高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見(jiàn)不等式及其應(yīng)用

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目：高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見(jiàn)不等式及其應(yīng)用學(xué) 生： 學(xué)號(hào)： 學(xué) 院： 專(zhuān)業(yè)： 入學(xué)時(shí)間： 年 月 日指導(dǎo)教師： 職稱(chēng)： 完成日期： 年 0 月 日高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見(jiàn)不等式及其應(yīng)用摘要：在高等數(shù)學(xué)中，不等式的證實(shí)和應(yīng)用是我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)常見(jiàn)難題之一。本文將的介紹這些不等式，并討論它們的證明、變形及應(yīng)用。關(guān)鍵詞：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；Hlder不等式；Minkowski不等式A few common inequality in the application of higher mathematicsAbstract: In higher mathematic

2、s, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge. This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality; Cauchy inequality; Holder inequality; Minkowski in

3、equality目 錄0 引言（緒論）.41.1 平均值不等式.41.2 平均值不等式應(yīng)用.51.3 平均值不等式的推廣.52 柯西不等式.62.1 柯西不等式定理及證明.63 施瓦茨等式.83.1施瓦茨不等式定理.83.2 施瓦茨不等式應(yīng)用.94 Hlder不等式.104.1 Hlder不等式定理形式及證明.104.2 Hlder不等式的應(yīng)用.115 Minkowski不等式.125.1 Minkowski不等式定理及證明.126 結(jié)束語(yǔ).13參考文獻(xiàn).13致謝.140 引 言不等式是高等數(shù)學(xué)知識(shí)研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同時(shí)，不等式本身非常抽象，邏輯性很高，證明方法多種多樣，

4、應(yīng)用變化萬(wàn)千。本文將主要介紹柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定義，定理，及應(yīng)用。1.1 平均值不等式 1 基本概念定理1 對(duì)任意個(gè)實(shí)數(shù)恒有 （1）（即幾何平均值算術(shù)平均值）,其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。證 i 首先有 （2）（相等當(dāng)且僅當(dāng)） 類(lèi)似的，任意的,重復(fù)上面方法k次（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）。 ii記.假設(shè)不等式對(duì)也成立，則故 ,，因此不等式對(duì)任意成立，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。1.2 均值不等式的應(yīng)用下面通過(guò)例題說(shuō)明均值不等式的應(yīng)用例1 設(shè)正值函數(shù)在上連續(xù)，試證：.證：由已知條件得在上可積。將閉區(qū)間分成等分，利用積分定義得，得 .再由定理1，得，故 .1.3 均值不等式的推廣定義1 設(shè) ，記

5、，稱(chēng)為的次冪平均.它與算術(shù)平均的關(guān)系為，定義 2 （加權(quán)平均）, ,記，.和分別稱(chēng)為的（r次冪）算數(shù)平均。定理2 設(shè)不全相等，則有，即： .亦即：只有全相等時(shí)“<”才成為“=”.2 柯西不等式2.1 柯西不等式定理及證明定理3 設(shè)a,b為任意數(shù)則， （3）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)成立。（3）式稱(chēng)為柯西不等式。 證法（判別式法）.關(guān)于的二次三項(xiàng)式保持非負(fù)，故判別式. 證法（配方法）因故（1）式獲證.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，上式可以等于0。證法（利用二次型）即關(guān)于的二次型非負(fù)定，因此此即式（1）. 注 用方法，可以將結(jié)果進(jìn)行推廣.因此式右邊為的二次的型，此式表明該二次的型非負(fù)定，因此系數(shù)行列式 （4）等

6、號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)性相關(guān)【即：存在不全為零的常數(shù)使得 】成立.3 施瓦茨不等式柯西不等式的積分形式被稱(chēng)為施瓦茲不等式，它可以通過(guò)積分的定義，得到柯西不等式直接推動(dòng)，因此柯西不等式的證明可以模擬類(lèi)似的證法。3.1 施瓦茨不等式 定理4 若、在上可積，則 （5）若、在連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時(shí)成立，等號(hào)相等(不同時(shí)為零).證法I 將等分，令應(yīng)用柯西不等式，令取極限，即得式（1） 證法II這就證明了式（5）.因此，如果、連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)不同時(shí)為零，使得時(shí)成立. 類(lèi)似可以推廣到一般情況.若函數(shù) 在上可積，則如果在連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng) 線(xiàn)性相關(guān)，等式時(shí)成立的。（即存在不全為零的常數(shù)使得時(shí)成立。）3.2施瓦

