解析幾何中的定值問(wèn)題

1、解析幾何中的定值問(wèn)題1、(2014安徽高考)如圖，已知兩條拋物線(xiàn) 日：y2 2px(p1 0), E2: y2 2P2x(p2 0),過(guò)點(diǎn)O的三條直線(xiàn)11、12和13. 11與E1和E2分別交于A, A2兩點(diǎn)，12與E1和2分別交于Si與S2,求證B1,B2 , 13與E1和E2分別交于C1,C2.記 AB1C1, A2B2c2的面積分別為息的值為定值. S2證明：設(shè)直線(xiàn)li1213的方程分別為ykx, y k2x, y k3x.把直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立求解得:2P1A(2P1 2P2互)，A2(V2P2、kJ2 PlB1(E2P12P2JB2P2、k2)2P12P2)，C2(_T-k3k32P2k

2、3).由三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)面積公式得:_2S1=(2P1)(k1 k2 k1k2、) k1k3 k1k311k2k3 kS2=(2 P2)2(k1k2 k1k1 k3 k1k,11、()， k2 k3卜2卜3所以SL=(上L)2為定值.S2p2注：(1)設(shè)？ ABL頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x2, y2)，(x3, y3),則S ABC |x1(y3y2 ) x2 (y3y2)y2 (x3 x2) y1(x3 x2) | ;(2)原解答包含一個(gè)重要結(jié)論，A1BQ1, A2B2c2三邊對(duì)應(yīng)平行，進(jìn)而，S. AB1cls4A2B2C2，S2A1B1A2B2p1 2=().P22、(200

3、7 重慶)2 X已知F是橢圓-2 a2y2 1(a b 0)的右焦點(diǎn)，在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn) b2比 P2,P3,使 RFP2P2FP3此定值.P3FP1 ,證明_J_1_J_為定值，并求|FPi| IFP2I | FP3 |證：引入橢圓的極坐標(biāo)方程，準(zhǔn)線(xiàn)的距離，e是極徑與極軸的夾角設(shè) | FR | ep,則1 ecos一ep一 .其中e是橢圓的離心率,1 ecosp是相應(yīng)焦點(diǎn)到|FP2|ep21 ecos( )3|FP2|ep1 ecos( )3111|FPi | | FP2 | |FP3 |223 ecos cos( )cos( )33ep31為定值. b2例1、設(shè)AB是過(guò)橢圓22xy22

4、ab1(a b 0)右焦點(diǎn)F的一條弦，P是橢圓上異于 A,B的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PA, PB分別交橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)l于M ,N兩點(diǎn).求證：M ,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，并求該定值.分析：此題若按常規(guī)方法設(shè)立坐標(biāo)求解，將會(huì)異常困難，不妨從平面幾何的角度考慮.角平AC CM分線(xiàn)的性質(zhì)：如圖1, AABC43,若AM平分/ ABC等價(jià)于 ,同理若AN平分/ BACAB MBAC CN的外角/ BAD等彳于4 CNAB NB圖1解：如圖2,延長(zhǎng)PF交l于Q ,延長(zhǎng)BA交l于C,連FM下證FMF分/ PFA勺外角/ QFA設(shè)A, P為A,P在l上的射影，則LAM-|LAA!LAFJ,所以FM為/PFA的外角平|

5、MP | pp |!PF!分線(xiàn)，即FMFK/ QFA同理FN平分/ PFB的外角(即FN平分/ QFB,從而/ MFI=90o .設(shè)2b42為定值.a bCN圖2MAPQ x2 X2、A為橢圓七a2y 1(a0)上一個(gè)定點(diǎn).過(guò)A任作兩條互相垂直的弦 AB, AC證l 交軸于 K,則 | KM | | KN | | KF | ,從而 yM yN明直線(xiàn)BC通過(guò)一個(gè)定點(diǎn).證：我們平移坐標(biāo)軸，使得 A為原點(diǎn).設(shè)過(guò)A的已知曲線(xiàn)方程為22a1x c1y dx ey 0 (1).(1)過(guò)原點(diǎn)A,所以沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).設(shè)直線(xiàn)BC的方程為mx ny 1 .則過(guò)B, C兩點(diǎn)的直線(xiàn) AB, AC的方程是22a1xc1y(

