形象思維與初中數(shù)學教學

1、形象思維與初中數(shù)學教學董林偉發(fā)表在中學數(shù)學月刊08年第11期數(shù)學思維在數(shù)學學習中具有重要作用，嚴格地說，沒有數(shù)學思維，就沒有真正的數(shù)學學習。從本質(zhì)上說，數(shù)學學習是學生獲取知識、形成技能和能力的一種思維活動過程，這個過程是直觀思維、具體形象思維和邏輯思維三個方面的結(jié)合。形象思維是借助于事物的形象（表象），并按照描述邏輯的規(guī)律而進行的一種思維，這種思維的形式為表象、聯(lián)想和想象。表象是外界事物在頭腦中的感性映象，形象思維的特征是表象作為思維的外殼，形象伴隨著思維，使思維鮮明生動，豐富具體，形象其表，思維其里，一表一里，相得益彰。形象思維不同于直觀的感性認識，在形象思維過程中，作為思維材料的形象已不再

2、是原始形象，而是經(jīng)過加工改造了的形象，它高于感性認識，又不同于抽象思維。形象思維具有以下幾個鮮明的特點：（1）形象性：形象材料的最主要特征是形象性，也即具體性、直觀性，這與抽象思維所使用的概念、理論、數(shù)字是截然不同的。例如骨牌游戲。（2）概括性：這時的思維材料并不是原始的感性材料，而是經(jīng)過一定程度加工了的東西，這種認識不是停留在個別事物的表面形象上，而必須運用概括的方法來把握同類事物的共同特征。抽象思維用概念進行概括，而形象思維則用典型形象或概括性形象來完成這一使命。（3）創(chuàng)造性：創(chuàng)造性思維使用的思維材料和思維產(chǎn)品絕大部分都是加工改造過或重新創(chuàng)造出來的形象。數(shù)學中的類比和聯(lián)想是常用的形象思維方

3、法。類比可以引導發(fā)現(xiàn)，這也表現(xiàn)出形象思維的創(chuàng)造性。例如“6人可以找到三個人互相認識或互相不認識”。（4）整體性：人在理性認識過程中，常常要從整體上把握事物的本質(zhì)，而形象思維正是如此。數(shù)學中許多問題，往往都是由學生自己畫出圖形，從整體上把握問題的條件和結(jié)論，與邏輯思維結(jié)合，使問題得以解決。如哥尼斯堡七橋問題。（5）運動性：形象思維作為一種理性認識，它的思維材料不是靜止的，孤立的，不變的。例如，為了描述曲線上一點的切線將思維材料（切線）納入到割線運動中去。義務(wù)教育階段，是學生的思維由具體形象思維為主向抽象思維為主的發(fā)展時期，即使到了初中階段，學生的抽象思維已經(jīng)獲得了較大的發(fā)展，但學生一般還不能完全

4、依靠抽象的數(shù)學概念進行思考，往往還需要形象思維的支持，他們習慣于把新的數(shù)學概念、具體形象和自己的經(jīng)驗聯(lián)系起來，從“數(shù)學現(xiàn)實”出發(fā)，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段收集材料，喜歡用圖形、圖表、模型等具體手段進行學習。因此在初中數(shù)學教學中，應充分關(guān)注并發(fā)揮形象思維在教學中的運用，使學生的思維方式與思維能力得到更好的改善與發(fā)展。1創(chuàng)設(shè)問題情境，直觀生動地建立數(shù)學概念數(shù)學抽象必須以具體的素材為基礎(chǔ)，任何抽象的數(shù)學概念與原理，都有具體、生動的現(xiàn)實原型，即形象材料。例如我們通過數(shù)東西來學習計算，如果沒有數(shù)過東西，數(shù)字的含義及數(shù)字間的關(guān)系就不能被內(nèi)化，只有擁有了大量數(shù)東西的經(jīng)驗后，對數(shù)字的理解才能達到更抽象。

