高中數(shù)學(xué)選修基礎(chǔ)知識(shí)歸納排列組合概率問(wèn)題

1、一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)記為。四處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事（審題）  有序還是無(wú)序   分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：     直接法： 

2、;    間接法：對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。分類處理：當(dāng)問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。           注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每?jī)深惖慕患癁榭占?，所有各類的并集為全集。?）分步處理：與分類處理類似，某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問(wèn)題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：

3、元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來(lái)；(2) 特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；例1. 電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有          種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.   解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有種，從而應(yīng)當(dāng)填48. 從而應(yīng)填48例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有

4、多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（3）相鄰問(wèn)題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問(wèn)題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。 （4）全不相鄰問(wèn)題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法.即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總      

5、  的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的元       素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；例.有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少   種排法？分析一：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排男生，有種排法.剩余的3個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，   

6、0;   只有1種排法，故共有·1=840種.（6）“小團(tuán)體”排列問(wèn)題采用先整體后局部策略 對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排      列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問(wèn)題用“直排法”把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問(wèn)題（組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)

7、。能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4.組合應(yīng)用題：（1）“至少”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類法:1.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有種.（2）“含”與“不含” 用間接排除法或分類法:2從5名

8、男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有幾種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有幾種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1人在內(nèi)，有幾種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有幾種選法5分組問(wèn)題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。6分配問(wèn)題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后

9、排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。7隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問(wèn)題五 二項(xiàng)式定理3.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用求二項(xiàng)展開(kāi)式中的任何一項(xiàng)，特別是常數(shù)項(xiàng)：變量的指數(shù)為0、有理項(xiàng)：指數(shù)為整數(shù)；證明整除或求余數(shù)；利用賦值法證明某些組合恒等式；近似計(jì)算。4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：5區(qū)分（1）某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。展開(kāi)式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與系數(shù)最大項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中間項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)求法：設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，由不等式組求k。再求第k+1項(xiàng)值。系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)絕對(duì)

10、值最大項(xiàng)的求法，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大,則此項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值必不小于它左、右相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，即由求r注意：二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)及系數(shù)最小的項(xiàng)的求法:先求系數(shù)的絕對(duì)值最大項(xiàng)第r+1項(xiàng)，然后再求第r+1項(xiàng)的符號(hào)，若這一項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)為正，則它為展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；若這一項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)為負(fù)，則它為展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)（3）二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和即令式子中變量為1。注意：（1）二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和相當(dāng)于的各項(xiàng)系數(shù)的和。即令原式中的x=-1即可。  （2）審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還

11、是二項(xiàng)式系數(shù)？六事件分類七對(duì)某一事件概率的求法：八.離散型隨機(jī)變量 1.在的射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為X取每一個(gè)值(i=1,2,）的概率 ，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列性質(zhì)：             一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。公式：期望或平均數(shù)、均值 E(X)             方差:說(shuō)明（1）數(shù)學(xué)期望的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平   (2)的算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，        (3)隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映