韋達(dá)定理含答案

1、第三講 充滿活力韋達(dá)定理 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn) 韋達(dá)定理簡(jiǎn)單形式中包含了豐富數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在： 運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)值； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式值； 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根判別式，討論根符號(hào)特征； 利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等 韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題基本思路韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類問(wèn)題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例1】 已知、是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式值為 思路點(diǎn)撥 所

2、求代數(shù)式為、非對(duì)稱式，通過(guò)根定義、一元二次方程變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，那么值為( ) A B或2 C D或2思路點(diǎn)撥 可將兩個(gè)等式相減，得到、關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達(dá)定理代數(shù)式值，一般是關(guān)于、對(duì)稱式，這類問(wèn)題可通過(guò)變形用+、表示求解，而非對(duì)稱式求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱式【例3】 已知關(guān)于方程： (1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根 (2)若這個(gè)方程兩個(gè)實(shí)根、滿足，求m值及相應(yīng)、思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，先判定、符號(hào)特征，并從分類討論入手【例4】

3、 設(shè)、是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)， 有最小值?并求出這個(gè)最小值 思路點(diǎn)撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧郑瑧?yīng)注意本例是在一定約束條件下(0)進(jìn)行注：應(yīng)用韋達(dá)定理前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題等價(jià)性【例5】 已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD長(zhǎng)是關(guān)于方程兩個(gè)根(1)當(dāng)m2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說(shuō)明理由(2)若M、N分別是AD、BC中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ1，且AB<CD，求AB、CD長(zhǎng)思路點(diǎn)撥 對(duì)于(

4、2)，易建立含AC、BD及m關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB另一隱含關(guān)系式注：在處理以線段長(zhǎng)為根一元二次方程問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過(guò)根判別式檢驗(yàn)，又要考慮幾何量非負(fù)性 學(xué)歷訓(xùn)練A組1(1)已知和為一元二次方程兩個(gè)實(shí)根，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是 (2)已知關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)取值范圍是 2已知、是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式值為 3CD是RtABC斜邊上高線，AD、BD是方程兩根，則ABC面積是 4設(shè)、是關(guān)于方程兩根，+1、+1是關(guān)于方程兩根，則、值分別等于( ) A1，-3 B1，3 C

5、-1，-3 D-1，35在RtABC中，C90°，a、b、c分別是A、B、C對(duì)邊，a、b是關(guān)于方程兩根，那么AB邊上中線長(zhǎng)是( ) A B C5 D26方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則值是( ) A1 B-l C D 7若關(guān)于一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：，判斷是否正確? 8已知關(guān)于方程(1) 當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根； (2)若此方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足：，求值B組9已知方程兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為 10已知、是方程兩個(gè)根，則值為 11ABC一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰為方程兩根，則m取值范圍是 12兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程兩個(gè)根，則值是( )A9413 B C D13設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根一元二次方程為( ) A B C D14如果方程三根可以作為一個(gè)三角形三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m取值范圍是( ) A0m1 Bm C Dm115如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為10，且AB、BC(AB>BC)長(zhǎng)是關(guān)于方程兩個(gè)根(1)求rn值；（2）若E是AB上一點(diǎn)，CFDE于F，求BE為何值時(shí)，CEF面積是CED面積，請(qǐng)說(shuō)明理由 16設(shè)m是不小于實(shí)數(shù)，使得關(guān)于方程工有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根、(1) 若，求m值(2)求最大值 17如圖，已知在ABC中，ACB=90°，過(guò)C作CDAB于D，且ADm，