泛函分析報(bào)告知識(shí)的總結(jié)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案泛函分析知識(shí)總結(jié)與舉例、應(yīng)用學(xué)習(xí)泛函分析主要學(xué)習(xí)了五大主要內(nèi)容：一、度量空間和賦范線性空間；二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函；三、內(nèi)積空間和希爾伯特空間；四、巴拿赫空間中的基本定理；五、線性算子的譜。本文主要對(duì)前面兩大內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、舉例、應(yīng)用。一、度量空間和賦范線性空間(一)度量空間度量空間在泛函分析中是最基本的概念，它是n維歐氏空間Rn (有限維空間)的推廣，所以學(xué)好它有助于后面知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。1.度量定義：設(shè)X是一個(gè)集合，若對(duì)于X中任意兩個(gè)元素x, y,都有唯一確定的實(shí)數(shù) d(x,y) 與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：1 ° d(x,y) >0 , d(

2、x,y)=0。 x = y (非負(fù)性)2 d(x,y)= d(y,x)(對(duì)稱性)3° 對(duì) Zz ,都有 d(x,y) w d(x,z)+d(z,y) (三點(diǎn)不等式)則稱d(x,y)是x、y之間的度量或距離 (matric 或distance ),稱為(X,d) 度量空間或距離空間 (metric space )。(這個(gè)定義是證明度量空間常用的方法)注意： 定義在X中任意兩個(gè)元素x, y確定的實(shí)數(shù)d(x,y),只要滿足1 °、2°、3°都稱 為度量。這里“度量”這個(gè)名稱已由現(xiàn)實(shí)生活中的意義引申到一般情況，它用來 描述X中兩個(gè)事物接近的程度，而條件 1。、2

3、。、3。被認(rèn)為是作為一個(gè)度量所 必須滿足的最本質(zhì)的性質(zhì)。度量空間中由集合 X和度量函數(shù)d所組成，在同一個(gè)集合 X上若有兩個(gè)不同的度量函數(shù)d1和d2 ,則我們認(rèn)為(X, dQ和(X, d2)是兩個(gè)不同的度量空間。集合X不一定是數(shù)集，也不一定是代數(shù)結(jié)構(gòu)。為直觀起見，今后稱度量空間(X,d)中的元素為“點(diǎn)”，例如若x X ,則稱為“ X中的點(diǎn)”。(4)在稱呼度量空間(X,d)時(shí)可以省略度量函數(shù) d,而稱“度量空間 X” 。1.1 舉例1.11 離散的度量空間：設(shè) X是任意的非空集合，對(duì) X中任意兩點(diǎn)x,y CX,令1,當(dāng) x # y .一、一dp, y V，則稱(X, d)為離故度重仝間。0,當(dāng) x

4、 =y1.12 序列空間S: S表示實(shí)數(shù)列(或復(fù)數(shù)列)的全體， d(x,y) =1- Ti-nil ；21 + ； i " i1.13 有界函數(shù)空間B(A) : A是給定的集合，B(A)表示A上有界實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)全體，對(duì) B(A)中任意兩點(diǎn) x,y ,定義 d(x,y) = sup x(t) _ y(t) te1.14 可測(cè)函數(shù)空間M(X) : M(X)為X上實(shí)值(或復(fù)值)的L可測(cè)函數(shù)全體。f (t) g(t) d(f,g )= -dt，x1 + f (t) -g(t)1.15 Ca,b 空間(重要的度量空間)：Ca,b表示閉區(qū)間a,b上實(shí)值(或復(fù)值)連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)Ca,b中任

5、意兩點(diǎn)x,y ,定義d(x,y) = max x(t) y(t)a乜型21.16 J :無限維空間(重要的度量空間) 例1.15、1.16是考試中常考的度量空間。2 .度量空間中的極限，稠密集，可分空間2.1 x。的6一領(lǐng)域：設(shè)(X, d)為度量空間，d是距離，定義U =(x。，名)=x w XI d(x, x。)名為x。的以名為半徑的開球，亦稱為x。的注一領(lǐng)域。注：通過這個(gè)定義我們可以從點(diǎn)集這一章學(xué)到的知識(shí)來定義距離空間中一個(gè)點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)及聚點(diǎn)，導(dǎo)集，閉包，開集等概念。2.2 度量空間的收斂點(diǎn)列：設(shè)(X,d)是 '個(gè)度里仝同，xn 是(X, d)中點(diǎn)列，如果存在x匚X ,

