高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理

1、重 心 定義：重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)， 可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過(guò)程又是塞瓦定理的特例。 已知：ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長(zhǎng)線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。 證明：根據(jù)燕尾定理，SAOB=SAOC，又SAOB=SBOC，SAOC=SBOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。 3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。 5、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐

2、標(biāo)為()/3,()/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：()/3 縱坐標(biāo)：()/3 豎坐標(biāo)：（）/3 外 心 定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。 外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的外心。 外心性質(zhì)：三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn),且這點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等。 設(shè),分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的數(shù)量積 =，=，=；c=+ 重心坐標(biāo)：( (）/2c，()/2c，()/2c ) 垂 心 定義：三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。 性質(zhì)： 銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部 直角三角形垂心在三角形直角頂點(diǎn) 鈍角三角形垂心在三角形外部設(shè),分別是三角形

3、三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的數(shù)量積。 =，=，=；c=+垂心坐標(biāo)：( /c，/c，/c ) 九點(diǎn)圓 三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓，這個(gè)圓為九點(diǎn)圓 或歐拉圓 或 費(fèi)爾巴哈圓. ） 九點(diǎn)圓性質(zhì)： 1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; 即：=2：1 2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); 3.三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切設(shè),分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的數(shù)量積=，=，=；c=+垂心坐標(biāo)：( ()/4c，()/4c，()/4c )歐拉線 定義：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心

4、，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。 歐拉線定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。歐拉線的性質(zhì)： 1、在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線。 2、歐拉線上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。歐拉線的證法1如圖 作ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)D。連結(jié)AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM，設(shè)AM交OH于點(diǎn)G BD是直徑 BAD、BCD是直角 ADAB，DCBC CHAB，AHBC DA/CH，DC/AH 四邊形ADCH是平行四邊形 AH=DC M是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn) OM= DC OM=

5、AH OM/AH OMG HAG = G是ABC的重心 G與G重合 O、G、H三點(diǎn)在同一條直線上 歐拉線的證法2 如圖 設(shè)H,G,O,分別為ABC的垂心、重心、外心。連接AG并延長(zhǎng)交BC于D, 則可知D為BC中點(diǎn)。 連接OD O為外心ODBC連接AH并延長(zhǎng)交BC于EH為垂心 AEBCOD/AE，有ODA=EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。 連接CG并延長(zhǎng)交BA于F則可知F為AB中點(diǎn)同理，OF/CMOFC=MCF 連接FDFD/AC,DF:AC=1:2DFC=FCA，F(xiàn)DA=CAD又OFC=MCF，ODA=EAD相減可得 OFD=HCA,ODF=EACOFDHCAOD:HA=DF:AC

6、=1:2又GA:GD=2:1OD:HA=GA:GD=2:1 又ODA=EADOGDHGAOGD=AGH又連接AG并延長(zhǎng)AGH+DGH=180°OGD+DGH=180°即O、G、H三點(diǎn)共線歐拉線的證法3 設(shè)H,G,O,分別為ABC的垂心、重心、外心. 則OH=OA+OB+OC OG=（OA+OB+OC）/3， 3 ×OG=OH O、G、H三點(diǎn)共線 (注：OH, OA, OB , OC ,OG 均為向量）費(fèi)馬點(diǎn) 定義：在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的判定 （1）對(duì)于任意三角形ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+

7、EC有最小值,則E為費(fèi)馬點(diǎn)。 （2）如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)： （1）平面內(nèi)一點(diǎn)P到ABC三頂點(diǎn)的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最小。 （2）.特殊三角形中，三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn). (3).特殊三角形中，若三角形有一內(nèi)角大于或等于12

8、0度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn) (4)特殊三角形中，當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合證明(1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為120度 在和中 BC=,BA=,=B+=, 和是全等三角形 PCB= 同理可得CBP= 由+=，得PCB+CBP=, CPB= 同理,APB=，APC= (2) PA+PB+PC= 將BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)與重合，連結(jié)PD，則PDB為等邊三角形 BPD= 又BPA= 因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上 又CPB=，PDB=，= A、P、D、四點(diǎn)在同一直線上故PA+PB+PC=(3) PA+PB+PC最短 在ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連結(jié)AM、BM、CM，將B