5、因此，在進行更抽象的符號運算之前，必須有大量豐富的模擬數(shù)學情境的經(jīng)驗。初中數(shù)學教學，在抽象的數(shù)學概念或原理的建立過程中，要注意問題情境的創(chuàng)設(shè)，從實例引入，引導學生通過具體直觀的形象材料，激發(fā)興趣，引發(fā)思考，形成抽象。例如關(guān)于有理數(shù)的運算法則的形成，應注意從實際問題情境中抽象出運算的過程，關(guān)注對運算意義的理解。建立實際操作與數(shù)學運算的內(nèi)在聯(lián)系，在學生的實際操作中，產(chǎn)生直覺經(jīng)驗，找到數(shù)的運算的現(xiàn)實背景，促進學生理解運算的含義與性質(zhì)，并自覺地運用于解決問題的過程中：“有理數(shù)的加法與減法”：可以通過創(chuàng)設(shè)“觀察最高氣溫和最低氣溫在溫度計上的位置求日溫差”的情境，既貼近學生生活，又直觀形象地揭示了有理數(shù)減

6、法運算法則的合理性，有利于學生領(lǐng)會有理數(shù)減法運算的實質(zhì)，從而實現(xiàn)減法運算向加法運算的轉(zhuǎn)化。“有理數(shù)的乘法與除法”：可以創(chuàng)設(shè)“水位升降”的實際問題情境，引導學生借助生活經(jīng)驗和已有知識，解答有關(guān)“水位變化”的問題，把實際問題“數(shù)學化”，探索有理數(shù)乘法法則，感受“規(guī)定”的合理性，最后明晰結(jié)論。除了真實的生活情境，教學時還可以結(jié)合教學內(nèi)容，設(shè)計一些模擬情境：例如，關(guān)于函數(shù)概念的學習，在學生處于初中函數(shù)學習的初期，可以借助“函數(shù)發(fā)生器”來幫助學生建立函數(shù)的概念：輸入一個x，輸出一個惟一的y。利用“函數(shù)發(fā)生器”，既可以幫助學生直觀地了解函數(shù)概念的本質(zhì)，又可以避免抽象語言帶來的理解上的困難。2、借助圖形直觀

7、，提供解決問題的方法與途徑圖形以其鮮明的直觀和簡捷的表現(xiàn)形式為我們提供了解釋和思考現(xiàn)實世界的方式，運用幾何模型和空間想象，不僅為解決數(shù)學內(nèi)外的問題提供了有效的思維方式和工具，同時也往往成為創(chuàng)造的源泉。其實，學生在很多方面感受圖形直觀的作用。例如，當他們研究變量之間的關(guān)系時，往往需要作出圖象，利用直觀“看見”變化的趨勢；當他們面對一堆數(shù)據(jù)時，也往往希望作出圖來直觀描述這些數(shù)據(jù)；當他們學習一些重要的概念（如實數(shù)、比例）時，也希望通過概念的幾何模型（數(shù)軸、相似）來加深理解；當他們運用所學知識解決問題或創(chuàng)造時，圖形往往提供了思路和靈感。例如 “某屆世界杯決賽共有32支隊伍參加，他們被分成8個小組，每個

8、小組的4支球隊采用單循環(huán)的形式（即每兩支球隊要比賽一場）決出前兩名進入復賽。這屆世界杯的小組賽一共進行多少場比賽？”解決這個問題的關(guān)鍵要計算出每個小組需要比賽的場次。為了得到這個結(jié)果，學生可以利用圖來表示4支球隊的對決情況：用4個點表示4支球隊，任意2點的連線表示這兩隊的一場比賽。從這張圖中不難看出，比賽的場次等于4點構(gòu)成的四邊形的邊數(shù)和對角線數(shù)的和。利用這種方法，學生還可以求解更大數(shù)目的情況。在這個問題中，圖形提供了一個有條理的列舉方式。在用方程解決問題的教學中，新課程強調(diào)不以題型分類，如行程問題、工程問題等，而強調(diào)對實際問題的數(shù)量關(guān)系的分析，突出解決問題的策略，特別注意借助圖表、線圖整體把

