高等數(shù)學上冊教案22 定積分的概念與性質_第1頁
高等數(shù)學上冊教案22 定積分的概念與性質_第2頁
高等數(shù)學上冊教案22 定積分的概念與性質_第3頁
高等數(shù)學上冊教案22 定積分的概念與性質_第4頁
高等數(shù)學上冊教案22 定積分的概念與性質_第5頁
全文預覽已結束

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

1、第5章 定積分及其應用定積分的概念與性質 【教學目的】:1. 理解曲邊梯形的面積求法的思維方法;2. 理解定積分的概念及其性質;3. 掌握定積分的幾何意義 ;【教學重點】:1. 定積分的概念及其性質;【教學難點】:1. 曲邊梯形面積求法的思維方法;【教學時數(shù)】:2學時【教學過程】:案例研究引例5.1.1 曲邊梯形的面積問題圖5-2所謂曲邊梯形是指由連續(xù)曲線(設),直線,和(即軸)所圍成的此類型的平面圖形(如圖5-1所示)下面來求該曲邊梯形的面積 圖5-1分析 由于“矩形面積=底高”,而曲邊梯形在底邊上各點處的高在區(qū)間上是變動的,故它的面積不能按矩形面積公式計算.另一方面,由于曲線在上是連續(xù)變化

2、的,所以當點在區(qū)間上某處變化很小時,相應的也就變化不大.于是,考慮用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形,當分割得較細,每個小曲邊梯形很窄時,其高的變化就很小.這樣,可以在每個小曲邊梯形上作一個與它同底、以底上某點函數(shù)值為高的小矩形,用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,進而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個曲邊梯形的面積(如圖5-2所示).顯然,分割越細,近似程度越高,當無限細分時,所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值. 根據(jù)以上分析,可按以下四步計算曲邊梯形的面積.(1)分割 在閉區(qū)間上任意插入個分點, ,將閉區(qū)間分成個小區(qū)間 ,它們的長度依次為 ,過每一個

3、分點作平行于軸的直線,把曲邊梯形分成個小曲邊梯形;(2)取近似 在每個小區(qū)間上任取一點,以小區(qū)間為底,為高作小矩形,用小矩形的面積近似代替相應的小曲邊梯形的面積,即 ,(3)求和 把這樣得到的個小矩形的面積加起來,得和式,將其作為曲邊梯形面積的近似值,即 ; (4)取極限 當分點個數(shù)無限增加,且小區(qū)間長度的最大值()趨于零時,上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值,即 .5.1.1 定積分的定義定義1 設函數(shù)在閉區(qū)間上有界,在閉區(qū)間中任意插入個分點 ,將區(qū)間分成個小區(qū)間 ,各小區(qū)間的長度依次為 ,在每個小區(qū)間上任取一點,作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積,并作和,記, ,當無限增大且時,若上述和式的

4、極限存在,則稱函數(shù)在區(qū)間上可積,并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分,記為 .即 , 其中稱為積分變量,稱為被積函數(shù),稱為被積表達式, 稱為積分下限,稱為積分上限,稱為積分區(qū)間,符號讀作函數(shù)從到的定積分.按定積分的定義,兩個引例的結果可以分別表示為:,關于定積分的定義作以下幾點說明:(1)和式的極限存在(即函數(shù)在上可積)是指不論對區(qū)間怎樣分法,也不論對點怎樣取法,極限都存在.(2)和式的極限僅與被積函數(shù)的表達式及積分區(qū)間有關,與積分變量使用什么字母無關,即 .(3)定義中要求積分限,我們補充如下規(guī)定: 當時,當時,(4)函數(shù)可積的兩個充分條件:若上連續(xù),則上可積。若上有界,且只有有限個第一類間斷點

5、,則上可積。定積分的幾何意義 當時,由前述可知,定積分在幾何上表示由曲線,兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積;如果,這時曲邊梯形位于軸下方,定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值,如圖53;圖5-4圖5-3 當在上有正有負時,定積分在幾何上表示軸,曲線及兩直線所圍成的各個曲邊梯形面積的代數(shù)和(見圖54),即 .5.1.2 定積分的性質以下性質中函數(shù)均為可積函數(shù).性質1 函數(shù)和(差)的定積分等于它們定積分的和(差),即 . 性質1可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形. 性質2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分的符號外面, 即,(為常數(shù)). 性質3 如果在區(qū)間上,則 , 特別地,時,. 性質3的幾何意

6、義如圖57所示. 性質4(積分區(qū)間的可加性) 如果積分區(qū)間被點分成兩個區(qū)間和,則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩個區(qū)間上定積分的和,即 . 注意:無論的相對位置如何,總有上述等式成立。 性質5 如果在區(qū)間上,則 . 性質6(定積分的單調性) 如果在區(qū)間上,有, 則 . 例2 比較下列各對積分值的大?。?)與(2)與解 (1)由冪函數(shù)的性質,在上,有 由定積分性質,得(2)在內有,得 性質7(估值定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為,則 . 性質7說明,由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值可以估計積分值的大致范圍.例3 估計定積分的值.解 先求在區(qū)間上的最大值和最小值,為此求得, 令,得駐點,比較駐點處與區(qū)間端點處的函數(shù)值: , ,得最小值,最大值,再根據(jù)估值定理,得 .性質8(積分中值定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則至少存在一點,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論