統(tǒng)編人教A版數(shù)學(xué)高中必修第二冊(cè)第十章《本章綜合與測(cè)試》優(yōu)秀教研導(dǎo)學(xué)案

1、1.隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中是廣泛存在的， 要注意結(jié)合生活實(shí)例，分析何為必 然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，要充分理解概率的意義，并學(xué)會(huì)解釋生活中的 一些常見(jiàn)的概率問(wèn)題，把自己所學(xué)的概率知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中去.(1)對(duì)隨機(jī)事件的理解應(yīng)包括的兩個(gè)方面隨機(jī)事件是指一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，即隨著條件的改變其結(jié)果也會(huì) 不同，因此必須強(qiáng)調(diào)同一事件在相同的條件下進(jìn)行研究；隨機(jī)事件在一次試驗(yàn) 中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生是有規(guī)律的.(2)頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別隨機(jī)事件的頻率，是指事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值.它具有一定的 穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，擺

2、動(dòng)幅度越來(lái)越 小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫作這個(gè)事件的概率. 概率可看作頻率在理論上的期望值， 它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下，可 以用頻率來(lái)估計(jì)這個(gè)事件的概率.(3)要辯證地看待“隨機(jī)事件” “不可能事件” “必然事件”. 一個(gè)隨機(jī)事件 的發(fā)生，既有隨機(jī)性(對(duì)某次試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái) 說(shuō))，這是偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一.(4)對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義應(yīng)注意的幾點(diǎn)求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)；只有當(dāng) 頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫作事件的概率；概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可

3、能性的大小.(5)互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不能同 時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生.因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥 事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況.2 .應(yīng)用互斥事件的概率的加法公式時(shí)， 要注意首先確定諸事件彼此互斥， 然 后分別求出各事件發(fā)生的概率，再求和.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一 是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)=1 P(A)求解.3 .對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清樣本點(diǎn)總數(shù)n與事件中包含的樣本 k點(diǎn)數(shù)m,有時(shí)需用列舉法把樣本點(diǎn)一

4、一列舉出來(lái)，再利用公式P(A)=S求出事件的概率.這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須做到不重復(fù)、不遺漏.4 .利用相互獨(dú)立事件的定義(即P(AB) = P(A)P(B)可以判定兩個(gè)事件是否相 互獨(dú)立，這是用定量方法進(jìn)行分析的定量計(jì)算，可以較為準(zhǔn)確、果斷地判斷兩個(gè) 事件是否相互獨(dú)立.因此我們必須熟練掌握這種方法，但需要注意的是互斥事件 與相互獨(dú)立事件之間有一定的關(guān)系，也就是若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則一定不能互 斥(對(duì)立)；反之,若兩個(gè)事件互斥(對(duì)立)，則不能相互獨(dú)立.5 .本章用到較多的是化歸思想，而化歸思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一， 在數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，化歸的核心是把一個(gè)生

5、疏復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為熟悉的問(wèn)題.一事件間的運(yùn)算事件間的運(yùn)算包含互斥事件的概率加法、對(duì)立事件的概率加法，要時(shí)刻結(jié)合 Venn圖用集合的思想理解.其中不能同時(shí)發(fā)生的是互斥事件，反映在集合上就是 兩事件的交集為空.在互斥的基礎(chǔ)上必有一個(gè)發(fā)生的是對(duì)立事件，互為對(duì)立的兩 個(gè)事件概率之和為1.分類(lèi)討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的關(guān)鍵.其中互斥事件的概率加法公式可以推廣到有限個(gè)事件，即如果事件Ai,A2,，An是兩兩互斥關(guān)系,則 P(AiU A2U - U An)=P(Ai) + P(A2)+ - + P(An)._i-1 火車(chē)站典例1如圖，A地到火車(chē)站共有兩條路徑Li和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A

6、 地到達(dá)火車(chē)站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分鐘)i02020 3030 4040 5050 60選才? Li的人數(shù)6i2i8i2i2選;f¥ L2的人數(shù)04i6i64(1)分別求通過(guò)路徑Li和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車(chē)站，為了盡最大 可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車(chē)站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.解(1)選才¥ Li的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：所用時(shí)間(分鐘)i0 2020 3030 4040 5050 60Li的頻率0.i0.20.30.20.2L2的頻率0

7、0.i0.40.40.i(2)設(shè)Ai, A2分別表示甲選擇Li和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站；81, B2分別表示乙選擇Li和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站.由(1),知 P(Ai)=0.I + 0.2+ 0.3= 0.6,P(A2) = 0.I+0.4= 0.5,因?yàn)镻(Ai)>P(A2),所以甲應(yīng)選擇路徑Li;P(Bi) = 0.i+ 0.2+ 0.3+ 0.2= 0.8,P(B2) = 0.i+0.4+ 0.4= 0.9,因?yàn)镻(B2)>P(Bi),所以乙應(yīng)選擇路徑L2.古典概型古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概率的基礎(chǔ).在高考題中，經(jīng) 常出現(xiàn)此種概型的題目.用古典