9、握和分析題意，尋找相等關(guān)系，并注意檢驗和解釋方程解的合理性教學中要為學生提供足夠的探索和交流的空間，鼓勵學生多采用“嘗試、猜想、驗證”方法去解決問題3、利用數(shù)學模型，深化對數(shù)學的理解與運用模型是將數(shù)學概念更直觀地呈現(xiàn)給學生的方法。操作、圖形、表格、類比、比喻以及故事都可以用作說明數(shù)學主題的某些重要的模型。在教學中，模型不僅能夠起到說明的作用，而且具有更深遠的影響將數(shù)學概念融入學生真實的生活。對于一個概念，任何單獨的模型或表征對于發(fā)展學生的數(shù)學能力是不夠的。即使學生理解了一個概念并能夠用單一的方法正確地解決問題，如果沒有使用多種模型，他們在與他人交流自己所知道的東西時會感到十分困難?！叭魏我环鶊D

10、畫都可以用千萬種語言來表達”，只要有可能，要鼓勵多種模型的使用。例如，函數(shù)除了用語言描述外，還可以用多重表示：數(shù)值、解析式和圖象，學生可以用函數(shù)的多重表示的相互轉(zhuǎn)換幫助對函數(shù)的理解。其中函數(shù)的圖象對于理解函數(shù)的概念有著十分重要的意義：作函數(shù)的圖象是將公式或數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何形式的過程，因此，作圖是“看見”相應的公式和函數(shù)觀察函數(shù)變化的途徑之一，當要說明一個函數(shù)的整體情況及其特征時，函數(shù)的圖象以其直觀性有著別的工具不能替代的作用，雖然圖象表示不象解析式那樣簡潔或便于運算，但是它可以使人們對所滿足的關(guān)系有一個全面形象的了解。我們應該鼓勵學生用各種適當?shù)哪Ｐ停ò▓D形、表格、公式、口頭描述和繪圖）來交流

11、他們的思想，其他模型如流程圖、幾何實體、比喻和類比在課堂上也是常用的，使用這些模型并不會影響數(shù)學的中心地位，其作用是使數(shù)學概念的基本意義更加突出和深化。4、設(shè)計數(shù)學活動，引導學生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造數(shù)學活動中，可以使學生在直觀、形象的活動過程中進行數(shù)學探索活動，驗證、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論與方法。例如“三角形的三個內(nèi)角和等于1800”，可以讓學生經(jīng)過以下操作實驗獲得初步經(jīng)驗：（1）自己畫一個三角形，用量角器量出它的三個內(nèi)角。求其和；（2）將一個三角形的三個角剪下來，拼成一個半平面；（3）也可以設(shè)計以下的實驗幫助學生進行思考和理解。用鉛筆在紙上所畫的一個ABC上做實驗：第1次將筆尖指向A點（鉛筆與AC邊平行）；第2次

12、旋轉(zhuǎn)A后，筆尖指向A點；第3次旋轉(zhuǎn)B后，筆尖指向C點，但鉛筆與BC邊平行；第4次旋轉(zhuǎn)C后，筆尖指向A點。經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，筆尖正好掉轉(zhuǎn)一個方向，這說明A+B+C=1800。BCA借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情境，引導學生自主探究數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)或檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設(shè)）。例如，在研究圓與圓的位置關(guān)系時，讓學生上機實驗，通過雙擊“動畫”按鈕讓O1運動，改變兩圓的位置，以便研究它們的位置關(guān)系在整個研究過程中學生可以隨意地拖動O1，研究每一種位置關(guān)系時公共點的個數(shù)以及R+r、R-r與O1O2的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并獲得數(shù)學結(jié)論。列寧說過：“甚至數(shù)學也需要幻想，甚至沒有它就沒有微積分