中考數(shù)學(xué)壓軸題專題相似的經(jīng)典綜合題及答案

1、-相似真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1. 如圖，AABC是一銳角三角形余料，邊BC=IGcm,髙AD=24cm,要加工成矩形零件, 使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC上求：(1) AK為何值時(shí)，矩形EFGH是正方形？(2) 若設(shè)AK=×, Sefgh=Y,試寫出y與X的函數(shù)解析式.(3) X為何值時(shí)，SEFGH達(dá)到最大值.【答案】(1)解：設(shè)邊長為×cm,V矩形為正方形， EHIl AD, EFIl BC,Eh BE Eb Ab根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出： 応石、BC = AB,X BE X AE 由題意知 EH=x, AD=24, BC=16, E

2、F=X,即 24AB, 16 = AB9 T BE+AE=AB,X X BE Ab：.24+ 16 =46 解得X=T,72AK= 5 ,_ 72：.當(dāng)AKT 時(shí)，矩形EFGH為正方形(2)解：設(shè) AK=x, EH=24-x,. EHGF為矩形,Eb AK2.,.BC=AL ,即 EF= 3,2 2二 Sefgh=Y= 3 (24-×) =- <32÷16x (0<x<24)（3）解：y=- <J2+16×2配方得：y=-J （×-12） 2+96,.當(dāng)X=12時(shí)，SEFGH有最大值96【解析】【分析】（1）設(shè)出邊長為xcm,由正

3、方形的性質(zhì)得岀，EHIl AD, EFIIBC,根據(jù) 平行線的性質(zhì)，可以得對(duì)應(yīng)線段成比例，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可。（2）設(shè)AK=x,則EH=16-x,根據(jù)平行的兩三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高 之比等于相似比，用含X的代數(shù)式表示出EF的長，根據(jù)矩形而積公式即可得出y與X的函 數(shù)解析式。（3）將（2）中的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出矩形EFGH的而 積取最大值時(shí)的X的值。a b C2. 已知線段 a, b, C 滿足 丁 2_N,且 a + 2b÷c=26.（1）判斷a, 2b, c, b2是否成比例：（2）若實(shí)數(shù)X為a, b的比例中項(xiàng)，求X的值.a b

4、C k【答案】（1）解：設(shè)'3'26,則 a=3k» b=2k, c=6k,又T a+2b+c=26>. 3k+2×2k+6k=26> 解得 k=2,. a=6> b=4, c=12;/. 2b=8, b2=16T a=6t 2b=8 C=I2» b2=16. 2bc=96> ab2=6×16=96/. 2bc=ab2a, 2b, c, b?是成比例的線段。（2）解：Tx是a、b的比例中項(xiàng)，/. x2=6ab>. x2=6×4×6>. x=12.【解析】【分析】（1）設(shè)已知比例式的值

5、為k,可得岀a=3k, b=2k, c=6k,再代入 a+2b+c=26,建立關(guān)于k的方程，求出kl的值，再求岀2b、b?,然后利用成比例線段的泄 義，可判斷a, 2b, c, b?是否成比例。(2)根據(jù)實(shí)數(shù)X為a, b的比例中項(xiàng)，可得出x2=ab,建立關(guān)于X的方程，求出X的值。3如圖，在AABC中，Z C = 90o, AC = & BC=6。P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B兩 點(diǎn))，過點(diǎn)P分別作AC. BC邊的垂線，垂足為M、N設(shè)AP=×.(1) 在AABC 中，AB=:(2) 當(dāng)X=時(shí)，矩形PMCN的周長是14：(3) 是否存在X的值，使得APAM的而積、APBN的而

6、積與矩形PMCN的而積同時(shí)相 等？諳說岀你的判斷，并加以說明?！敬鸢浮?1) 10(2) 5(3) 解：. PM丄AC, PN丄BC, Z AMP=Z PNB=Z C=90°/. ACll PN, Z A=Z NPB. AMP心 PNB- A ABC.當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，可得AAMP牛APNB 此時(shí) S AMP=SA PNB= 2 ×4×3=6而 S mpmcn=PMMC=3×4=12所以不存在X的值，能使 AMP的面積、 PNB的而積與矩形PMCN面積同時(shí)相等.【解析】【解答】(I)ZABC為直角三角形,且AC=8, BC=6, ： AB 二 AC2 B