9、MC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)與重合，連結(jié)AM、GM、(同上)，則<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離最短。 梅涅勞斯定理 內(nèi)容：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么××=1。 或 設(shè)X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是××=1證明一：如圖 過(guò)點(diǎn)A作AGBC交DF的延長(zhǎng)線于G,則= ,= , =。 三式相乘得：××=××=1證明二： 過(guò)點(diǎn)C作CPDF交AB于P，則=，= ××

10、=××=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足××=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。證明三：過(guò)ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'， AD：DB=AA'：BB'， BE：EC=BB'：CC'， CF：FA=CC'：AA' ××=1在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是=1

11、。第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則××=1即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則××=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合)塞瓦定理內(nèi)容:在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法:（）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC被直線BOE所截 (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由ABD被直線COF所截 (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 ÷:即得：

12、(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面積關(guān)系證明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD =(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC ××得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/

13、(BF*ctgA)=1，三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 AF=BF AF/FB=1 AF=FB 三角形三條中線交于一點(diǎn) 可用定比分點(diǎn)來(lái)定義塞瓦定理： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是=1。塞瓦定理推論: 1.設(shè)E是ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F， 則(BD/BC)*(CE/AE

14、)*(GA/DG)=1 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理） (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)） 又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是 (sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直

15、線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn) 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定 理，(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1， 三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。燕尾定理 燕尾定理，因此圖類似燕尾而得名，是一個(gè)關(guān)于三角形的定理（如圖ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上的點(diǎn)，AD、B

16、E、CF 交于O點(diǎn)） SABC中，SAOB：SAOC=SBDO：SCDO=BD：CD 同理，SAOC：SBOC=SAFO：SBFO=AF：BF SBOC：SBOA=SCEO：SAEO=EC：EA證法1 下面的是第一種方法：相似三角形法 已知：ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。 求證：AE=CE 證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作MNBC，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N； 過(guò)點(diǎn)O作PQAB，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q。 MNBC AMOABD，ANOACD MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD MO：BD=NO：CD AD是ABC的一條中線 BD=CD MO=NO P

17、QAB CPOCBF，CQOCAF PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF PO：BF=QO：AF CF是ABC的一條中線 AF=BF PO=QO MO=NO，MOP=NOQ，PO=QO MOPNOQ(SAS) MPO=NQO MPAC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行） BMRBAE（R為MP與BO的交點(diǎn)），BPRBCE MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE MR：AE=PR：CE MNBC，PQAB 四邊形BMOP是平行四邊形 MR=PR（平行四邊形的對(duì)角線互相平分） AE=CE 命題得證。 證法2 下面的是第二種方法：面積法 已知：ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延

18、長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。 求證：AE=CE 證明：如圖2 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn) SCAD = SBAD，SCOD = SBOD SCAD - SCOD = SBAD - SBOD 即SAOC = SAOB SACF = SBCF，SAOF = SBOF SACF - SAOF = SBCF - SBOF 即SAOC = SBOC SAOB = SBOC SAOE:SAOB=OE:OB,SCOE:SBOC=OE:OB SAOE:SAOB= SCOE:SBOC SAOB = SBOC SAOE = SCOE AE=CE 命題得證。 證法3 下面的是第三種方法：中位線法 已知：ABC的兩

19、條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。 求證：AE=CE 證明：如圖2，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)G，使OG=OB OG=OB 點(diǎn)O是BG的中點(diǎn) 又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) OD是BGC的一條中位線 ADCG（三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半） 點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn) OF是BGA的一條中位線 CFAG ADCG，CFAG 四邊形AOCG是平行四邊形 AC、OG互相平分 AE=CE 命題得證。 證法四： 因?yàn)锳BCO是凹四邊形，根據(jù)共邊比例定理，命題得證托勒密定理 定理的內(nèi)容：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩

20、形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和) 證明 一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD ABEACD BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而B(niǎo)AC=DAE，ACB=ADE ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又BE+EDBD （僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、

21、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d) 。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一點(diǎn)K，使得A

22、BK = CBD； ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK與DBC相似 同理也有ABD KBC 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢 三、已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD 求證：AC·BDAB·CDAD

23、·BC 證明：如圖，過(guò)C作CP交BD于P，使1=2，又3=4 ACDBCP AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 又ACB=DCP，5=6， ACBDCP AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 得 AC(BPDP)=AB·CDAD·BC 即AC·BD=AB·CDAD·BC推論 1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BDAB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角

24、線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 2.四點(diǎn)不限于同一平面。 西姆松定理 西姆松定理：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）。 西姆松逆定理：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 性質(zhì)： （1）稱三角形的垂心為H。西