7、茨不等式的應(yīng)用應(yīng)用施瓦茨不等式，可證明一些不等式，但使用時(shí)應(yīng)注意一些技巧，下面介紹一些例題，說(shuō)明施瓦茨不等式的應(yīng)用。例1 已知在連續(xù)，任意實(shí)數(shù)，證： （6）證 (1)式左端第一項(xiàng)應(yīng)用施瓦茨不等式 （7）同理 （8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有連續(xù)階，并且求證：， （9）這里，.分析 i先設(shè)法證明 ，我們只要證明的結(jié)論是： 假若在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則必有 . (10)為把與聯(lián)系起來(lái)，用公式.應(yīng)用施瓦茨公式. (11)兩邊同時(shí)積分.兩邊同時(shí)開(kāi)方，變得（10）式。ii回到一般情況，令，重復(fù)利用上述證明方法，即可證（9）式。4 Hlder不等式4.1 Hlder不等式基本形式及

8、證明定理5 設(shè)是2n個(gè)正實(shí)數(shù)，則：.證： 令 那么（利用Jensen不等式）即,得證。Holder不等式還有另一種表示形式，令則：4.2 Hlder不等式的應(yīng)用 例3 設(shè)求函數(shù)的最小值。解：取由Holder不等式有5 Minkowski不等式5.1 Minkowski不等式基本形式及證明定理6 設(shè)均為實(shí)數(shù)，則特別地，當(dāng)，證： 由Holder不等式可知：由上述不等式可得：即：上述不等式稱(chēng)為明可夫斯基不等式當(dāng)k=2時(shí)，它的幾何意義是兩個(gè)向量和的模小于每個(gè)向量模的和6 結(jié)束語(yǔ)以上介紹了幾類(lèi)常見(jiàn)的不等式。由上述實(shí)例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用非常廣泛，還有均值不等式的定理及推

9、廣，應(yīng)用到許多高等數(shù)學(xué)證明題中，可以做到深入淺出，使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)單。也突顯了不等式證明方法靈活多樣。但在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，對(duì)待不同的問(wèn)題，思維要靈活，思路要清晰，找出問(wèn)題的關(guān)鍵所在，把握問(wèn)題本質(zhì)，快速而準(zhǔn)確地應(yīng)用這幾個(gè)常見(jiàn)的不等式取解決高等數(shù)學(xué)中的證明問(wèn)題。參考文獻(xiàn)：1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)M.北京：高等教育出版社.1981.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版上冊(cè))M.北京：高等教育出版社.2001:17,44,88,120-121,142-143,215-216.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版下冊(cè))M.北京：高等教育出版社.2001:52-57.4豐剛.

10、幾個(gè)積分不等式及其應(yīng)用J.牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào).2010(7):88.5王蓉華,徐曉嶺,葉中行,白云芳.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M北京：北京大學(xué)出版社.2010:4-5.6張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)(第三版)M.北京：高等教育出版社.1983.7中國(guó)不等式研究小組.對(duì)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的專(zhuān)門(mén)研究J.不等式研究通訊.2003(第3期).8薛貴庚.高等數(shù)學(xué)中證明不等式的思想方法J.科學(xué)與技術(shù).2007(第4期).9張海山.高等數(shù)學(xué)知識(shí)在不等式證明中的應(yīng)用J.甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào).2000(4):68-71.10柴云.高等數(shù)學(xué)中微積分證明不等式的探討J.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè).2009(第20期)：244247.11 Inequalities:A Journey into Linear Analysis（Garling,D.J.H.） 著.世界圖書(shū)出版公司12劉小瓊，劉新樂(lè).Jensen不等式在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用J.科教