7、C2 二 亠 E 二 IG(2 ) T Plvl 丄AC PN 丄 BC/.MPll BC, ACll PN (垂直于同一條直線的兩條直線平行)，PM _ AF PN _ BF BC AB , AC ABBC APAB.AP=x, AB=10, BC=6, AC=8, BP=IO-×,63X = -X 105PNAC SPAB84(10 - x)4x.矩形 PMCN 周長=2 (PM+PN) =2 ( 5+85) =14,解得 x=5：【分析】在AABC中，Z C=90o, AC=8, BC=6根拯勾股泄理，可求岀AB的長；AP=X,可以 得到矩形PMCN的周長的表達(dá)式，構(gòu)造方程，解

8、方程得到X值.可以證明 AMP PNB-厶ABC ,只有當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，可得 AMP旻 PNB ,此時(shí)S AMP=S PNB ,分別求出當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)APAM的而積、 PBN的而積與矩形PMCN的 面積比較即可.4. 如圖，AABC內(nèi)接于OO,且AB=AC涎長BC到點(diǎn)D,使CD = CA,連接AD交C)O于點(diǎn) E.(1) 求證： ABE旻厶CDE：(2) 填空： 當(dāng)Z ABC的度數(shù)為時(shí)，四邊形AOCE是菱形： 若AE = 6, BE=&則EF的長為【答案】(1)證明:VAB=AC, CD=CA, Z ABC=Z ACB, AB=CD. 四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,/. Z ECD

9、=Z BAE, Z CED=Z ABC. Z ABC=Z ACB=Z AEB, Z CED=Z AEB, /. ABE空厶 CDE (AAS)5(2) 60： 2【解析】【解答】解：(2)當(dāng)ZABC的度數(shù)為60。時(shí)，四邊形AOCE是菱形; 理由是：連接AO、0C.T四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,AZABC+ZAEC=180o.Z ABC=60, /. Z AEC=I20=Z AOC. OA=OC, Z OAC=Z OCA=30oAB=ACCABC 是等邊三角形,AZACB=60°.T Z ACB=Z CAD+Z D AC=CD, /. Z CAD=Z D=30% /. Z ACE=I

10、80° - 120° - 30o=30% . Z OAE=Z OCE=60o, .四 邊形AOCE是平行四邊形.T OA=OC, /. -AOCE 是菱形；由(1)得： ABE空厶 CDE, BE=DE=8, AE=CE=6, . Z D=Z EBC.ECCbe - Z CED=Z ABC=Z ACB, /. A ECD心 CFB, /. ED BC=S.AE _ BC6 836 "i" TzAFE=ZBFC, Z AEB=Z FCB,二 AEF- BCF,. EF CF 八 E卜=6、：升 8 =故答案為：60°：2.【分析】（1）由題意易證

11、Z ABC=Z ACB , AB=CD :再由四點(diǎn)共圓和已證可得Z ABC=Z ACB=Z AEBt Z CED=Z AEB,則利用 AAS 可證得結(jié)論：（2）連接AO、CO.憲政AABC是等邊三角形，再證明四邊形AOCE是平行四邊形，又AO=CO可得結(jié)論；先證2ECD-ACFB,可得 EC： ED=CF: BC=6:8：再證 AEF-厶 BCF,貝IJ AE： EF=BC:CF,從而求岀ER5. 在正方形飲2中，AB =8y點(diǎn)/在邊Q上，WZPBC _ ：,點(diǎn)6是在射線艮上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作月萬的平行線交射線/于點(diǎn)用，點(diǎn)拆在射線月©上，使應(yīng)始終與直線 毋垂直.(1) 如圖1，當(dāng)

