高一數(shù)學必修一各章知識考點精編總結

1、第一章 集合與函數(shù)概念第一節(jié) 集合一、集合有關概念1. 集合的含義: 集合(集):某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素2. 集合的中元素的三個特性：確定性 互異性 無序性(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y(3) 元素的無序性如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3.集合的表示：(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法 描述法和圖示法。1） 列舉法：a,b,c2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。x

2、ÎR| x-3>2 ,x| x-3>2分為：符號描述法：語言描述法：例：不是直角三角形的三角形注：描述法一般適用于表示元素較多的有限集或無限集。3） 圖示法:分為：區(qū)間法：用開區(qū)間 閉區(qū)間以及半開（半閉）區(qū)間表示 Venn法：u 注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N正整數(shù)集 或 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實數(shù)集 R4、集合的分類：有限集 含有有限個元素的集合無限集 含有無限個元素的集合空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集 表示A包含于B 或者說B包含A注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同

3、一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關系：集合相等的定義：如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B (55且55，則5=5) 自反律：任何一個集合是它本身的子集。AÍA實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)傳遞律：如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC3. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。4 冪集：

4、有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）SA記作，即CSA=韋恩圖示SA性 質AA=A A=AB=BAABAABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB) = Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(

5、AB)A (CuA)=UA (CuA)= 四、一些基本集合恒等式1結合律：（AB）C= A（B C）； （AB ）C=A（B C）2分配律：A（BC）=（AB）（AC）； A（BC）=（ AB ）（AB）3吸收律：A（AB）=A； A（AB）=A4德·摩根定律（反演律）：(CuA) (CuB) = Cu (AB)； A (CuA)=U (CuA) (CuB)= Cu(AB)； A (CuA)= Cu (CuA)=A五容斥定理：原理1：如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和= 屬于A類元素個數(shù)+ 屬于B類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)。 card（AB ）= ca

6、rd（ A）+ card（B ）- card (AB)原理2：如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)既是A類又是C類的元素個數(shù)既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。（ABC ）= A+B+C - AB - BC - CA + (ABC）第二節(jié) 函數(shù)的有關概念1映射的概念1). 映射的定義: A,B是兩個集合,如果按照某種對應法則f ，對于集合A中的任何一個元素x ，在集合B中都有唯一的元素y和它對應,那么這樣的對應叫做集合A到集合B的映射.記做記作“f（對應關系）：

7、A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(a)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(b)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(c)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。2). 一一映射：設A，B是兩個集合，f：AB是從集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的不同元素，在集合A中都有且只有一個原象，這時我們說這兩個元素之間存在一一對應關系，并稱這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射。所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f：AB是一一映射，那么g：BA是映射。2函數(shù)的概念1) .函數(shù)的定義:設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，

8、使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域2) .函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域。定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而

9、成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.(8)三角函數(shù)中的正切函數(shù)值域 : 先考慮其定義域(1)觀察法 (2)配方法(3)代換法3) . 函數(shù)的表示法：列表法、圖象法、解析法3.相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關）； 定義域一致 (兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)4. 函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每

10、一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法A 描點法：B 圖象變換法1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換5區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示6.分段函數(shù) (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復合函數(shù)如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA) 稱為f、g的復合函數(shù)。第三節(jié) 函數(shù)的

11、性質（單調性、奇偶性與周期性）1.函數(shù)的單調性(局部性質)（1）單調函數(shù)的定義設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間.f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間。注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；（2）單調區(qū)間的定義 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y= f(x)的單調區(qū)間。（3）

12、圖象的特點在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.（4）函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）(B)圖象法(從圖象上看升降)2復合函數(shù)的單調性（1）、復合函數(shù)的概念  如果y是a的函數(shù)，a又是x的函數(shù)，即y=f（a），a=g（x），那么y關于x的函數(shù)y=fg（x） 叫做函數(shù)y=f（x）和a=（x）的復合函數(shù)，其中a是中間變量，自變量為x，函

13、數(shù)值y。  例如：函數(shù)是由復合而成立。 函數(shù)是由復合而成立，a是中間變量。（2）、復合函數(shù)單調性定理：設函數(shù)u=g（x）在區(qū)間M上有意義，函數(shù)y=f（u）在區(qū)間N上有意義，且當XM時，uN。有以下四種情況：（1）若u=g（x）在M上是增函數(shù)，y=f（u）在N上是增函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是增函數(shù)；（2）若u=g（x）在M上是增函數(shù)，y=f（u）在N上是減函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是減函數(shù)；（3）若u=g（x）在M上是減函數(shù)，y=f（u）在N上是增函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是減函數(shù)；（4）若u=g（x）在M上是減函數(shù)，y=f（u）在N上是減函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是

14、增函數(shù)即：同增異減。復合函數(shù)fg(x)的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”注意：內層函數(shù)u=g（x）的值域是外層函數(shù)y=f（u）的定義域的子集。函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 3函數(shù)的奇偶性（整體性質）（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點

15、對稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .4、函數(shù)的解析表達式（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)

16、的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數(shù)法3) 換元法4) 消參法5函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p36頁） 利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增，在區(qū)間b，c上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調遞減，在區(qū)間b，c上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 6周期性 （1）.周期函數(shù)

17、 對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域 內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。(事實上，任何一個常數(shù)kT（kZ且k0）都是它的周期。)（2）. 最小正周期如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數(shù)f（x）的最小正周期。由定義可得：周期函數(shù)f（x）的周期T是與x無關的非零常數(shù)，且周期函數(shù)不一定有最小正周期。第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且*u 負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數(shù)時

18、，當是偶數(shù)時，2分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，u 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質（1）·；（2）；（3）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R其中a為底數(shù)注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質 圖象a>10<a<1定義域R值域y0單調性在R上單調遞增在R上單調遞減函數(shù)值的變化情況（x>0）（x=0） （x<0）（x<0）（x=0） （x>0）奇偶性非奇非偶函數(shù)過定點函數(shù)圖象都過定點（0，1）

19、A變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越高，在第二象限內，a越大圖象越低注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數(shù)當且僅當；（3）對于指數(shù)函數(shù)，總有；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：（ 底數(shù)， 真數(shù)， 對數(shù)式）說明： 注意底數(shù)的限制，且； ； 注意對數(shù)的書寫格式兩個重要對數(shù)： 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，記作； 自然對數(shù)：以無理數(shù)為底數(shù)的對數(shù)（即當a=e時），記作u 指數(shù)式與對數(shù)式的互化 冪值 真數(shù) N b 底數(shù) 指數(shù) 對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質如果，且，那么： ·； ； 注意：

20、換底公式（，且；，且；）利用換底公式推導下面的結論（1）； （2）（三）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù) 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且2、對數(shù)函數(shù)的性質：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，且的圖象關于y=x對稱圖象a>10<a<1定義域x0值域值域為R單調性在R上遞增在R上遞減過定點函數(shù)圖象都過定點（1，0）奇偶性非奇非偶函數(shù)函數(shù)值的變化情況 （x>0） （x=0） （0<x<1） （x>0） （x=0）

21、（0<x<1）A變化對圖象的影響在第一象限內，a越大圖象越低，在第四象限內，a越大圖象越高三、 冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質歸納：（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時a、冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)b、在第一象限內，a>1時，圖像開口向上；0<a<1時，圖像開口向右c、特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時a、冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)b、在第一象限內，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖像開口向上；c、在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無