曲線與方程講義二求曲線方程教案

1、曲線和方程 (二)教學(xué)目標(biāo)：（一）知識要求：根據(jù)已知條件求平面曲線方程的基本步驟.(二) 能力訓(xùn)練要求:1 會由已知條件求一些簡單的平面曲線的方程.2 會判斷曲線和方程的關(guān)系.（三）德育滲透目的:培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)求曲線方程的“五步”思路.教學(xué)難點(diǎn)依據(jù)題目特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，考察曲線的點(diǎn)與方程的坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系的純粹性與完備性.教學(xué)方法：導(dǎo)學(xué)法.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生利用曲線的方程、方程的曲線理論，借助坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線視為點(diǎn)的集合或軌跡，用點(diǎn)(x,y)翻譯約束條件，用方程f(x,y)=0表示曲線.教學(xué)過程知識回顧：方程的曲線和曲線的方程: 曲線

2、上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上; 就說這條曲線是這個方程的曲線,這個方程是這條曲線的方程.情境設(shè)置：由曲線的方程、方程的直線可知，借助直角坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡看成曲線，即用曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，那么我們就可通過研究方程的性質(zhì)，間接地研究曲線的性質(zhì).我們把這種借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法.在教學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識已形成了一門學(xué)科，它就是解析幾何.解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.它主要研究的是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；（2）通過方程，研究平面曲線

3、的性質(zhì).（二）講授新課：1.例題分析:【例1】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,-1)、(3,7)求線段AB的垂直平分線的方程.如何求曲線的方程？法一、運(yùn)用現(xiàn)成的結(jié)論直線方程的知識來求.法二:若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦?需要掌握一般性的方法解：設(shè)M(x,y)是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)，即點(diǎn)M屬于集合P=M|MA|=|MB|，由兩點(diǎn)之間的距離公式，點(diǎn)M所適合的條件可表示為 y B(3,7)化簡整理得 M證明方程是線段AB的垂直平分線的方程. (1)求方程的過程可知，垂直平分線上每一 點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解. A(-1,-1) 0 x(2)設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1,y1)是方程的解， 即x1+2y1-7

4、=0,得 x1=-2y1+7 點(diǎn)M到A、B的距離分別是 .即 點(diǎn)M1在線段AB的垂直平分線上.由（1）（2）可知方程是AB的垂直平分線.反思：第一種方法運(yùn)用現(xiàn)成的結(jié)論當(dāng)然快,但它需要你對研究的曲線要有一定的了解;第二種方法雖然有些走彎路,但這種方法有一般性.求曲線的方程可以這樣一般地嘗試,注意其中的步驟:求曲線的方程(軌跡方程),一般有下面幾個步驟:1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo);2.寫出適合條件P的幾何點(diǎn)集:;3.用坐標(biāo)表示條件,列出方程;4.化簡方程為最簡形式;5.證明(查漏除雜).例2已知一條直線和它上方的一個點(diǎn)F,點(diǎn)F到的距離是2.一條曲線也在的上方,它上面的每一點(diǎn)到F的

5、距離減去到的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求這條曲線的方程.B變式：一個動點(diǎn)P與定點(diǎn)A,B的距離的平方和為122，=10，求動點(diǎn)P的軌跡方程練習(xí)1.已知點(diǎn)M與軸的距離和點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,4)的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y) 建立坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)M與軸的距離為, 限(找?guī)缀螚l件)= 代(把條件坐標(biāo)化) 化簡所求的軌跡方程是課后作業(yè)：1、求到直線4x+3y-5=0的距離為1的點(diǎn)的軌跡方程.答案:4x+3y-10=0或4x-3y=0.2、如圖,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2 , 2) , 過點(diǎn)C直線CA與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)M是線段A