12、點(diǎn)拆與點(diǎn)©重合時(shí)，求&的長；BRb(2) 如圖2,試探索：肌的比值是否隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)說明你的 理由：若沒有變化，請(qǐng)求出它的比值：BC(3)如圖3,若點(diǎn)6在線段冊(cè)匕 設(shè)PQ=Xy RM = y ,求F關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫 出它的定義域.【答案】（I）解：由題意，得AB=BC = CD=AD=8tZC = ZA = 90' 在 Rt BCF 中，ZC = 90。PCt&nZPBC = DC tanZPBC 二二4. PC = 6：. RP =2 PB = J妙 += IGRQ 1弘. ZRQP = 90° ZC = ZRy ZB

13、pC = ZRPG PBC-卜 PRC PB PC.喬一元10 6 H _ PG 6PQ 二二5Rh(2)解：答：腕的比值隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)沒有變化理由：如圖,BC. M Il AB Zl = ,ABF. ZQMR = ZA. ZC=ZA= 90° ZQMR = ZC = 90°T RQ 1 BC ZI ZRQM = 90QZABC = ZABP ZpBC = 90° ZRQM = ZPBC：. RMC 八 PCBRM _ PC.1qTc： PC = 6、BC = SRM _ 3.礦 7Rb3亦的比值隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)沒有變化丄匕值為刁（3）解：延長毋交皿的延長線于點(diǎn)A 又

14、PD"M 二 PQ + pNr+弓D- 心 必妙一M脅初宀£ N - - 刃刃亦M Y8 W-"一3-M y 一一M, 肪曲 MA7-.V65 - / - 7 Nn - 一一 - 刃WM 一閥拠1027T _ Tg.7 % +飛93V = X + - 20 2.26O < X W 它的定義域是£【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB = BC = CD = AD = 8 ZZC = ZA = 90。，在Rt BCP中，根據(jù)正切函數(shù)的左義得岀tan Z PBC=PC : B C,又tan Z PBCJ二,從而得出PC的長，進(jìn)而得出RP的長，根

15、據(jù)勾股左理得出PB的長，然后判斷岀 P B C- 4 PRQ,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出PB : RP=PC : PQ,從而得岀PQ的長：（2）RM ： MQ的比值隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)沒有變化,根據(jù)二直線平行同位角相等得岀Z I = ZA BP, Z QMR = Z A ,根據(jù)等雖代換得出Z QMR = Z C = 90 %根據(jù)根據(jù)等角的余角相等得 出Z RQM = Z PBC ,從而判斷出 RMQsA PCB,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例， 得出PM : MQ=PC : BC,從而得岀答案；（3）延長B P交 A D的延長線于點(diǎn) N,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 PD : AB=ND : NA,

16、又NA = ND + AD = 8 + ND ,從而得岀關(guān)于ND的方程，求解即可得出 ND,根據(jù)勾股定理得出PN,根據(jù)平行線的判左怎理得出PDIl MQ,再根據(jù)平行線分線段成4比例左理得岀PD : MQ=NP : NQ八又RM : MQ=3 : 4zRM=y,從而得岀MQ二印又P D二2 , N IGQ=PQ + P N = X +三，根據(jù)比例式，即可得出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式。6. 如圖，已知在AABC中，ZACB二90。，BC=2, AC二4,點(diǎn)D在射線BC上，以點(diǎn)D為圓 心，BD為半徑畫弧交邊AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF丄AB交邊AC于點(diǎn)F,射線ED交射線AC 于點(diǎn)G.C(1) 求證： EF

17、GA AEG；(2) 設(shè)FG=×, EFG的而積為y,求y關(guān)于X的函數(shù)解析式并寫岀定義域:(3) 聯(lián)結(jié)DF,當(dāng)AEFD是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出FG的長度【答案】(1)證明： ED=BD,. Z B=Z BED. Z ACB=90% Z B+Z A=90o T EF丄AB,Z BEF=90o Z BED+Z GEF=90o Z A=Z GEF.T ZG是公共角， EFG-厶AEG(2)解：作EH丄AF于點(diǎn)H.BC 1/. tanA= AC - 2 ,Eb 1 ：.在 Rt AEF 中，Z AEF=90% tanA= AE 29 EFG-厶 AEG,T FG=XfEG=2×,

