滿足（1）、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2）在上；（3）變換：是一對(duì)一的，則有.此式也稱為二重積分換元公式.6、二重積分應(yīng)用舉例體積在本章第一節(jié)已經(jīng)知道，若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且，則二重積分 在幾何上是以為頂?shù)那斨w的體積，所以我們可以利用二重積分計(jì)算立體的體積.質(zhì)量與重心設(shè)有一平面薄片，它位于面內(nèi)區(qū)域上，在點(diǎn)處的面密度為區(qū)域上的連續(xù)函數(shù).平面薄片的質(zhì)量為 .平面薄片的重心坐標(biāo)為 .如果平面薄片是均勻的，即是常數(shù)，則均勻平面薄片的重心坐標(biāo)為 ，其中為閉區(qū)域的面積.*平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

5、設(shè)有一平面薄片，它在平面上占有（有界閉）區(qū)域，面密度為連續(xù)函數(shù)，.薄片對(duì)軸、對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，.三、主要例題：例1 用二重積分表示上半球體的體積，并寫出積分區(qū)域.例2 比較積分與的大小，其中區(qū)域D是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)各為(1,0),(1,1),(2,0).例3 不作計(jì)算，估計(jì)的值，其中是橢圓閉區(qū)域： . 例4 計(jì)算定積分.例5 計(jì)算二重積分 其中區(qū)域是由, 所圍成的矩形.例6 計(jì)算，其中.例7 將下列區(qū)域?qū)懗尚蛥^(qū)域的表達(dá)式. （1） （2） 若是由所圍成的型閉區(qū)域，例8 計(jì)算二次積分.例9 計(jì)算其中D是由直線及所圍成的閉區(qū)域.例10 計(jì)算, 其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.例11 計(jì)算二重積分

6、其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.例12 計(jì)算 其中D由及y軸所圍.例13交換二次積分的積分次序.例14 交換二次積分 的積分順序.例15 將下列區(qū)域用極坐標(biāo)表示(1) ； (2） ；(3）； (4） D為與所圍區(qū)域.解： （1） （2） （3） （4）例16 計(jì)算，其中是由中心在原點(diǎn)，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域例17 計(jì)算, 其中D是由曲線所圍成的平面區(qū)域.例18 寫出在極坐標(biāo)系下二重積分的二次積分，其中區(qū)域例19 計(jì)算二重積分，其中區(qū)域由，所圍成.例20 求由直線、所圍成的閉區(qū)域的面積.例21 求兩個(gè)底面圓半徑相等的直角圓柱所圍立體體積.例 22 求球體被圓柱面所截得的(含在圓柱面內(nèi)的

7、部分)立體的體積.例23 求曲線和所圍成區(qū)域的面積*例 24 求橢球體的體積.例25 一圓環(huán)薄片由半徑為4和8的兩個(gè)同心圓所圍成，其上任一點(diǎn)處的面密度與該點(diǎn)到圓心的距離成反比，已知在內(nèi)圓周上各點(diǎn)處的面密度為1，求圓環(huán)薄片的質(zhì)量.例26 求位于兩圓和之間的均勻薄片的重心.*例27 求曲線所圍平面薄片對(duì)極軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.授課序號(hào)02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第七章 第二節(jié) 三重積分的概念、計(jì)算和應(yīng)用課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)三重積分的計(jì)算方法教學(xué)難點(diǎn)三重積分的計(jì)算方法參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)

8、習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解三重積分的概念，了解三重積分的性質(zhì)，了解三重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo))教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、 基本概念：三重積分的概念定義 設(shè)函數(shù)在空間的有界閉區(qū)域，上有界，將任意地分成個(gè)小區(qū)域，其中既表示第個(gè)小區(qū)域，也表示它的體積.任取，記，若存在，則稱函數(shù)在上可積，此極限稱為函數(shù)在上的三重積分，記作，即. 其中為體積元素.在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把體積元素記為，而把三重積分記為其中稱為直角坐標(biāo)系下的體積元素.二、 定理與性質(zhì)：1、三重積分的計(jì)算考慮有如下幾何特征的閉區(qū)域：平行于軸且穿過內(nèi)部的直線與的邊界曲面相交不