6、xn 收斂于 x 使 lim xn = x，即 d (x n，x) T。( n T 書,稱點(diǎn) 'n_列xn是(X, d)中的收斂點(diǎn)列，x叫做點(diǎn)列xn的極限，且收斂點(diǎn)列的極限是唯一的。注：度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同之處。2.3 有界集：設(shè) M是度量空間(X, d)中的點(diǎn)集，定義 6(M )=SUpd(x,y)為點(diǎn)集M的直 x ,y M徑。若6(M )< 8,則稱M為(X, d)中的有界集。(類似于Rn,我們可以證明一個(gè)度量空間中收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集)2.4 閉集：A是閉集二A中任意收斂點(diǎn)列的極限都在A中，即若xn A , n=1,2，.xn t x ,則x W

7、A。(要會(huì)證明)2.5 舉例2.5.1 n 維歐氏空間Rn中，點(diǎn)列依距離收斂 d(x-x)T。仁 依分量收斂。2.5.2 Ca,b空間中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)T0已依分量一致收斂。2.5.3 序列空間S中，點(diǎn)列依坐標(biāo)收斂。2.5.4 可測(cè)函數(shù)空間 M(X):函數(shù)列依測(cè)度收斂于 f,即d(fn,f)T0y fnn f o2.6 稠密子集和可分度量空間有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的稠密性，它屬于實(shí)數(shù)集中，現(xiàn)把稠密性推廣到一般的度量空間中。2.6.1 定義：設(shè)X是度量空間，E和M是X的兩個(gè)子集，令 M表示M的閉包，如果 E?M , 則稱集M在集E中稠密，當(dāng)E=X時(shí)，稱M為X的一個(gè)稠密子集，如果X有一個(gè)

8、 可數(shù)的稠密子集，則稱 X為可分空間。注：可分空間與稠密集的關(guān)系：由可分空間定義知，在可分空間X中一定有稠密的可數(shù)集。這時(shí)必有X中的有限個(gè)或可數(shù)個(gè)點(diǎn)在X中稠密。2.6.2 舉例n維歐式空間Rn是可分空間：坐標(biāo)為有理數(shù)的全體是Rn的可數(shù)稠密子集。離散度量空間X可分仁X是可數(shù)集。(因?yàn)閄中無稠密真子集，X中唯一的稠密只有 X本身)10c是不可分空間。數(shù)學(xué)知識(shí)間都有聯(lián)系， 現(xiàn)根據(jù)直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，引進(jìn)了度量空間中映射連續(xù)性的概O3 .連續(xù)映射 3.1 定義：設(shè)X= (X, d) Y= (Y, d )是兩個(gè)度量空間，T是X到丫中的映射x0?X,如果對(duì) V £ >0,§

9、>0，使對(duì) X 中一切滿足 d (x, x0 ) < 8 的 x,有 d (Tx T x ) < z ,則稱T在x0連續(xù)。(度量空間之間的連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)概念的推廣，特別，當(dāng)映射是值域空間Y =R時(shí)，映射就是度量空間上的函數(shù)。)注：對(duì)于連續(xù)可以用定義證明，也可以用鄰域的方法證明。下面用鄰域描述：對(duì)Tx0的e -鄰域U,存在x0的某個(gè)8 鄰域V,使TV二U,其中TV表示V在映射T作用下的像。3.2 定理1:設(shè)T是度量空間(X, d)到度量空間(Y, d )中映射，T 在 x° W X 連續(xù)？當(dāng) xn T x° (n T 8)時(shí)，必有 TxnT T

10、x0(nT 8)。在映射中我們知道像與原像的概念，下面對(duì)原像給出定義。3.3 原像的定義：映射T在X的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱T是X上的連續(xù)映射，稱集合x I xC X,Tx?M?Y為集合M在映射T下的原像，簡(jiǎn)記為T -M 。可見，對(duì)于度量空間中的連續(xù)映射可以用定理來證明，也可以用原像的定義來證明。3.4 定理2:度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射？ Y中任意開集 M的原像TM是X中的開集(除此之外，利用 T - (M的補(bǔ)集)=(T -M )的補(bǔ)集，可將定理中開集改成閉集，定理也成立。)注：像開原像開，像閉原像閉，映射連續(xù)。在數(shù)學(xué)分析中有學(xué)過收斂點(diǎn)列，柯西點(diǎn)列，但研究都在R中?，F(xiàn)在我們可類似的給