18、 AG=4×.AF=3×.EH 丄 AF, Z AHE=Z EHF=90o. Z EFA+Z FEH=90o. ZAEF=90° Z A+Z EFA=90oz Z A=Z FEH,. tanA =tanZ FEH,HF 1在 Rt EHF 中，ZEHF二90°, tanZ FEH= = f EH=2HF,Eh 1在 Rt AEH 中，Z AHE=90o, tanA=-, AH=2EH, AH=4HF, AF=5HF,3. HF=/,6 EH= 了，1 1 6 3 r4MHMMM MM y %. y= FG-EH= x=左義域：（OVXS 3）（3）解：當(dāng)

19、厶EFD為等腰三角形時(shí)， 當(dāng) ED=EF 時(shí)，則有Z EDF=Z EFD,T Z BED=Z EFH, Z BEH=Z AHG, Z ACB=Z AEH=90%Z CEF=Z HEF,即EF為Z GEH的平分線，則 ED=EF=x, DG=8-x,1T anA= 2 >A x=3,即 BE=3;4 若FE=FDZ此時(shí)FG的長度是3；25-55 若DE=DF,此時(shí)FG的長度是12.【解析】【分析】（1）因?yàn)镋D=BD,所以Z B=Z BED .根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得Z A=Z GEF,而Z G是公共角，所以由相似三角形的判泄可得厶EFG- AEG：（2）作EH丄AF于點(diǎn)H. Z AEF=Z

20、 ACB=90o, ZA是公共角，所以可得 AEF 厶ACB.所以可得比例式，AC7e1"2,由(I)得AEFG-AAEg,所以可得比例式，F(xiàn)G GE EF lEGTa AE1,因?yàn)镕G=X,所以EG=2×, AG=4x.則AF=3x,由同角的余角相等可得 HF IZ A=Z FEH,所以 tanA =tanZ FEH,在 Rt EHF 中，Z EHF=90o, taZ FEH=EH £所以 EH=2HRS6在 Rt AEH 中，同理可得 AH=2EH,所以 AH=4HF, AF=5HF, HF=抵 ，則 EH=<5x , EFG1 1 6 3 r4的而積y

21、=2FGEH=25=/ ,自變量的取值范囤是0<x 3；(3)當(dāng)AEFD為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論： 當(dāng)ED=EF時(shí)，則有Z EDF=Z EFD,易得FG=3:4 若FE=FD,易得FG=S;25-55 若DE=DB易得FG= 127.SA ABD SA ACD（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1， ABC中，點(diǎn)D, E, F分別在邊BC, AC, AB上，且AD BE, CF相交于同一點(diǎn)O.用"S"表示三角形的面積,有S AB0： S ACD=BD： CD,這一結(jié)論可通過 以下推理得到：過點(diǎn)B作BM丄AD,交AD延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN丄AD于點(diǎn)N.可得 BM):(-Ao

22、CN)2 ,又可iiE BDMACDN, /. BM： CN = BD: CD,S CAO ： S CBO =BCO .,.S ABD： SAACD=BD: CD由此可得 S BAO: SAD, E, F 分別是 BC, AC, AB 的中點(diǎn)，則 SABFo： SAABC（2）【靈活運(yùn)用】如圖2,正方形ABCD中，點(diǎn)E, F分別在邊AD, CD上，連接AF, BE 和CE, AF分別交BE, CE于點(diǎn)G, M.圖2若AE = DF.判斷AF與BE的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若點(diǎn)E, F分別是邊AD, CD的中點(diǎn)，且AB=4.則四邊形EMFD的而積是多少？（4）【拓展應(yīng)用】如圖3,正