9、多于兩點(diǎn)，閉區(qū)域投影到面得到一個(gè)平面閉區(qū)域. 如果閉區(qū)域又可以表示為設(shè)，則2、三重積分的應(yīng)用空間立體的體積空間立體的體積*3、三重積分在物理中的應(yīng)用（1）空間物體的質(zhì)量：，其中為空間物體的體密度函數(shù).（2）空間物體的質(zhì)心：，；空間立體的形心：，.三、主要例題：例1 計(jì)算三重積分 其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.例2 計(jì)算三重積分 其中為由雙曲拋物面及平面,圍成的閉區(qū)域例3 化三重積分為先對(duì)，次對(duì)，最后對(duì)的三次積分,其中積分區(qū)域?yàn)橛汕婕八鶉傻拈]區(qū)域.例4 計(jì)算三重積分 其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.例5 計(jì)算，其中由與所圍成.例6 計(jì)算三重積分，其中區(qū)域由球面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍.

10、例7求由平面，及曲面所圍立體的體積.例8 設(shè)，計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物面、圓柱面與平面所圍成的立體的體積.例9設(shè)常數(shù)、，若立體由平面，圓柱面以及錐面圍成，其各點(diǎn)處的體密度等于該點(diǎn)到平面的距離的平方，求該立體的質(zhì)量.例10 求球心與錐體的頂點(diǎn)皆在原點(diǎn)，球體半徑為，錐體中心軸為軸，錐面與軸正向交角為的均勻球頂錐體的質(zhì)心.例11 求均勻球體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.授課序號(hào)03教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第七章 第三節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)計(jì)算曲線積分教學(xué)難點(diǎn)兩類曲線積分關(guān)系參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；

11、同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系，會(huì)計(jì)算兩類曲線積分教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：1、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念與性質(zhì)設(shè)為平面上一條光滑(或分段光滑)的曲線弧，函數(shù)在上有界，在上任意取點(diǎn)、將分成段小弧，記，（也為該段的弧長(zhǎng)），任取，若存在，則稱此極限為函數(shù)在上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分，記作.若是封閉曲線，那么函數(shù)在閉曲線上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分通常會(huì)記為.2、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)設(shè)為平面上從點(diǎn)到點(diǎn)的一條有向光滑(或分段光滑)的曲線弧，函

12、數(shù)、在上有界，在上沿的方向任意取點(diǎn)、將分成段小弧，記， ，也為該段的弧長(zhǎng).，任取，若存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記作；同理，若存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記作，即 其中，稱為被積函數(shù)，稱為有向曲線弧段或有向積分路徑.以上兩個(gè)積分也稱為第二類曲線積分.三、 定理與性質(zhì)：1、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算方法定理1 設(shè)二元函數(shù)在曲線弧上連續(xù).平面曲線的參數(shù)方程為，其中、及、在連續(xù)，且，則. （1）如果平面曲線的方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則.如果平面曲線的方程用極坐標(biāo)表示：，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則.定理2 三元函數(shù)在空間曲線

13、弧上連續(xù).設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為，其中、及、在上連續(xù)，且，則.*2. 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的物理應(yīng)用設(shè)曲線型構(gòu)件在面上占據(jù)的位置是一段曲線弧，在上的點(diǎn)處的構(gòu)件的線密度為，且在上連續(xù)，則和解決平面薄片的同類問題一樣，應(yīng)用元素法，就可以得到平面曲線弧狀構(gòu)件的質(zhì)量：；曲線型構(gòu)件的質(zhì)心坐標(biāo)，；如果是勻質(zhì)的曲線型構(gòu)件，則對(duì)應(yīng)的形心公式為，；而曲線型構(gòu)件對(duì)于面上的軸和軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，.3、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法定理3 設(shè)函數(shù)，在有向曲線弧上有定義且連續(xù).平面曲線的參數(shù)方程為，當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)從起點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，及，在以為端點(diǎn)的區(qū)間上連續(xù)，且，則曲線積分存在，且.定理4 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為

