高數(shù)(下)要點(diǎn)(含微分方程)——自己整理的

1、第六章 微分方程一、一階微分方程1、一階線性方程 2、伯努利方程 令二、可降階的高階方程1次積分2 不顯含令，化為一階方程 。3 不顯含自變量令，化為一階方程。三、線性微分方程，時(shí)稱為齊次的，稱為非齊次的。 1二階線性齊次線性方程 （1）如果函數(shù)與是方程(1)的兩個(gè)解，則 也是(1)的解,其中是任意常數(shù)。如果與是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則 (是任意常數(shù))是(1)的通解.兩個(gè)函數(shù)與線性無關(guān)的充要條件為（常數(shù)）2二階線性非齊次線性方程設(shè)是二階線性非齊次線性方程 的一個(gè)特解,是它對應(yīng)的齊次方程(1)的通解,則 是該方程的通解.設(shè)與分別是二階線性非齊次方程 與 的兩個(gè)特解。則是的特解。（疊加原

2、理）3.二階線性常系數(shù)齊次方程 特征方程，特征根 特征方程的根的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根 一對共軛復(fù)根4二階線性常系數(shù)非齊次方程 i)如果 ,則二階線性常系數(shù)非齊次方程具有形如 的特解。其中，是次多項(xiàng)式, 也是系數(shù)待定的次多項(xiàng)式；依照為特征根的重?cái)?shù)而取值.i) 如果,則二階線性常系數(shù)非齊次方程的特解可設(shè)為 其中是系數(shù)待定的次多項(xiàng)式,依照特征根的重?cái)?shù)取值.四、歐拉方程二階歐拉方程 ，其中為常數(shù).作變換，則有 , 。原方程變?yōu)槎A線性常系數(shù)方程 。第七章 空間解析幾何一、1、，其中是與的夾角；2、向量積滿足下列運(yùn)算律：1）反交換律 ；2）結(jié)合律 ，其中是數(shù)量 ；3） 左分配律 ，右分配律

3、 3、4、若，則稱為單位化向量，并有此時(shí)其中 是的方向余弦三、1、旋轉(zhuǎn)面方程yoz平面上的曲線C： 繞z軸的旋轉(zhuǎn)面方程為；繞y軸的旋轉(zhuǎn)面方程為類似可得其它坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)面方程2、柱面方程以xoy平面上的曲線C：為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為同理方程和分別表示母線平行于x軸和y軸的柱面3、曲線在坐標(biāo)面上的投影在空間曲線的方程 中，經(jīng)過同解變形分別消去變量，則可得到在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲線，分別為：； ； 四、1、平面方程 1）點(diǎn)法式：過點(diǎn)，法向量的平面方程為，2）一般式： ，其中不全為零3）截距式：4）兩個(gè)平面之間的關(guān)系設(shè)兩個(gè)平面1與2的法向量依次為和1與2的夾

4、角規(guī)定為它們法向量的夾角（取銳角）此時(shí)2222222121212121212121|cosCBACBACCBBAAnnnn+×+=×·=rrrrq2、直線方程 1）一般式：將直線表示為兩個(gè)平面的交線 2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與方向向量平行，則的方程為i) 對稱式：ii) 參數(shù)式：， 3）兩條直線之間的關(guān)系設(shè)兩條直線L1和L2方向向量分別為 ，L1 與 L2的夾角規(guī)定為它們方向向量的夾角（取銳角）于是 3、直線與平面的關(guān)系設(shè)直線L 的方向向量為，平面 的法向量為L與的夾角規(guī)定為L與它在上投影直線的夾角（銳角）這時(shí) L 與 垂直的充要條件是 L 與 平行的充要條件是 xOy

5、圖3z五、1、橢圓拋物面： ， 其中（圖3） 例如，等y zxO圖42、橢圓錐面： ，其中 （圖4）例如，圓錐面圖5zyOabx3、單葉雙曲面，其中（圖5）例如 x zOyc-c（圖6）4、雙葉雙曲面，其中（圖6）例如 第八章 多元函數(shù)的微分學(xué)一、1偏導(dǎo)數(shù)對某一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)，就是將其余的自變量看作常數(shù)，對這個(gè)變量求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2高階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) ，或 ，；，或 ，； 及稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)3、全微分二元函數(shù)在點(diǎn)處的全微分三元函數(shù)的全微分，并有4、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系在多元函數(shù)中，可微、可導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系與一元函數(shù)的情況有所不同在多元函數(shù)中1）可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定可微；2）可

6、微必連續(xù)，連續(xù)不一定可微；3）可導(dǎo)不一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)5、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)下列函數(shù)都可微，則有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式（鏈?zhǔn)椒▌t）：a.若，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為=+；b.若，則復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)=+ ， =+；6、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1）方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 2）方程所確定隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為 ， 二、1、取得極值的必要條件如果函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且在該點(diǎn)函數(shù)取得極值，則 ， 可導(dǎo)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，但極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)2取得極值的充分條件設(shè)在駐點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)令, , ，于是有 1）如果，則點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，是極大值 ， 當(dāng)時(shí)，是極小值2）如果，則點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)3）