23、方形ABCD中，AB=4,對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)F是 邊CD的中點(diǎn)AF與BD相交于點(diǎn)P, BG丄AF于點(diǎn)G,連接OG.請(qǐng)直接寫出SXGP的值.SC圖3【答案】（1）AE： EC： AF： BF； 1： 6（2）解：結(jié)論：AF=BE, AF丄BE. 理由：如圖2中，團(tuán)2V四邊形ABCD是正方形， AB=AD Z BAE = Z ADF = 90T AE = DF, BAE雯厶 ADF (SAS), BE=AF, ZABE = Z DAF,T Z ABE+Z AEB=90o, Z DAF+Z AEB=90 Z AGE = 90 AF = BE.（3）解：如圖2 - 1中，連接DM.根據(jù)對(duì)

24、稱性可知仏DMEt DMF,關(guān)于直線DM對(duì)稱,二 S DME = S DMF IT AE = DE,二 S AEM = SA DME = SA DMF »1T S ADF= 242 = 4,4 SA AEM = SA DME = DMF= ' 8 I S Wft EMFD= 1 8故答案為2.（4）拓展應(yīng)用：如圖3中,四邊形ABCD是正方形，/. AB = BC = CD=AD=4, AC = BD=4 屁 OA=OB = OD = OC = 2 DF = FC, DF = FC=2, DFIl AB,DF DP l.ABPl,：.OP： 0B=0P: OA = I: 3,T

25、BG丄PA, AO丄0B, Z AGB = Z AOB = 90o,/ Z OAP+Z APO=90 Z PBG+Z BPG=90% Z PAO = Z PBG, Z APO = Z BPG,H 一丹67一丹一一 一一喬一丹,T Z GPO = Z BPA. GPOS BPA,S CPD OP 求線段AB的長度； 設(shè)點(diǎn)M在射線AB上，將點(diǎn)M繞點(diǎn)、A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)N,以點(diǎn)N為圓 心，NA的長為半徑作O N. 當(dāng)ON與X軸相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)： 在的條件下，設(shè)直線AN與X軸交于點(diǎn)C,與ON的另一個(gè)交點(diǎn)為D,連接MD交X I （丿= S BPA PA IG ,2 16S ABP= 3 A

26、BD= 3 >8. S GOP= 15 .【解析】【解答】（I ）探索發(fā)現(xiàn)：由題意：S Bao: S bco = AE: EC； S Cao： SCBO = AF: BF:若 D, E, F 分別是 BC, AC, AB 的中點(diǎn)，則 SAB心 SAABC=1： 6,故答案為：AE： EG AF： BF, 1： 6.【分析】【探索發(fā)現(xiàn)】利用等高模型，解決問題即可.【靈活運(yùn)用】（1）結(jié)論：AF = BE, AF丄BE證明 BAE A ADF （SAS）即可解決問題（2）根據(jù)對(duì)稱性可知厶DME, DMF, X?十庖線 DM 對(duì)稱,推出 SDME = SDMF 9 由 AE = DE,推出 SA

27、AEM = SADME = SADMF ,求出S 甌OP _ 1 ADF的面積即可解決問題.【拓展應(yīng)用】由AGP0-ABPA,推岀S PA 元即 可解決問題.48如圖，已知一次函數(shù)y= - 3x÷4的圖象是直線I,設(shè)直線I分別與y軸.X軸交于點(diǎn)A、 軸于點(diǎn)E,直線m過點(diǎn)N分別與y軸、直線I交于點(diǎn)P、Q,當(dāng)AAPQ與 CDE相似時(shí)，求 點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)解：當(dāng)X=O時(shí)，y=4, A (0 4), OA二4,4當(dāng) y=0 時(shí)， S+4=0,×=3, B (3, 0),OB=3,由勾股左理得：AB=5=-二tanz OAB= OA AE 4 ,設(shè) EM=3x, AE=4x

28、> 則 AM=5x, M (3x, -4×+4),由旋轉(zhuǎn)得：AM=AN, ZMAN=90。, Z EAM+Z HAN=90 Z EAM+Z AME二90°, Z HAN=Z AME, Z AHN=Z AEM=90% AHN旻厶MEA, AH=EM=3×t. ON與X軸相切，設(shè)切點(diǎn)為G,連接NG,則NG丄X軸, NG=OH, 則 5x=3×+4, 2x=4, x=2, M(6 -4 ): D (16, 16),設(shè)直線 DM： y=k×+b,把 D (16, 16)和 M(6,4)代入得:k=2解得：Ib= - 16,：.直線DM的解析式為：