14、：，其中對(duì)應(yīng)起始點(diǎn)，對(duì)應(yīng)終點(diǎn)，、及、在連續(xù)，、在上連續(xù)，則這里也必須注意的是：積分下限一定要對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)，積分上限一定對(duì)應(yīng)的終點(diǎn).4、 兩類曲線積分的關(guān)系，其中、為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角.類似地，在空間有，其中、為空間有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角.三、主要例題：例1 計(jì)算 其中是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段弧.例2 計(jì)算曲線積分其中L是中心在、半徑為的上半圓周.例3 計(jì)算曲線積分，其中：.例4 計(jì)算曲線積分，其中為擺線的一拱：，.例5 計(jì)算曲線積分，其中為連接三點(diǎn)、的封閉折線段.例6 計(jì)算曲線積分，其中為螺旋線上相應(yīng)于從到的一段弧.例7求 其中為球面被平面所截得的圓周.例8計(jì)算半徑為

15、R, 中心角為的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (設(shè)線密度).例9 計(jì)算其中L為曲線上從到的一段弧.例10 計(jì)算曲線積分，其中為擺線的一拱，其中為起點(diǎn)，為終點(diǎn).例11 計(jì)算曲線積分，其中分別為（1）從點(diǎn)沿直線到；（2）從點(diǎn)沿圓周到；（3）從點(diǎn)沿軸到再沿軸到.例12 計(jì)算曲線積分，其中分別為（1）從點(diǎn)沿直線到；（2）從點(diǎn)沿曲線到；（3）從點(diǎn)沿軸到再沿直線到；（4）從點(diǎn)沿軸到再沿直線到.例13 計(jì)算為點(diǎn)到點(diǎn)的空間有向線段.例14求質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿著曲線 從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所作的功.例15 設(shè)為從點(diǎn)沿曲線到的曲線弧，化第二類曲線積分為第一類曲線積分.授課序號(hào)04教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第七章 第

16、四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)兩類曲面積分計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)兩類曲面積分計(jì)算參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求了解兩類曲面積分的概念，并會(huì)計(jì)算兩類曲面積分，教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、 基本概念：1、對(duì)面積曲面積分的概念與性質(zhì) 設(shè)為光滑(或分片光滑)曲面，函數(shù)在上有界，將任意地分成片小曲面（也表示該小曲面的面積），任取，若存在，則稱此極限為在曲面上第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記作.2、曲面

17、的側(cè)設(shè)是有向曲面，在上取一小塊曲面，將投影到面上得一投影區(qū)域，其面積記為，且假定在上各點(diǎn)處的法向量與軸的夾角的余弦有相同的符號(hào)，則規(guī)定在面上的投影為：其中也就是的情形.類似地可以定義在面上的投影及在面上的投影.3、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念 設(shè)為光滑(或分片光滑)的有向曲面，函數(shù)在上有界，將任意地分成片小曲面（也表示該小曲面的面積），在坐標(biāo)面的投影分別是，任取，若存在，則稱此極限為在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)、的曲面積分或第二類曲面積分， ，即 其中稱為被積函數(shù)，稱為有向積分曲面 .類似地，可以定義函數(shù)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分為 ；定義函數(shù)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分為 以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面