6、B的中點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.課后反思：由例1,例2歸納總結(jié)求曲線方程的步驟.一般地,求曲線方程的步驟是:(1)建立恰當(dāng)條件的坐標(biāo)系,用M(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)(2)寫出適當(dāng)條件的點(diǎn)的集合P=M|P(M)(即找?guī)缀翁匦詽M足的關(guān)系式)(3)用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程f(x,y)=0.(即將幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程)(4)化簡方程f(x,y)=0.(5)證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).評注:(1)化簡前后方程的解集是相同的,步驟(5)可以省略不寫. (2)根據(jù)情況,也可省略步驟(2),直接列出曲線方程.曲線和方程(三)教學(xué)目標(biāo)：(一) 教學(xué)知識點(diǎn)：1.根據(jù)條件，求較復(fù)雜的曲

7、線方程. 2.求曲線的交點(diǎn). 3.曲線的交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系.(二)能力訓(xùn)練要求:1.進(jìn)一步提高應(yīng)用“五步”法求曲線方程的能力. 2.會求曲線交點(diǎn)坐標(biāo),通過曲線方程討論曲線性質(zhì). (三)德育滲透目的:1.滲透數(shù)形結(jié)合思想.2.培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維.教學(xué)重點(diǎn)1.求曲線方程的實(shí)質(zhì)就是找曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系式f(x,y)=0.2.求曲線交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題.教學(xué)難點(diǎn)1. 尋找“幾何關(guān)系”.2. 轉(zhuǎn)化為“動點(diǎn)坐標(biāo)”關(guān)系.教學(xué)方法啟發(fā)誘導(dǎo)式教學(xué)法.啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想新舊知識點(diǎn)的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑.教學(xué)過程講授新課:1. 回顧求簡單曲線方程的一般步驟,闡明步驟(2)、(3)為

8、關(guān)鍵步驟,說明(5)步不要求書面表達(dá),但思維一定要到位,注意等價性即可.2. 例題分析:一、直接法：回顧前一節(jié)科內(nèi)容練習(xí)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)P(x，y)，PMy軸，垂足為M，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱且·4，則動點(diǎn)P的軌跡方程為_1_二、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：若動點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代入法)例題1已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三個頂點(diǎn)C在曲線上移動，求ABC的重心的軌跡方程 解析：設(shè)ABC的重心為G(x，y)，頂點(diǎn)C

9、的坐標(biāo)為(x1，y1)，由重心坐標(biāo)公式得，代入y13x1，得3y23(3x2)21.y9x212x3即為所求軌跡方程題后感悟(1)代入法：像本例將所求點(diǎn)M的坐標(biāo)代入已知曲線方程求得動點(diǎn)M的軌跡方程的方法叫代入法(2)代入法求軌跡(曲線)方程的基本步驟為設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上任意點(diǎn)M(x，y)，設(shè)動點(diǎn)(已知軌跡的動點(diǎn))P(x0，y0)求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)的關(guān)系式代入：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程練習(xí)：已知O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，M為圓上的動點(diǎn)，試求MO中點(diǎn)的軌跡方程。三、參數(shù)法：如果問題中所求動點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也沒有明顯的相關(guān)點(diǎn)，但能發(fā)現(xiàn)這個動點(diǎn)受某個變量(像角度

10、、斜率、比值、截距、時間、速度等)的影響，此時，可先建立x、y分別與這個變量的關(guān)系，然后將該變量(參數(shù))消去，即可得到x、y的關(guān)系式例題2：過原點(diǎn)的直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)過原點(diǎn)的直線為y=kx，弦AB的中點(diǎn)M(x,y)把y=kx代入x2+y2-6x+5=0得： x2+(kx)2-6x+5=0即: (1+k2)x2-6x+5=0消去k得：y2=3x-x2弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為y2=3x-x2。練習(xí)：答案: 四、.兩曲線交點(diǎn)問題:例題3、已知拋物線及直線,當(dāng)m為何值時,(1)有兩個交點(diǎn)；(2)僅有一個交點(diǎn)；(3)無交點(diǎn).分析：拋物線C和直線的交點(diǎn)個數(shù)與其方程構(gòu)成的方程組的解的個數(shù)一一對應(yīng).解:由消去得 (1) 拋物線C和直線有兩個交點(diǎn),則方程