29、y=2x-16,.直線DM交X軸于E,當(dāng) y二O 時(shí)，2x-16=0,X二 8, E (8, 0),由知：C)N與X軸相切，切點(diǎn)為G,且G (8, 0),. E與切點(diǎn)G重合， Z QAP=Z OAB=Z DCE, APQ CDE相似時(shí)，頂點(diǎn)C必與頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng), 分兩種情況：i)當(dāng)ADCE-AQAp 時(shí)，如圖 2, Z AQP=Z NDE,T Z QNA=Z DNF, Z NFD=Z QAN=90o,TAOII NE, ACOA NCE,AO _CG.NEci,4 _ Co I(TCO s916：.CO= 3 ,連接BN, AB=BE=5,. Z BAN=Z BEN=90% Z ANB=Z ENB

30、,T EN=ND Z NDE=Z NED,. Z CNE=Z NDE+Z NED, Z ANB=Z NDE, BNlI DE,Rt ABN 中，BN= + 孑=M ,AB NF=SinZ ANB=Z NDE= BN DN.5 _腫. 55", NF=2 , DF=4 . Z QNA=Z DNF,DF_AC. tanZ QNA=tanZ DNF= NF A 945 AC. 25Tg , AQ=20.3 Qh二 T tanZ QAH=tanZ OAB= 4 Ah t設(shè) QH=3x, AH=4x,則 AQ=5×,.,.5x=20>X二4,. QH=3x=12, AH=16,

31、 Q (-12, 20),1冋理易得：直線NQ的解析式：y=-2+14, P (0, 14):ii)當(dāng)厶DCE- PAQ時(shí)，如圖3,A(1) 如圖2,在AABC中AB=ACzZ B=50 APD是AB邊上的"等腰鄰相似三角形"，且AD=DP, Z PAC=Z BPD,則Z PAC 的度數(shù)是:(2) 如圖3,在ZXABC中，ZA二2ZC,在AC邊上至少存在一個(gè)"等腰鄰相似 APDS請(qǐng)畫 出一個(gè)AC邊上的"等腰鄰相似 APD",并說明理由；(3) 如圖4,在Rt ABC中AB=AC=2, APD是AB邊上的"等腰鄰相似三角形"，

32、請(qǐng)寫岀 AD長度的所有可能值.【答案】(1)30。(2)解：如圖3中，AAPD是AC邊上的"等腰鄰相似三角形”，理由：作Z BAC的平分線AP交BC于P,作PDIl AB交AC于D,S3/. Z BAP=Z PAD=Z DPAt Z CPD=Z B, DP=DAt Z CAB=2Z C, Z BAP =Z C,. APD是等腰三角形且厶APB CDP相似, APD是AC邊上的"等腰鄰相似三角形(3) 解:如圖 3沖,當(dāng) DA=DP 時(shí),設(shè)Z APD=Z DAP=X,3r若Z BPD=Z CAP=90o-×, Z BDP=Z CPA=2×> 90o-

33、x+2x+x=180% x=45%三角形都是等腰直角三角形，易知ADT：若Z PDB=Z CAP 時(shí)，設(shè)Z APD=Z DAP=X, 得到Z PDB=Z CAP=2×,易知 x=30o, 設(shè) AD=a,則 AP= BPD- CPA,BD Pb：.花一兀即 2/1如圖4中，當(dāng)PA=PD時(shí)，易知Z PDB是鈍角，Z CAP是銳角,4Z PDB=Z CPA,則厶BPD旻厶CPA,設(shè) AD=a,則 BD=2-a, BP (2 a) = 2 , AC=2,22 -(2 - a) =2,解得a=" -恥，如圖 5 中，當(dāng) AP=AD 時(shí),設(shè)Z APD=Z ADP=X,則Z DAP=I8