11、出度量空間中柯西點(diǎn)列的概念。4 .柯西(Cauchy )點(diǎn)列和完備的度量空間。4.1 柯西點(diǎn)列的 定義：設(shè)X=(X, d)是度量空間，xn是X中的點(diǎn)列，對(duì)V £ >0,三正整數(shù) N=N( e ),使當(dāng) n , m >N時(shí)，必有 d ( xn , xm ) < £ ,則稱 xn是X中的柯西(Cauchy)點(diǎn)列或基本點(diǎn)列?！緯?huì)判斷：柯西點(diǎn)列是有 界點(diǎn)列】我們知道實(shí)數(shù)集的完備性，同時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)列收斂時(shí)，數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是Cauchy歹U,這由實(shí)數(shù)的完備性所致。在度量空間中，這一結(jié)果未必成立。但在度量空間中 的確存在完備的度量空間。4.2 完備的度量空間的定

12、義：如果度量空間（X, d）中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都在（X, d）中收斂,那么稱（X, d）是完備的度量空間.但要注意，在定義中要求X中存在一點(diǎn)，使該柯西點(diǎn)列收斂到這一點(diǎn)。4.3 舉例（記住結(jié)論）4.3.1 有理數(shù)全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備，但n維歐式空間Rn是完備的度量空間。4.3.2 在一般度量空間中，柯西點(diǎn)列不一定收斂， 但是度量空間中的每一個(gè)收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列：C、Ca,b、l -也是完備的度量空間。4.4 定理 完備度量空間X的子空間M是完備空間 u M是X中的閉子空間。Pa, b（表示閉區(qū)間a, b上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體，作為Ca, b的子空間）是不完備的度量空間.5 .度量空間的完

13、備化。5.1 等距映射：設(shè)（X, d） , （ X ,d）是兩個(gè)度量空間，T是從X到X上的映射，即對(duì)Vx,y w X , d （Tx,Ty尸d（x,y）,則稱T是等距映射。5.2 定義：設(shè)（X, d） , （ X ,d ）是兩個(gè)度量空間，如果存在一個(gè)從X到X上的等距映射T,則稱（X, d）和（X ,d ）等距同構(gòu).此時(shí)T稱為X到X1的等距同構(gòu)映射。（像的距離等于原像的距離）注：在泛函分析中往往把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一的。5.3 定理1 （度量空間的完備化定理）：設(shè)X= （X, d）是度量空間，那么一定存在完備度量空間X = （ X ,d）,使X與X的某個(gè)稠密子空間 W等距同構(gòu)

14、，并且 X在等距同構(gòu)下是唯一的，即若（X?, C?）也是一個(gè)完備的度量空間，且 X與炎的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則（X ,d）與（£ , d?）等距同構(gòu)。（不需要掌握證明但是要記住結(jié)論）5.3.1 定理1的改述： 設(shè)*= （X, d）是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間X=（X,d）,使X為X的稠密子空間。6 .壓縮映射原理及其應(yīng)用(重點(diǎn)內(nèi)容，要求掌握并會(huì)證明)學(xué)習(xí)完備度量空間概念，就需要應(yīng)用，而壓縮映像原理是求解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值分析中迭代算法收斂性很好的工具，另外要學(xué)會(huì)如何求不動(dòng)點(diǎn)。6.1 壓縮映射定義：X是度量空間，T是X至ij X的映射，如果存在一個(gè)數(shù)a

15、 , a w(0,1),使對(duì)V x , y X X , d (Tx, Ty)三a d (x, y) 則稱T為壓縮映射。6.2 (壓縮映射定理)設(shè) X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么 T有且僅有一個(gè) 不動(dòng)點(diǎn)(即方程 Tx=x ,有且只有一個(gè)解)。(x是T的不動(dòng)點(diǎn) 仁x是方程Tx=x的解)這個(gè)定理對(duì)代數(shù)方程、微分方程、積分方程、數(shù)值分析的解的存在性和唯一性的證明 中起重要作用。6.3 壓縮映射原理的應(yīng)用：在眾多情況下，求解各種方程的問題可以轉(zhuǎn)化為求其某一映射的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程dy =f (x, y)(1)dx為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程(1)滿足初始條件y(x0)

