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文檔簡介
1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)1、求過點M(0,0,1)且垂直于平面的直線的方程. (07級下A第一1題7分)解: 3分直線方程為: 7分2、設求(07級下A第二1題7分)解: 4分 7分第九章 多元函數(shù)微分學及其應用3、設,求,4、設求. (05級下第一1題6分)解: 2分 4分 6分5、設其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),求(05級下第一2題6分)解: 3分 6分6、設,求.(07級下A第二2題7分)解: 4分 7分7、設,其中具有連續(xù)二階偏導數(shù),求.(05級下補第一1題6分)解: 3分 6分8、設其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),求9、求旋轉拋物面在點(2,1,4)處的切平面及法線方程. (07級下A第三1
2、題7分)解: 3分切平面方程為:或 5分法線方程為: 7分10、求在點(0,0)處的梯度及沿梯度方向的方向導數(shù)解:11、求在點M(1,1,1)沿從M到N(2,3,-1)的方向的方向導數(shù). (07級下A第二2題7分)解: 3分 5分 7分12、欲制造一個體積為的無蓋長方體形水池,試設計水池的尺寸,使其表面積最小. (07級下A第四題8分)解:設長為,寬為,高為,表面積 3分 5分 8分13、已知曲面方程,(1)求其在第一卦限內的點處的切平面方程;(2)求該切平面與三坐標面所圍立體的體積的最小值. (05級下第六題8分)解:法向量切平面方程或 3分切平面在三個坐標軸上的截距分別為 5分令解方程組得
3、的最小值為 8分第十章 重積分14、設D: 求(05級下第一3題6分)(07級下A第一3題7分)解: 3分 4分 6分 7分15、已知在上連續(xù),證明:.(07級下A第三2題7分)證明: 4分 7分16、計算二重積分,其中為所圍區(qū)域.17、計算二重積分,其中 為所圍區(qū)域.18、計算三重積分其中為球體.(05級下第一4題6分)解: 3分 6分19、計算三重積分其中為球體所圍區(qū)域.20、證明:證明:21、設有平面區(qū)域,(1)計算二重積分;(2)設函數(shù)在上連續(xù),試給出一個所滿足的一般條件,使得.22、設有平面區(qū)域,(1)計算二重積分;(2)設函數(shù)在上連續(xù),試給出一個所滿足的一般條件,使得 (05級下第
4、二題8分)解:(1) 4分(2)由于積分區(qū)域關于直線對稱,則當時 8分注:本題答案不惟一,如:等說明:積分域的輪換對等性(或稱為輪換對稱性)是把刻畫積分域的不等式或不等式組中的坐標進行輪換或對換后,積分域不改變的性質.對于平面上的積分域來說,輪換對稱性就是關于直線的對稱性;對于空間域來說,與的輪換對稱性是關于平面的對稱性.積分域的輪換對稱性與被積函數(shù)的輪換對稱性(以三元函數(shù)為例):若積分域的邊界曲面方程中的依次輪換,方程的形式不變,則稱具有輪換對稱性.若被積函數(shù)中的依次輪換,方程的形式不變,則稱具有輪換對稱性.第十一章 曲線積分與曲面積分23、計算對弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧. (0
5、5級下第一5題6分)解: 3分 6分24、計算對弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧.25、計算對弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧.26、計算對弧長的曲線積分其中為拋物線 從點O(0,0)到B(1,1)之間的一段弧. (07級下A第三3題7分)解: 4分 7分27、計算對坐標的曲線積分,其中是由拋物線和所圍區(qū)域的正向邊界. (07級下A第二3題7分)解: 3分 5分 7分28、計算對坐標的曲面積分其中為圓柱體的外側表面. (07級下A第一4題7分)解: 4分 7分29、計算對坐標的曲面積分其中為圓柱體的外側表面.30、計算對坐標的曲面積分其中為圓柱體的外側表面. (05級下第一6題6分)解
6、: 3分 6分31、計算對坐標的曲面積分其中為球面的外側.32、證明曲線積分在全平面上與路徑無關;并計算,其中 為曲線從到的一段弧.33、證明對坐標的曲線積分在全平面上與路徑無關;計算,其中 為曲線從到的一段弧. (05級下第四題8分)證明:因為所以曲線積分在全平面上與路徑無關 4分 8分第十二章 無窮級數(shù)34、判別正項級數(shù)的收斂性.解:由比值審斂法知收斂.35、判別正項級數(shù)的收斂性. (05級下第一7題6分)解: 4分由比值審斂法知發(fā)散 6分36、判別正項級數(shù)的收斂性(07級下A第二4題7分)解:(1)當時,發(fā)散 2分(2)當時, 發(fā)散 4分(3)當時,, 收斂,收斂 7分37、判別正項級數(shù)
7、的收斂性.解:,而級數(shù)收斂,由比較審斂法,收斂.38、已知冪級數(shù).試求其收斂區(qū)間. (07級下A第一5題7分)解: 3分收斂半徑 5分收斂區(qū)間為 7分39、求級數(shù)的和. 解:令因為所以故40、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解:(直接將展開辦不到,但易展開)積分得因為右端級數(shù)在時均收斂,又在連續(xù),所以展開式在收斂區(qū)間端點成立.41、已知冪級數(shù). 求其收斂域;利用逐項積分法,求其和函數(shù)(05級下第三題8分)解: 收斂半徑當時級數(shù)發(fā)散,收斂區(qū)間為 4分 8分42、已知函數(shù)以為周期,且,其傅里葉級數(shù)的和函數(shù)記為計算43、已知函數(shù)以為周期,且,其傅里葉級數(shù)的和函數(shù)記為計算(05級下第一8題6分)是的第一類間斷點解: 3分是的連續(xù)點 6分
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