畢業(yè)論文易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

1、易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)摘 要本文討論了以假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用材料相同為前提，在相同體積情況下，哪種形狀的易拉罐所用材料最少。將易拉罐設(shè)計(jì)成正圓柱體，分析并建立了非線性規(guī)劃模型，用連續(xù)函數(shù)求極值的方法，獲得結(jié)果；探討了易拉罐形狀為由上面圓臺(tái)和下面正圓柱體組成的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立了非線性規(guī)劃模型,分別用隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和拉格朗日乘子兩種方法求解；最后采用相同體積時(shí)球體表面積最小這一數(shù)學(xué)結(jié)論，以及便于運(yùn)輸和放置的實(shí)際狀況，我們把易拉罐形狀設(shè)計(jì)為用兩個(gè)平面截去頂部后的圓臺(tái)，建立非線性規(guī)劃模型。也嘗試用旋轉(zhuǎn)曲線建立球體最優(yōu)設(shè)計(jì)。通過計(jì)算對(duì)比結(jié)果,第二種形狀(目前使用易拉罐形狀)是最優(yōu)的。本文

2、還對(duì)模型進(jìn)行了推廣。關(guān)鍵詞: 非線性規(guī)劃 拉格朗日定理 隱函數(shù)一問題重述日常生活中，我們稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多的飲料罐(即易拉罐)形狀和尺寸幾乎都一樣?？磥?lái)，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，單個(gè)易拉罐的生產(chǎn)，對(duì)資源充分利用，節(jié)約生產(chǎn)成本并不明顯。但如果生產(chǎn)的數(shù)量非常多的話，那么節(jié)約的錢就很可觀了。為什么不同工廠的易拉罐采用統(tǒng)一規(guī)格？從數(shù)學(xué)的角度怎樣給予合理的解釋？易拉罐的圓柱底面圓的直徑與圓柱的高的比是多少才為最優(yōu)？和現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際情況有什么差異，為什么？假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用的材料相同，則在相同的體積情況下，哪種形狀和尺寸的飲料罐所用的材料最少則成本就越低，也就最合理。

3、需要研究的內(nèi)容:(1) 對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中易拉罐(可口可樂罐為例)的準(zhǔn)確測(cè)量,包括罐體形狀,尺寸等。(2) 當(dāng)易拉罐為一正圓柱體時(shí),討論它的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案,通過對(duì)半徑和高的比值來(lái)說(shuō)明和驗(yàn)證所測(cè)量的相關(guān)數(shù)據(jù)。（3）當(dāng)易拉罐有上面圓臺(tái)和下面正圓柱體組成,如下圖:討論這種形狀的最優(yōu)方案,并與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)相分析比較。(4) 查閱資料,發(fā)揮想象力,設(shè)計(jì)出易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)的方案。進(jìn)行拉罐設(shè)計(jì)成本最小問題的數(shù)學(xué)建模及求解過程。最后,總結(jié)做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫一篇短文，闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。二假設(shè)問題假設(shè)：1. 測(cè)量的355ml（可口可樂）飲料罐相關(guān)數(shù)據(jù)都是精確的，忽

4、略誤差。2. 對(duì)任意模型能夠進(jìn)行加工，保證模型的設(shè)計(jì)方案足夠多，選擇足夠大。3假設(shè)設(shè)計(jì)所用材料一樣。4除易拉罐的頂蓋外，罐的厚度相同。5不考慮壓強(qiáng)。三約定符號(hào)說(shuō)明符號(hào)：說(shuō)明 : 罐體的體積S：罐體的表面積h: 柱體的高度: 被截面到球面的距離r： 球體的半徑： 被截面的半徑：所用材料的體積球缺的體積球冠的體積被切出現(xiàn)的圓的面積球缺的表面積四測(cè)量數(shù)據(jù)問題一：以下數(shù)據(jù)是以一個(gè)具體的可口可樂罐為實(shí)例測(cè)量：不規(guī)則圓柱體，中間略粗，上下兩圓臺(tái)半徑相對(duì)小，上底略凸，下底凹進(jìn)。頂蓋的直徑為：d=6cm; 半徑為：r=d/2=3cm頂部和底部的全高為：h=12.1cm中間圓柱罐體直徑和高分別為：d=6.7cm

5、 h=10.2cm，則直徑與高的比約為2：1。柱體的厚度為0.013cm，上半部分的厚度設(shè)為0.04cm.周長(zhǎng)為21cm。罐上標(biāo)明凈含量為 355 毫升(即 355 立方厘米)。五模型建立及求解模型一： 問題二：正圓柱體的最優(yōu)設(shè)計(jì)設(shè)易拉罐的高為h，底面圓半徑為r，則由圓柱的體積公式V=r2·h 推得 h=V/r2罐體表面積 S=2r2 +2rh，將h=V/r 2帶進(jìn) S=2r2 +2rh求得： S=2r2 +2V/r按設(shè)計(jì)要求知，體積V是常數(shù)，半徑r是變量，表面積S是r的函數(shù)。建立數(shù)學(xué)模型：當(dāng)r取何值時(shí)函數(shù)S取最小值？自變量r的取值決定了函數(shù)S的最后結(jié)果模型的求解：由 S=2r2 +

6、2V/r =2r2 + V/r + V/r3 =3, 當(dāng)且僅當(dāng) 2r2 = V/r ，即r =時(shí)，易拉罐具有最小的表面積3 ，此時(shí)易拉罐的高h(yuǎn) =2r。 圖5即：體積給定，其表面積最小尺寸半徑和高之比為1：2。正圓柱體表面積：3 =3278也即將易拉罐設(shè)計(jì)成等邊圓柱時(shí)，消耗的材料最少。是模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)。實(shí)際測(cè)量的表面積為：=2r2+2rh277我們所實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)有差別，什么原因造成的呢？ 是罐體厚度的造價(jià)問題。上底面、下底面與圓柱體側(cè)面積所用材料價(jià)格并不一樣。我們?cè)O(shè)側(cè)面價(jià)格為P1，底面的價(jià)格為P2, 且P1P2 則一個(gè)易拉罐需要的價(jià)格函數(shù)為：y= 2P1r2+2 P2r2y=（2P1r