16、= y0的解與求積分方程xy(x) = y0 + J f (x, y(t)dt(2)x 0等價(jià)。我們做映射xTy(x) = y0f (x, y(t)dtx 0則方程(2)的解就轉(zhuǎn)化為求y ,使之滿足Ty = y。也就是求這樣的y ,它經(jīng)映射作用后仍變?yōu)閥。因此，求解方程(1)就變?yōu)榍笥成銽的不動(dòng)點(diǎn)，這種求解方程變?yōu)榍蠼庥成涞牟粍?dòng)點(diǎn)的做法在數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解映射的不動(dòng)點(diǎn)呢？在R中求方程解的逐次逼近法給了我們啟示。這種迭代原理是解決映射不動(dòng)點(diǎn)問題最基本的方法。在解決上述問題中，看到實(shí)數(shù)完備性的重要作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個(gè)一般原理，即

17、壓縮映射原理，壓縮映射原理就是某一類映射不動(dòng)點(diǎn)存在性和惟一性問題，不動(dòng)點(diǎn)可以通過迭代序列求出。注：（1）從定理的證明過程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任意選取，最終都能收斂到惟一不動(dòng)點(diǎn)。（2）該定理提供了近似計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的誤差估計(jì)公式，即naD（x .，Xn ） ,二（Tx 08）1 - a因?yàn)橥陚涠攘靠臻g的任何子集在原有度量下仍然是完備的，所以定理中的壓縮映射不需要在整個(gè)空間X上有定義，只要在某個(gè)閉集上有定義，且像也在該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依 然成立。在實(shí)際應(yīng)用過程中，有時(shí) T本身未必是壓縮映射，但 T的若干次復(fù)合Tn是壓縮映射, 這時(shí)T仍然有惟一不動(dòng)點(diǎn)，下面是壓縮映射原理的應(yīng)用及相關(guān)證明。例1線性

18、代數(shù)方程Ax =b均可寫成如下形式x=Cx + D （3）其中C 二（Cj九父，D =（di ,d 2,，dn ）T。如果矩陣C滿足條件nZ Cij I <1（i =1,2，n）j =1則式（3）存在惟一解，且此解可由迭代求得。證明：取X = R n ,定義度量為p（ &*!） = max ai -bi1<<二（a1, a2,，a”）T ,= （8 ,b2 , .,，）,構(gòu)造映射T:Xt X為Tx =Cx +D,那么方程（3）的解等價(jià)于映射T的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)于 x = （x1 ,x2，xn ）T , y = （ y1, y2 ,，yn ）T ,由于nP(Tx ,Ty )

19、= max £ (Cj x j1 «j mn d j) (cij y j d j )j =1二 max1nv c. (x y .) ij JJj hcj：(x, y)精彩文檔n記a =max £ cj ,由條件a <1 ,因此T是壓縮映像，于是T有惟一不動(dòng)點(diǎn) 所以方程（3） 1«,j m有惟一解，且此解可由如下迭代序列(k)_ (k 1 )x = Cx - D近似計(jì)算求得。例2考察如下常微分方程的初值問題dy=f (x, y) dxiy(xo) = v 。如果f (x, y)在R2上連續(xù)，且關(guān)于第二元y滿足Lipschitz 條件，即f (x, V

20、i ) _ f ( x, 丫2 ) < K Vi -y21這里K >0是常數(shù)，則萬程(4)在x。 &x。+$上有惟一解 &<一)。K證明：方程(4)的解等價(jià)于如下方程 xy(x)= y。1 f (t, y(t) dt x 0的解。取連續(xù)函數(shù)空間Cx。-d,xo +6，定義其上的映射T : Cx。-、,x。 二-Cx。-、.，x。二為x(Ty )( x) = y。 f (t, y(t) dt ,X。則積分方程(5)的解等價(jià)于T的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)任意兩個(gè)連續(xù)函(4)yi(x),y2(x)WCx。-8,x。+6,由于P(Tyi,Ty 2 ) = maxx 二X。-、)x。

21、Fxf (t, yi(t) - f (t, y2 (t) dtx0f (t, yi(t) f (t, y2(t) dtxE m ax K f yi (t) y 2 (t) dt E S K P( yi, y 2) x e。Tx。力”。令a = K 6 ,則a <i ,故T是壓縮映射，從而T有惟一不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程(5)有唯一解，從而微分方程(4)在x。一a,x。+a】上有惟一解。九及任何例3 設(shè)K(s,t)是定義在a,b Ma,b上的二元連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任何常數(shù)給定的連續(xù)函數(shù) f (t) W C a, b,如下Volterra型積分方程tx(t) = . K (s,t)x(s)ds f