18、積分.二、 定理與性質(zhì)：1、對(duì)面積曲面積分的計(jì)算方法設(shè)積分曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域?yàn)椋ㄒ妶D7-58），其中在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)在上連續(xù)， 則； 類似地，設(shè)積分曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域?yàn)?，其中在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則；設(shè)積分曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域?yàn)?，其中在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則.2、對(duì)面積曲面積分的物理應(yīng)用 已知曲面型構(gòu)件的密度函數(shù)在上連續(xù)，則的質(zhì)量為；曲面的質(zhì)心的坐標(biāo)分別為，；曲面相對(duì)于軸，軸，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為，.3、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法設(shè)光滑有向曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域?yàn)?，函?shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)在上連續(xù)，則有，當(dāng)曲面取上側(cè)，即的

19、法向量的方向余弦中時(shí)，等式的右端取正號(hào)，即； 曲面取下側(cè)，即的法向量的方向余弦中時(shí)，等式的右端取負(fù)號(hào)，即.4. 兩類曲面積分之間的關(guān)系：設(shè)有向曲面，在上連續(xù)，為曲面上點(diǎn)處的單位法向量, 則 注 兩類曲面積分的關(guān)系式.三、主要例題：例1 求，其中為的部分.例2 計(jì)算曲面積分 其中是球面被平面截出的頂部.例3計(jì)算 其中為平面被柱面所截得的部分（見圖7-61）.例4計(jì)算其中是由平面及所圍四面體的整個(gè)邊界曲面.例5 計(jì)算第一類曲面積分，其中為立體的整個(gè)邊界曲面.例6 已知拋物面殼的密度函數(shù)為，試求其質(zhì)量.例7 試求均勻曲面的質(zhì)心坐標(biāo).例8 求密度為的均勻半球殼對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例9 計(jì)算，其中為錐面的下

20、側(cè).例10 計(jì)算曲面積分其中是球面外側(cè)在的部分.例11 計(jì)算曲面積分，其中為由平面、及所圍四面體的外側(cè).例12計(jì)算曲面積分，其中為介于和之間的下側(cè).授課序號(hào)05教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第七章 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)格林公式教學(xué)難點(diǎn)高斯公式參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求掌握格林(Green)公式，會(huì)使用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，了解兩類曲面積分的概念及高斯(Guass)、斯托

21、克斯(Stokes)公式， 了解散度、旋度的計(jì)算公式。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、 基本概念：1、單連通區(qū)域及其正向邊界：設(shè)為平面區(qū)域，若區(qū)域內(nèi)任意一個(gè)封閉曲線所圍的部分均屬于區(qū)域，則區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則就稱為復(fù)連通區(qū)域. 通俗地講，單連通區(qū)域是沒有“洞”的區(qū)域.設(shè)為平面區(qū)域，我們規(guī)定它的邊界曲線關(guān)于的正向?yàn)椋寒?dāng)觀察者沿的這一方向行走時(shí)，內(nèi)在他鄰近處的部分總在他的左側(cè).2、與路徑無關(guān)：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果對(duì)于內(nèi)以點(diǎn)為起始點(diǎn)、以點(diǎn)為起終點(diǎn)的任意兩條的曲線、，下列等式成立：，則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān). 否則則稱與路徑有關(guān).如果曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，而的起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，那么曲

22、線積分便可以記為.*3. 通量與散度設(shè)給定一向量場(chǎng)，其中函數(shù)、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則稱為向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度，記作.一般地，就表示在場(chǎng)中任一點(diǎn)處的散度.第二類曲面積分稱為向量場(chǎng)向那一側(cè)穿過曲面的通量.4. 環(huán)流量與旋度設(shè)有向量場(chǎng)，其中、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則向量就稱為向量場(chǎng)的旋度，記作，即.若是的定義域內(nèi)的一條分段光滑的有向閉曲線，是在點(diǎn)處的單位切向量，則曲線積分就稱為向量場(chǎng)沿有向閉曲線的環(huán)流量二、定理與性質(zhì)：格林公式 ：設(shè)有界閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 其中是的正向邊界曲線.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件：設(shè)區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下