34、0o-2x,易知Z PDB 為鈍角,Z CAP為銳角，圖5 Z PDB=Z CPA=I80o-x, Z CAP=90o-Z DAP=90o- (180o-2×) =2x-90%在厶 APC 中，2×-90o+180o-x+45o=180%解得x=45不可能成立 綜上所述.AD的長為2或 3 或4- 2【解析】【解答】（1）解：如圖2中，TAB=AC, DA=DP,/. Z B = Z Ct ZDAP = Z DPA, Z PAC=Z BPD, Z APC=Z BDP = Z DAP+Z DPA,. Z APC=Z B + Z BAP, Z B = Z PAB = 5O. Z

35、 BAC=I80°-50°-50° = 80°, Z PAC=30o故答案為30°【分析】（2）根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)證明ZB = ZPAB即可解決問題 （2） 如圖3中，作Z BAC的平分線AP交BC于P,作PDll AB交AC于D,根據(jù)平行線的性質(zhì)和 角平分線左義可得ZBAP=ZPAD二Z DPA, Z CPD=Z B,結(jié)合Z A=2Z C可證AAPD是等腰三 角形且AAPB與ACDP相似，即可解決問題.（3）分三種情形討論：如圖3,中，當(dāng)DA= DP時(shí)：如圖4中，當(dāng)PA=PD時(shí)：如圖5中，當(dāng)AP=AD時(shí)：分別求解即可解決問題.1

36、0.在等腰直角三角形ABC中上ACB = 9OOzAC=BCzD是AB邊上的中點(diǎn)，Rt EFG的直角頂 點(diǎn)E在AB邊上移動(dòng)（1）如圖魚 若點(diǎn)D與點(diǎn)E重合且EG丄AC、DF丄BC,分別交AC. BC于點(diǎn)M、N,易證EM = EN:如圖2,若點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，將AEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，則線段EM與EN的長 度還相等嗎?若相等請(qǐng)給岀證明，不相等請(qǐng)說明理由：（2）將圖1中的Rt EGF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度（00<<450）.如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng) Z MDC=I5°時(shí)，連接MN,若AC=BC = 2,請(qǐng)求岀線段MN的長；(3)圖3z旋轉(zhuǎn)后,若Rt EGF的頂點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)(不與

37、點(diǎn)D、B重合)，當(dāng)AB = 3AE 時(shí)，線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系是:當(dāng)AB = mAE時(shí)，線段EM與EN的數(shù)量關(guān)系是【答案】(1)解：EM = EN;原因如下： Z ACB = 90o AC = BC D是AB邊上的中點(diǎn) DC=DB Z ACD = Z B=45o Z CDB = 90o Z CDF÷Z FDB = 90o Z GDF = 90o/. Z GDC÷Z CDF = 90o/. Z CDM=Z BDN1 CDM和厶BDN中Z MCD = Z B, DC = DB, ZCDM = ZBDN, CDM更 BDN DM = DN 即 EM = ENZ CDP=450

38、CP = DP = AP = I(2)解：作DP丄AC于R則DM= 2DM = DN,Z CDG = I5° Z MDP = 30o. COSZ MDP= ML MND為等腰宜角三角形(3) NE = 2ME; EN = (m-l)ME【解析】【解答】解：NE=2ME,EN = (ml)ME證明：如圖3,過點(diǎn)E作EP丄AB交AC于點(diǎn)P則厶AEP為等腰直角三角形，Z PEB = 90°/. AE = PE / AB=3AE A BE = 2AE . BE = 2PE又 Z MEP + Z PEN = 90oZ PEN + Z NEB = 90o Z MEP = Z NEB又

39、Z MPE = Z B = 45o PME- BNEME PE l：.NE EB 2,即 EN = 2EM由此規(guī)律可知，當(dāng)AB = mAE時(shí)，EN = (m-l)ME【分析】(I)EM = EN;原因如下：根拯等腰直角三角形的性質(zhì)得岀DC=DB ZACD = Z B = 45° Z CDB = 90°根據(jù)同角的余角相等得岀Z CDM =ZBDN ,然后由ASA判斷出 CDM旻 BDN根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DM = DN即EM = EN;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得岀Z CDP = 450 CP = DP = AP = I.根拯角的和差得岀PLZ MDP = 30