22、(t)(6).a存在唯一解。證明：取連續(xù)函數(shù)空間Ca,b,其上定義映射T : Ca,bTCa，b為t(Tx)(t) = , K (s,t)x(s)ds - f(t).a則方程(6)的解等價(jià)于T的不動(dòng)點(diǎn)。由于 K(s,.t)在a,b Ma,b上連續(xù)，于是 K (s,t)在a,b Ma,b有最大值，記為M ,即M = max K (s,t)：(s,t) W a , b X a , b 對(duì)任何兩個(gè)連續(xù)函數(shù)x1 (t), x2(t),由于t(Tx 1)( t) - (Tx 2 )( t)=九 K K (s,t) xi (s) - x2(s) dsJaM 兒 M (t _ a ) max x 1 ( s

23、 ) - x 2 ( s )a <s b九 M (t - a ) P( xi , x 2)t_ 2_ 2、.一一(T x) t) (T x2 )(t )=九K (s, t)( Tx i )( s) (Tx 2)( s) ds2 2-< M M P(xi,x2)f(s-a)dsJa222M M (t -a)： (x1 , x2 )2般地，對(duì)自然數(shù)n ,歸納可得nn(T xi)(t) (T x2)(t) <nn(t -a )n!P(xi, x2)因此- nnnnP(T xi，T x2) =max (T xt)(T xz)(t)a <<_ n nnM M (b a )：

24、:( xi , x2 )n!注意到lim -n_ J：nn(b a) =0 ?n!因此存在自然數(shù)n0,滿足no%M 0 (b a) 0二 a ： 1no這說明Tn0是壓縮映射，由壓縮映射原理可知，有惟一不動(dòng)點(diǎn)，亦即Volterra型積分方程(6)有惟一解。例4 (隱函數(shù)存在定理)設(shè)函數(shù)f (x, y)在帶斗尤域a < x < b , _oo <y <oo中處處連,一 . . . . .續(xù)，且處處有關(guān)于 y的偏導(dǎo)數(shù)fy (x，y)。如果存在常數(shù) m和M ,滿足0 < m i f y (x, y) < M , m : M則方程f(x, y)=0在區(qū)間a, b上必

25、有惟一的連續(xù)函數(shù)y=(P(x)作為解，即f (x, .:(x)三 0,x a,b證明：在完備空間Ca,b中作映射T ,使對(duì)于任意的函數(shù) 中WCa,b,有1(T ;：)(x) =(x)-f (x, ；(x)M按定理?xiàng)l件，f(x,y)是連續(xù)的，所以(T邛)(x)也是連續(xù)的，即丁中W Ca,b,故T是Ca,b到Ca,b的映射?，F(xiàn)證T是壓縮映射，V,中2 W Ca,b由微分中值定理存在 0 <日<1使44.1.-14(T 中 2)(x) -(T1 )( x) = %(x)f (x,9 2(x) Q(x)十f (x,q(x)MM1'=2(x) 一i(x) fyx, (x) , F(

26、I (x) 一丁 1 (x) (匕(x) 一1 (x) M< 邛2(x) Q(x) (1 -)M又 0 <m < M 所以 0 < <1 令 a =1 m-,則 0<口 <1,且MM(丁92)( x) (T%)(x) *CC2(x)牝(x)按Ca,b中距離的定義，有 P(t%，tQ) <a平2(x) %(x),所以T是壓縮映像，存11在中 WCa,b使 T5=邛，即中(x)三中(x) f(x,5(x),即 一 f(x,5(x)三 0,所以MMf (x, :(x)三 0(a - x - b )可見，壓縮映射原理在處理迭代數(shù)列的收斂、微分方程定解等問

27、題上有著重要的應(yīng)用，其觀點(diǎn)與方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支如常微分方程、數(shù)值計(jì)算，加深了各分支間的相互聯(lián)系，應(yīng)用壓縮映射原理解決問題也十分簡(jiǎn)潔、靈活和方便。(二)賦范線性空間1 .線性空間設(shè)X是非空集合，F(xiàn)是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，稱 X為F上的線性空間，如果滿足以下條 件：對(duì)V兩個(gè)元素x,y W X , X X中惟一個(gè)元素u與之對(duì)應(yīng)，u稱為x與y的和，記為 u = x+y ,且滿足：(1)交換律 x+y=y+x(x,yWX);(2)結(jié)合律 x+(y+z)=(x+y)+z(x,y,zWX)；(3)在X中存在一個(gè)元素 日,稱為零元，使 x+=x(xWX);(4)對(duì)每個(gè)x X ,存在xWX ,使x+(x)=

