極坐標(biāo)系下兩點(diǎn)距離公式的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用

1、極坐標(biāo)系下兩點(diǎn)距離公式的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用王立保米脂中學(xué)數(shù)學(xué)教研組，陜西 米脂 718100 摘要：距離是幾何學(xué)研究的主要內(nèi)容之一。平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)距離公式在解析幾何中有著極其廣泛的應(yīng)用。在選修4-4中，教材內(nèi)容沒(méi)有提出極坐標(biāo)系下的兩點(diǎn)距離公式，筆者發(fā)現(xiàn)了它，并在課后習(xí)題以及高考試題中得以應(yīng)用。關(guān)鍵詞：高考；極坐標(biāo)；兩點(diǎn)距離公式在平面解析幾何里，兩點(diǎn)距離公式是最基本的公式，有著極其廣泛的應(yīng)用。特別是研究圓錐曲線的軌跡方程上表現(xiàn)尤為突出。 從2017年開(kāi)始，高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷選做題22題，已由原來(lái)的三選一變成了二選一。如此一來(lái)，選修4-4的分值明顯增加，極坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)占其中一半。在求極坐標(biāo)下的曲線軌

2、跡方程問(wèn)題上，課本的例題中，往往是在曲線上構(gòu)造直角三角形或一般三角形，利用直角三角形內(nèi)的三角運(yùn)算或正余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系來(lái)處理,難度比較大。筆者在教學(xué)中，不經(jīng)意發(fā)現(xiàn)了極坐標(biāo)系下的兩點(diǎn)距離公式。利用公式來(lái)處理相關(guān)問(wèn)題就方便多了。一 公式以及證明若A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（）（）（不妨取,）則=證明：(1)如圖一，當(dāng)時(shí)，=，這顯然是正確的。 (2)如圖二，當(dāng)時(shí)，=，這顯然也是正確的。(3)如圖三，當(dāng)不是1,2兩種特殊情況時(shí)，點(diǎn)A、點(diǎn)B、極點(diǎn)O三點(diǎn)一定能構(gòu)成一個(gè)三角形，由三角形的余弦定理可知，即= 特別說(shuō)明：在(3)一中，cosAOB=cos（）=cos();在(3)二中，cosAOB=cos2-（

3、）=cos();證完.二.應(yīng)用例1.人教版選修4-4第15頁(yè)習(xí)題1.3第2題：求適合下列條件的圖形的極坐標(biāo)方程。（3）圓心在A(1，),半徑為1的圓；解：設(shè)圓上任意一點(diǎn)為P，則由=1得：=1化簡(jiǎn)得：例2.（2015新課標(biāo)全國(guó)II），在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線：（t為參數(shù)，t0）,其中.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：，.(1)求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若與相交于點(diǎn)A, 與相交于點(diǎn)B，求的最大值.解：(1)略 (2) 化為極坐標(biāo)方程為：=，當(dāng)時(shí)，A,B兩點(diǎn)在O點(diǎn)同側(cè),如圖(1):此點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2sin,)，B(2cos,) 所以= ，此時(shí)，當(dāng) =0時(shí)，=2.當(dāng)時(shí)，A,B兩點(diǎn)在O點(diǎn)兩側(cè)，如圖(2):此點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2sin,)，B(2cos(+),+