6、dx ey)(mx ny) 0 (2)(2)的左邊是的二次齊次式，所以它表示兩條過(guò)原點(diǎn)A的直線(xiàn).而B(niǎo), C的坐標(biāo)均適合(2),所以(2)表示AB AC.因?yàn)锳B AC互相垂直，所以(2)作為y的方程，兩根之積為一1,即x(a dm) (c en) 0,4.de整理為m() n() 1 (3).ai ciai cid e比較(2)與(3),得直線(xiàn) BC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(，e).a1 c1 a1 c13、如圖，已知A,B是圓O x2 y2 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，P為直線(xiàn)l ：x 4上的動(dòng)點(diǎn)，PA, PB與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 M ,N .證明：直線(xiàn)MNi定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)證：設(shè) P(4, y0), M (x

7、1, y1), N (x2, y2).則kBP 與 3 當(dāng) 3kAP 263yiy29(4 xi2)4 x2xi 2x2 2 (xi 2)2 (x2 2)22xix2 5(xi x2) 8 0 (i).設(shè) Imn ： y k(x m).9(2 x1)2 x2xi 22 x2代入x2 y2 4 0得(1 k2)x2 2k2mx k2m2 4 0.由韋達(dá)定理得x1x22k2m1 k2 ，Xlx222km 41 k2代入（1）式并整理得k2（m2 5m 4） 0.當(dāng) k 0, m 1 或 n=4(舍).當(dāng)k 0時(shí)，直線(xiàn)MNIP為AB所以，直線(xiàn)MNN點(diǎn)（1,0）.另證：設(shè)直線(xiàn)MNW軸的交點(diǎn)為K（m 0

8、）,2因?yàn)镻K2 P的哥（關(guān)于。Q K的哥（關(guān)于。0) , (4 m)2y216 y2 4 (m 2)(2 m)4、：已知A,A2分別為橢圓2與 1(a b b20）的左右頂點(diǎn)，P為橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)上任一點(diǎn)，連接PAi , PA2分別交橢圓于 M,N兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)MN通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)ax1aXi(1).a2 a(x1 x2) x1x2 a2 a(x1 x2) x1x2 ,證：設(shè)MN在直線(xiàn)為y kx m, 2aP( 一, y0),M (Xi , yJN 只,Q A ( a,0), A2(a,0) c由y2aXia一 a c2 22ycy1-222a (a c)(xia)2 2yc22a (a c)2

9、 2同理有常孑:（2）,(1) (ac)(ax1)(ax2)由7(2) (ac)(axj(ax2)XiX222,(a c) aa(x1X2)X1X2聯(lián)立直線(xiàn)MNW橢圓,得,2, 2, 2、 2 C 2,(a k b )x 2a kmX2/22a (m b )0,由韋達(dá)定理有，X1X22,2a km 、，、，2. 2 r-2 ,X1 X2 a k b222a (m b )小、 /曰2-2，代入(3) 得a2k2 b2ckm2-2 ,(a c) (ak m)m kc.所以直線(xiàn)MN1過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)2 X例5:已知F為橢圓 31的右焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的弦 AB , CD,分別為AB , CD的中

10、點(diǎn)，求證：直線(xiàn)MN亙過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo) 證明：設(shè)AB所在直線(xiàn)方程為：y k(x 1),聯(lián)立求解得_22 _2_2 一(2 3k )x6kx 3k6 0XM3k22k2 , yM2 3k22 3kXN32k_ 2, y N_ 22k2 3 2k2 3kK MN310(k k)6(1 k4)2k10(k3 k)24 (x2 3k6(1 k )3k2- c, 2 )2 3k當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)MNBP為X軸.人 c3令 y=0, x 一.53 直線(xiàn)MN通過(guò)定點(diǎn)(3,0).5注：此題不難，難在最后想到令 y=0,因?yàn)楫?dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)MNIP為X軸.2 x 例6.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在橢圓-2a2L 1(a b 0)上，坐標(biāo)原點(diǎn) b2O為ABC的重心.證明:ABC的面積為定值.證法(一):令 A(acos ,bsin ), B(a cos , bsin ).貝U C( a(coscos ),b(sin sin).由點(diǎn)C在橢圓上，代入得(cos cos)2 (sin2s