28、8, x稱為x的負(fù)元。對(duì)任意數(shù)口WF及x W X ,存在X中惟一元素v與之對(duì)應(yīng)，記為v =o(x ,稱為口與x 的數(shù)乘，且滿足：(1)結(jié)合律 a(Px)=(oP)x (ct,P)WF,xWX :(2) 1 x = x ；(3)數(shù)乘對(duì)加法分配律(ot + P)x =ax + Px ;(4)加法對(duì)數(shù)乘分配律 a( x + y) =o(x + By。如果F =R，稱X為實(shí)線性空間；如果 F =C (復(fù)數(shù)域)，稱X為復(fù)線性空間。 對(duì)于線性空間：X是線性空間(滿足加法和數(shù)乘運(yùn)算) ，丫是X的非空子集，任意x,yWY及任意“？ R ,都有x+y W Y及ax W Y ,那么丫按X中加法和數(shù)乘運(yùn)算也成為線性

29、空間，稱為 X的子 空間，X和0是平凡子空間。若 X#Y,則稱 Y是X的真子空間。2 .賦范線性空間和巴拿赫(Banach)空間(重點(diǎn)內(nèi)容)2.1 定義：設(shè)X為實(shí)(或復(fù))的線性空間，如果對(duì)每一個(gè)向量xW X ,有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，記為I x II與之對(duì)應(yīng)，并且滿足：(1) I x I > 0 且 I x | =0 U x=0(2) I a x I = a I x I其中a為任意實(shí)(復(fù))數(shù)(3) I x+y I < I x I + I y 1| x, y w X則稱I x II為向量x的整數(shù)，稱X按范數(shù)I x II成為賦范線性空間擴(kuò)展：I x I是x的連續(xù)函數(shù)。(要會(huì)證明)設(shè) xn 是

30、X中的點(diǎn)列，如果 mx W X ,使| xn _x I -0 (n8)則稱 xn 依范數(shù)收斂于 x ,記為xn t x (n>oo)或lim xn = x nn_ ：二如果令d (x, y) = x-y ( x , y w X ) , x0依范數(shù)U斂于x二 x0按距離d (x, y)收斂于x ,稱d (x, y)為是由范數(shù)I x 1)導(dǎo)出的距離。注意：線性賤范空間一定是度量空間，反過來不一定成立。2.2完備的線性賦范空間稱為巴拿赫(Banach)空間2.2.1 巴拿赫空間的舉例n維歐式空間 R11Ca , b l* L p a , b ( p >1) lpb2.2.2 其他：霍爾德

31、 Horder(不等式)：f (t) -g(t) dt <閔可夫斯基不等式：f+g - f g |(記住結(jié)論并會(huì)應(yīng)用)二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函1 .算子定義：賦范線性空間X到另一個(gè)賦范線性空間 Y的映射，被稱為算子，如果Y是數(shù)域， 則被稱為泛函。2 .線性算子和線性泛函2.1 定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)(或復(fù))的線性空間，D (?)是X的線性子空間，T為D到Y(jié)中的映射，如果對(duì)任何 x, y C D 及數(shù)a ,都有T(x+y) =Tx+Ty(1)T (ax) =a Tx(2)則稱T為D到Y(jié)中的線性算子，其中D稱為T的定義域，記為D (T), TD稱為T的值域記為R (T),當(dāng)T取值于

32、實(shí)(或復(fù))數(shù)域時(shí)，稱 T為實(shí)(或復(fù))線性泛 函。2.2 幾種常見的線性算子和線性泛函的例子： 相似算子Tx=ax 當(dāng)a =1時(shí)為恒等算子；當(dāng)a =0時(shí)為零算子；P0 , 1是0 , 1上的多項(xiàng)式全體，定義微分算子：(Tx) ( t ) = _d-x(t),dt若 toC 0 , 1,對(duì) Vx?P0 , 1,定義 f (x) =x' to)則 f 是 P0, 1上的線性泛 函。積分算子：xCCa, b Tx (t)=/：x(i)dE由積分線性性質(zhì)知 T為線性算子，若令f (x) =7 x( x) d7則f是Ca , b中的線性泛函乘法算子：xC Ca , b Tx (t ) =tx (t)R11中的線性變換是線性算子3 .有界線性算子3.1 定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)線性賦范空間，T是X