40、o,根據(jù)余弦函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，由CoSZMDP=仏得岀DM的 長，又DM = DN,故AMND為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得岀MN 的長：NE = 2MEzEN = (m-l)ME,如圖3,過點(diǎn)E作EP丄AB交AC于點(diǎn)P,則ZkAEP為等腰直角 三角形，Z PEB = 90° ,根據(jù)同角的余角相等得出ZMEP = ZNEB然后判斷出 PME- BNE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得岀U結(jié)論，由此規(guī)律可知，當(dāng)AB = mAE 時(shí)，EN = (m-l)ME 門已知：A、B兩點(diǎn)在直線I的同一側(cè)，線段AO, BM均是直線I的垂線段，且BM在AO 的右邊，A0

41、=2BM,將BM沿直線I向右平移，在平移過程中，始終保持Z ABP=90o不變，BP邊與直線I相交于點(diǎn)P.A(1) 當(dāng)P與O重合時(shí)(如圖2所示)，設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC.求證：四邊形OCBM是正方形;Ab Ob(2) 請(qǐng)利用如圖1所示的情形，求證：PB = Bii(3) 若A0=23 且當(dāng)M0=2PO時(shí)，請(qǐng)直接寫出AB和PB的長.【答案】(1)解:V2BM=A0, 2C0=A0 BM=CO> AOIl BM,.四邊形OCBM是平行四邊形， Z BMO=90%PCBM是矩形，/ Z ABP=90% C 是 AO 的中點(diǎn)， OC=BC,.矩形OCBM是正方形(2)解：連接 AP. OB

42、,A、B、0、P四點(diǎn)共圓， 由圓周角泄理可知：ZAPB=ZAOB,/ AOIl BM,/. Z AOB=Z OBM, Z APB=Z OBM, APB- OBMtAB _ fc PB _ (3)解：當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示,過點(diǎn)B作BD丄AO于點(diǎn)D, 易證 PEO心BED.PO oh莎易證：四邊形DBMO是矩形,/. BD=MO, OD=BM, M0=2P0=BD>OE I.DE2, AO=2BM=2 ,BM= dy 2 OE= 3 , DE= 易證 ADB-厶ABE, . ab2=adae. AD=DO=DM= >56：.AE=AD+DE= 3：.AB二 丿冗，215 由勾股

43、左理可知：BE=P, 易證： PEO PBM,BE OM 2.両一而一 N PB= :當(dāng)點(diǎn)P在0的右側(cè)時(shí)，如圖所示,過點(diǎn)B作BD丄OA于點(diǎn)D, M0=2P0,點(diǎn)P是OM的中點(diǎn)，設(shè) PM=Xf BD=2×, Z AOM=Z ABP=90o,. A、0、P、B四點(diǎn)共圓，.四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形, Z BPM=Z A, ABD-厶 PBM,AD Pb.-.BD BAf又易證四邊形ODBM是矩形，A0=2BM,. AD=BM= ,y6 X：.2x 6,解得：X= ,：.BD=2x=2 3由勾股定理可知：AB=3 y , BM=3【解析】【分析】(1)根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行

44、四邊形得岀四邊形OCBM 是平行四邊形，根拯有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出QOCBM是矩形，根據(jù)直角三 角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=BC,根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得岀 結(jié)論：(2) 連接AP、0B,根據(jù)Z ABP=Z AOP=90o,判斷岀A、B、0、P四點(diǎn)共圓，由圓周角左 理可知：ZAPB=Z AOB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得岀ZAOB=Z OBM,根據(jù)等量代換得AB _ Ob 出Z APB=Z OBM,從而判斷出 APB- OBIvl,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出西瓦(3) 當(dāng)點(diǎn)P在0的左側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作BD丄AO于點(diǎn)D,易證 PEO-厶BED,PO oB根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得岀亦瓦易證：四邊形DBMO是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì) 得岀 BD=MO, O