注冊(cè)巖土考試基礎(chǔ)數(shù)學(xué)5

1、 第五講  重積分、平面曲線積分以及積分的應(yīng)用       一、內(nèi)容提要：本講主要是講解二、三重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，平面曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算以及定積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用問題。 二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是二重積分的計(jì)算，平面曲線積分，定積分的應(yīng)用問題。        難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是三重積分的計(jì)算，三重積分的應(yīng)用問題。 三、內(nèi)容講解： 1、重積分：  1、1二重積分的概念：設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有

2、界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n 個(gè)小閉區(qū)域， 其中 表示第I個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè) 上任取一點(diǎn)（i,i），作乘積f（i,i） （i=1,2,，n），并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中最大值趨于零時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作,其中f(x,y)叫做被積函數(shù)叫做被積表達(dá)式，叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區(qū)域，叫做積分和。在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素記作dxdy，而把二重積分記作，其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。二重積分的幾何意義：二重積分 在幾何上表示以曲面z=

3、f(x,y)為頂，閉區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積。至于三重積分的概念，我們就不再說了，自已看一下。下面我們講一下重積分的性質(zhì)。      三重積分的的概念：設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成n個(gè)小閉區(qū)域， 其中 表示第I個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積，在每個(gè) 上任取一點(diǎn)（i,i,i），作乘積f（i,i,i） （i=1,2,，n）,并作和 ，如果當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分，記作,即= ，其中dv叫做體積

4、元素。三重積分的幾何意義表示物體質(zhì)量M的近似值。 1.    2重積分的性質(zhì)：  性質(zhì)1、被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，即（k為常數(shù)）性質(zhì)2、函數(shù)的和(或差)的二重積分等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和（或差），即性質(zhì)3、如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和，即性質(zhì)4、如果在D上，f(x,y)=1，為D的面積，則=性質(zhì)5、如果在D上，f(x,y) （x,y），則有不等式，特殊地，由于-|f(x,y)| f(x,y) |f(x,y)|，又有不等式性質(zhì)

5、6、設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則有 mM 性質(zhì)7、（二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)（，）使得下式成立：1.    3二重積分的計(jì)算： 按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分，對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對(duì)于一般的函數(shù)和區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)可行的方法，現(xiàn)在我們來講兩種計(jì)算二重積分的方法。 （1）    利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分： 設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式 y&

6、#160;,axb來表示，則這個(gè)先對(duì)y后對(duì)x的二次積分也常記作類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式 y ，cyd來表示，其中函數(shù) 、 在區(qū)產(chǎn)c,d上連續(xù)，則有 上式右端的積分叫做先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分，這個(gè)積分也記作(2)    利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分：  直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系是x=rcos，y=rsin（0r+, 02） 設(shè) D=（r, ）| r ,則 =特別（i）D=（r, ）|0r ,則有=（ii）D由閉曲線r=r()

7、所圍成，則=例3、    計(jì)算 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。 解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為0ra，02，由公式可得， =1.    4三重積分的計(jì)算：  （1）    用直角坐標(biāo)來計(jì)算：設(shè) =(x,y,z)|z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)D且D=(x,y)|  y ,axb則 例4、    計(jì)算：I= ，其中 是由z

8、=0,y+z=1,y=x2所圍成的區(qū)域。 解： =（x,y,z）|0z1-y,(x,y)D,其中D=(x,y)|x2y1,-1x1 I=（2）    利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分： 直角坐標(biāo)系與柱面坐標(biāo)的關(guān)系是：x=rcos,y=rsin,z=z（0r+, 02,-z+）設(shè) =(r, ,z)|   (r, ) z  (r, ), (r, ) D,其中D=( r, )|r1()r,r2(),則

9、例5、    利用柱面坐標(biāo)計(jì)算：I=其中 是由z=-1,z=1 ,x2+y2-z2=1所圍成的區(qū)域。 解：-1z1，0r ,02則I= （3）    利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：x=rsin cos,y=rsin sin,x=rcos ,(02, 0 , 0r+)，此處要注意如何判斷、 、r的取值，r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離， 為有向線段OM與z軸正向所夾的角，為從正z軸來看自x軸按逆

10、時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角，這里P為點(diǎn)M在xoy面上的投影。如下圖所示：例6、    設(shè)空間區(qū)域 :x2+y2+z2R2，x0, y0，z0,則求  解：0 /2，0rR,0/2，則 =2、    平面曲線積分：  2.    1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算問題。 概念：設(shè)L為xoy平面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)f(x,y)在L上有界，用L上的點(diǎn)M1，M2，Mn-1把L分成n個(gè)小段，設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為si，又（i,i