7、如果，則函數(shù)在點(diǎn)有無極值不能確定，需用其它方法判別3條件極值1）求二元函數(shù)在約束條件=0下的極值，可以按照如下步驟進(jìn)行：i) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ；ii) 解方程組 若 是方程組的解，則是該條件極值問題的可疑極值點(diǎn)三、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用1空間曲線的切線與法平面給定空間曲線 ，其中的三個(gè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零（光滑曲線）上的點(diǎn) 對應(yīng)的參數(shù)為則曲線在點(diǎn)處的切向量為，此時(shí)的切線方程為 曲線在點(diǎn)的法平面方程為 2曲面的切平面與法線給定曲面的方程 ，函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零（光滑曲面）點(diǎn)是上的一個(gè)點(diǎn)則曲面在點(diǎn)處的法向量為，此時(shí)的切平面方程為，曲面在點(diǎn)的法線方程為 四方向?qū)?shù)與梯

8、度1若函數(shù) 在點(diǎn)可微，方向的方向余弦為，則函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為2設(shè)函數(shù)在空間區(qū)域內(nèi)可微，則函數(shù)在點(diǎn)處的梯度定義為一個(gè)向量grad梯度方向是函數(shù)變化率最大的方向在梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)取得最大值第九章 重積分一、 二重積分的計(jì)算1直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算1）若積分區(qū)域可以表示為：，則2）若積分區(qū)域可以表示為 ：，則2極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為 ，此時(shí)面積元素為或若在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可以表示為 ，則二、三重積分的計(jì)算，表示的體積1直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算1）“先一后二”法若積分區(qū)域可表示為:，則其中是在xoy坐標(biāo)面上的投影2) “先二后一”法設(shè)積分區(qū)域在z軸上的投影區(qū)

9、間為用平面（常數(shù)）去截，截面為則其中 是將投影到xoy坐標(biāo)面上所做的二重積分2柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為 ，則體積元素為或若積分區(qū)域在柱面坐標(biāo)下可表示為，則3球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為 ， 體積元素為 或 如果積分區(qū)域在球面坐標(biāo)下可表示為 ：，則4.簡算：對稱奇偶性， 重心公式。三、重積分的應(yīng)用1曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 2質(zhì)量密度為，則平面板的質(zhì)量 密度為 ，則物體的質(zhì)量為 3曲面面積設(shè)曲面的方程為 ，其中是有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則曲面的面積為面積微元第十一章 無窮級數(shù)一、1、a.收斂±收斂收斂，收斂±發(fā)散發(fā)散，發(fā)

10、散±發(fā)散斂散不定。b.收斂級數(shù)任意加括號所得的級數(shù)仍收斂，且其和不變.2、兩個(gè)重要級數(shù)及其斂散性1）幾何級數(shù).當(dāng)時(shí)該級數(shù)收斂，其和為；當(dāng)時(shí)該級數(shù)發(fā)散.2）-級數(shù).當(dāng)時(shí)，該級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，該級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)稱級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，它是一個(gè)發(fā)散級數(shù).二、 正項(xiàng)級數(shù)的審斂法 （ ，）1）（比較審斂法）設(shè) 和都是正項(xiàng)級數(shù)，且鉆圈子原理若強(qiáng)級數(shù)收斂，則弱級數(shù)收斂；若弱級數(shù)發(fā)散， 則強(qiáng)級數(shù)發(fā)散.破記錄原理2) (比較審斂法的極限形式) 設(shè)與都是正項(xiàng)級數(shù). 如果 則級數(shù)和級數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.（若或如何？）3) （比值審斂法）若正項(xiàng)級數(shù)滿足 ，則當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；時(shí)，級數(shù)發(fā)散；時(shí)，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

11、4）（根值審斂法）若正項(xiàng)級數(shù)滿足 ,則當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；時(shí)，級數(shù)發(fā)散;時(shí)，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.5. 交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲審斂法設(shè),則稱級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù).定理（萊布尼茲審斂法）設(shè)為交錯(cuò)級數(shù).如果滿足： 1）對一切自然數(shù)有； 2），則收斂，且其和.6級數(shù)的絕對收斂和條件收斂如果級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂.如果收斂，而發(fā)散，稱級數(shù)條件收斂.對任意項(xiàng)級數(shù)，如果它絕對收斂，則它必收斂.三、冪級數(shù)(，)1阿貝爾定理2冪級數(shù)收斂半徑 ； 收斂區(qū)間。收斂域：收斂區(qū)間加入收斂的端點(diǎn)收斂半徑的求法1）對于冪級數(shù)，如果，則；2）對于冪級數(shù)，如果，則2. 冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1. （和函數(shù)連續(xù)性）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)是連續(xù)的。性質(zhì)2.（逐項(xiàng)積分）設(shè)冪級數(shù)和函數(shù)在收斂區(qū)間可逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3.（逐項(xiàng)求導(dǎo)）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：,逐項(xiàng)求導(dǎo)后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑.3冪級數(shù)的運(yùn)算1）冪級數(shù)的加減法若收斂域，則 的收斂域?yàn)椤?）冪級數(shù)的乘法設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為，.則這兩個(gè)冪級數(shù)乘積的收斂半徑，且在上恒有4. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式設(shè)在點(diǎn)附近有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)為在點(diǎn)的泰勒級數(shù)，稱為在點(diǎn)的泰勒系數(shù).特