8、概型計(jì)算概率時(shí)，一定要驗(yàn)證所構(gòu)造的基本事件 是否是等可能的，同時(shí)要弄清事件 A所包含的等可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)的個(gè) 數(shù).典例2在人流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢(qián)”，只見(jiàn)他手拿一黑 色小布袋，袋中有3個(gè)黃色、3個(gè)白色的乒乓球(各球的體積、質(zhì)地完全相同)，旁 邊立著一塊小黑板寫(xiě)著摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出 3個(gè)球，若摸得同一顏色的3 個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢(qián)；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主i 元錢(qián).(1)求摸出的3個(gè)球都為白球的概率；(2)求摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率；(3)假定一天中有100人參與摸球游戲，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一 個(gè)月(按30天計(jì))能賺多少

9、錢(qián).解 把3個(gè)黃色乒乓球分別標(biāo)記為 A, B, C,3個(gè)白色乒乓球分別標(biāo)記為1,2,3. 從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)球的樣本空間 Q= ABC, AB1, AB2, AB3, AC1, AC2, AC3, BC1, BC2, BC3, A12, A13, A23, B12, B13, B23, C12, C13, C23,123, 共20個(gè)樣本點(diǎn),這20個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的.(1)設(shè)事件E= 摸出的3個(gè)球都為白球,則事件E包含的樣本點(diǎn)有1個(gè)，即1摸出 123,則 P(E)= 0.05.(2)設(shè)事件F = 摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球,則事件F包含的樣本點(diǎn)有 9 個(gè)，P(F)=20=0.4

10、5.(3)設(shè)事件G = 摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾?=摸出的3個(gè)球都為白球或摸出 2的3個(gè)球都為黃球,則事件G包含的樣本點(diǎn)有2個(gè)，故P(G) = 3= 0.1.假定一天中有100人參與摸球游戲，由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒?計(jì)事件“攤主送給摸球者5元錢(qián)”發(fā)生10次，事件“摸球者付給攤主1元錢(qián)”發(fā) 生90次，故可估計(jì)該攤主一天可賺 90 X 1 10X5 = 40(元)，每月可賺1200元.金版點(diǎn)睛(1)解決古典概型的關(guān)鍵問(wèn)題是分析樣本點(diǎn)總數(shù)和某事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù)， 通常用列舉法或樹(shù)狀圖表達(dá).(2)當(dāng)含有“至多” “至少” “不含”等詞語(yǔ)時(shí)，從正面突破比較困難時(shí)，可 以考慮反面，即對(duì)立事件.

11、 I -一事件的相互獨(dú)立性判斷事件是否相互獨(dú)立的方法有：(1)定義法：事件A, B相互獨(dú)立？ P(AB)=P(A) P(B).(2)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.典例3某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下 一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的 概率分別為0.6,0.4,0.5,02已知各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.(1)求該選手被淘汰的概率；(2)求該選手在選拔中至少回答了2個(gè)問(wèn)題后最終被淘汰的概率.解 設(shè)“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”為事件Ai(i=1,2,3,4),則P(Ai) = 0.6, P(A2)

12、= 0.4, P(A3) = 0.5, P(A4)=02(1)解法一：該選手被淘汰的概率為P = P( A i U Ai A 2 U A1A2 A 3 U AiA2A3 A 4) = P( A i) + P(Ai)P( A 2) 十 P(Ai)P(A2)P( A 3) + P(Ai)P(A2) P(A3)P( A 4) = 0.4 + 0.6X0.6 + 0.6X 0.4X 0.5 + 0.6X 0.4X0.5X0.8 = 0.976.解法二：P = i P(AiA2A3A4) = i P(Ai)P(A2) P(A3)P(A4) = i 0.6X 0.4 義 0.5X 0.2= i 0.024

13、= 0.976.(2)解法一：所求概率 P=P(AiA2UAiA2A3UAiA2A3A4) = P(Ai)P(A2) 十 P(Ai)P(A2)P( A 3) + P(Ai)P(A2)P(A3)P( A 4) = 0.6X0.6 + 0.6X0.4X0.5 + 0.6X 0.4X0.5X0.8 = 0.576.解法二：所求概率 P = i P( A i) P(AiA2A3A4) = i (i 0.6) 0.6X 0.4X0.5X0.2 = 0.576.四頻率與概率依據(jù)概率的定義，可以用事件發(fā)生的頻率去估計(jì)概率.nA頻率的計(jì)算公式為fn(A)=1,其中nA是事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，n為重復(fù)試驗(yàn)次 數(shù).典

14、例4下表分別表示從甲、乙兩廠隨機(jī)抽取的某批乒乓球的質(zhì)量檢查情 況.甲廠抽取的乒乓球的質(zhì)量檢查情況抽取球數(shù)n50i00200500i0002000優(yōu)等品數(shù)m4592i94470954i902優(yōu)等品頻率m乙廠抽取的乒乓球的質(zhì)量檢查情況抽取球數(shù)n7013031070015002000優(yōu)等品數(shù)m6011628263913391806優(yōu)等品頻率m(1)分別計(jì)算兩個(gè)表中乒乓球優(yōu)等品的頻率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第三位)；(2)從甲、乙兩廠分別抽取一個(gè)乒乓球，質(zhì)檢結(jié)果為優(yōu)等品的概率分別是多 少？(3)若甲、乙兩廠的乒乓球價(jià)格相同，你打算從哪個(gè)廠家購(gòu)貨？解 (1)表中甲廠優(yōu)等品的頻率依次為 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951表 中乙廠優(yōu)等品的頻率依次為 0.857,0.892,0.910,