11、）為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積f（i,i）si(i=1,2,n)，并作和 ,如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值趨向于0時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分，記作即=其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。 當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)=總存在，當(dāng)L為閉曲線時(shí)，曲線積分可記為，特殊地，當(dāng)f(x,y)表示曲線形構(gòu)件的線密度時(shí)，就表示該構(gòu)件的質(zhì)量M。第一類曲線積分的性質(zhì)： （1）（線性性）其中、為常數(shù)）   （2）（可加性）當(dāng)L=L1+L2時(shí)第一類曲線積分的計(jì)算方法：設(shè)f(x,y)在曲線弧；上有定義

12、且連續(xù)，；的參數(shù)方程為（t）其中 、 在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，則曲線積分存在，且=（<） 如果曲線L由方程y= (x)（x0xX）給出，則有（x0X）類似地，如果曲線L由方程x= 給出，（y0yY）則有（y0Y）例7、    計(jì)算，其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)B（1，1）之間的一段弧。解： 2.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分概念、性質(zhì)及計(jì)算： 概念：設(shè)L為xoy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在L上有界，用L上的點(diǎn)M1(x1,y1)，M2(x2,

13、y2)Mn-1(xn-1,yn-1)把L分成n個(gè)有向小弧段，(i =1,2,n，M0=A，Mn=B)設(shè)xi=xi-xi-1, yi=yi=yi-1，點(diǎn)（i,i）為上任意取定的點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的最大值0時(shí)，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)P(x,y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分或P(x,y)dx在有向曲線弧L上的第二類曲線積分，記作。類似地，如果存在，則稱此極限為函數(shù)Q(x,y)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分，或Q(x,y) dy在有向曲線弧L上的第二類曲線積分，記作即=,=當(dāng)P(x,y)、Q(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)，,都存在，+通常記作第二類

14、曲線積分的性質(zhì)： （1）    當(dāng)L=L1+L2時(shí)，（2）=其中-L表示與L反向的有向曲線弧。  兩類曲線積分之間的聯(lián)系： =其中 （x,y）、  （x,y）為有向曲線弧L上點(diǎn)（x,y）處的切線向量的方向角。 第二類曲線積分的計(jì)算：設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在有向曲線弧L肯定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為其中t單調(diào)地由 變到時(shí)，點(diǎn)M（x,y）從L的起點(diǎn)A沒L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，、在以 及 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分 存在，且=如果L由方程y= 

15、或x= 給出，則有=例8、    例8、計(jì)算 ，其中L為拋物線y=x2上點(diǎn)A（1，-1）與點(diǎn)B（1，1）之間的一段弧。解： 3、    積分的應(yīng)用： 3.    1定積分的應(yīng)用：定積分的應(yīng)用一般表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面， （1）    求平面圖形的面積：  若平面圖形由曲線y=f1(x) y=f2(x)和直線x=a,x=b所圍成，則其面積A= 若平面圖形由曲線r= ,r= 

16、，及射線 所圍成，則其面積A= 例9、    計(jì)算由兩條拋物線：y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積。解： 解方程組：得到兩組解，x=0,y=0及x=1,y=1，即這兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1)， A=(2)旋轉(zhuǎn)體的體積：旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積為vx= ,類似地，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積為vy= 例10、    計(jì)算由橢圓

17、所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓 及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為-a,a，旋轉(zhuǎn)橢球體中相應(yīng)于-a,a上任一小區(qū)間x,x+dx的薄片的體積，近似于底半徑為、高為dx的扁圓柱體的體積，即體積元素dV=，于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為（3）平行截面面積為已知的立體的體積：  設(shè)立體由某曲面及平面x=a,x=b所圍成，過點(diǎn)且垂直于x軸的截面面積為A(x)，則其體積為v=  (4)平面曲線的弧長(zhǎng)：   設(shè)曲線弧的方程為y=y(x),(axb),y(x)在a,b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)為設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為，（t）其中 、 在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)為S=設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為r=r()（），其中r()在,上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)為例11、    計(jì)算曲線y=x3/2上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度。 解：現(xiàn)在y=x1/2,從而弧長(zhǎng)元素ds= 根據(jù)公式有：s=3.2  (1)求曲面的面積：設(shè)曲面S由方程z=f(x,y)給出D為曲面S在xoy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲面S的面積為例12、 &