7、2+ 2P2rh）當(dāng)2P1r2=P2rh 即 h=2P1r/ P2 時(shí) 易拉罐成本最低。模型二：?jiǎn)栴}三:圓臺(tái)與圓柱體的最優(yōu)設(shè)計(jì)明確變量和參數(shù)：設(shè)飲料罐的半徑為 r（因此，直徑為 d =2r）, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度. 其中 r, h 是自變量, 所用材料的體積 SV是因變量, 而 b 和 V 是固定參數(shù)，是待定參數(shù)。rh 圖6 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為:飲料罐頂蓋所用材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為 所以, SV和 V 分別為, 因?yàn)? 所以帶 的項(xiàng)可以忽略因此記 . 于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件, V 是已

8、知的(即罐內(nèi)體積一定), 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h 和使得 r, h 和測(cè)量結(jié)果吻合. 這是一個(gè)求條件極值的問題. 模型的求解：從約束中解出一個(gè)變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問題從 解出 ,代入 S, 使原問題化為：求 d : h使 S 最小, 即, 求r使最小. 求臨界點(diǎn): 令其導(dǎo)數(shù)為零得解得臨界點(diǎn)為 , 因此測(cè)量數(shù)據(jù)為 h/r=2, 即 , 即頂蓋的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 為驗(yàn)證這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到極小。計(jì)算 S 的二階導(dǎo)數(shù)所以, 這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到局部極小, 因?yàn)榕R界點(diǎn)只有一個(gè), 因此也是全局極小. 求 極小的初等方法是應(yīng)用

9、算術(shù)幾何平均值不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.令 . 于是有, 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立, 即, 結(jié)果相同. 上述解法中, 從解出 h是關(guān)鍵的一步. 但是常常不容易或不能從約束條件中解出一個(gè)變量為另一個(gè)變量的函數(shù)(或者雖然能解出來(lái), 但很復(fù)雜), 無(wú)助于問題的求解. 但是，如果表示變量間的隱函數(shù)關(guān)系, 并假設(shè)從中能確定隱函數(shù)(盡管沒有解析表達(dá)式, 或表達(dá)式很復(fù)雜), 那么, 我們?nèi)匀豢梢詫懗?, 而且, 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則, 我們有 因此, 是 S 的臨界點(diǎn)的必要條件為假設(shè) 是 S 的臨界點(diǎn), 則有于是, 在 處, 因此, 如果我們引入 , 那么, 就有 把問題化為求三元函數(shù) L 的無(wú)條件極值的問題.

10、函數(shù) L 稱為 Lagrange 函數(shù), 這種方法稱為L(zhǎng)agrange 乘子法. 具體到我們這個(gè)問題, 有如下的結(jié)果. 引入?yún)?shù) , 令 求臨界點(diǎn)從第 2，3 式解得 ，代入第 1 式得.和前面的結(jié)果相同.得到表面積S=240驗(yàn)證和進(jìn)一步的分析：測(cè)量頂蓋的厚度，確實(shí)為其他側(cè)面材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半徑為3厘米, 則其體積為 即裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對(duì)不對(duì)?按照,V = 365立方厘米, 可以算得r = 3.074 厘米. 粗略的計(jì)算, 可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為 3.3 厘米, 高為 1 厘米的錐臺(tái), 二是半徑為 3.3 厘米,

11、高為 10.2 厘米的圓柱體. 它們的體積分別為 31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米. 然后, 我們?cè)賮?lái)通過測(cè)量重量或容積(怎么測(cè)量?)來(lái)驗(yàn)證. 我們可以認(rèn)為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克. 測(cè)量結(jié)果為: 未打開罐時(shí)飲料罐的重量為 370 克, 倒出來(lái)的可樂重 355 克, 空的飲料罐重量為 15 克, 裝滿水的飲料罐重量為 380 克. 這和我們的近似計(jì)算 380.2 立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料, 而是留有 10 立方厘米的空間余量. 計(jì)算飲料罐的中間圓柱部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黃金分割比 0.6

12、18.這樣的比例看起來(lái)最舒服, 最美。此外, 諸如底部的形狀,上拱的底面。因?yàn)樽龀傻撞肯蛏贤?，可以擺放得更平穩(wěn)。易拉罐頂部也有對(duì)應(yīng)的坑紋。底部向上凸，是為了使得用最小的面積，獲得最大的抗壓性，使底部更堅(jiān)硬。如圖7：圖7頂蓋實(shí)際上也不是平面的, 略有上拱, 頂蓋實(shí)際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的, 從頂蓋到中間圓柱的部分的斜率為 0.3, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓。考慮實(shí)際所用材料的模型 實(shí)際上, 頂蓋的半徑為r +0.6厘米, 而正圓柱的高為h +0.6厘米. 因此問題就轉(zhuǎn)化為: 當(dāng) V 固定時(shí), 求 d:h使

13、S最小. 我們從約束中解出一個(gè)變量, 化條件極值問題為求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問題, 即 這時(shí), 我們發(fā)現(xiàn)盡管三次方程求根有公式, 但是很繁瑣, 而且最終還是要數(shù)值求解. 不如直接將數(shù)值代入, 用數(shù)學(xué)軟件Matlab或C語(yǔ)言（見附錄二）來(lái)求數(shù)值解由于 V = 365 立方厘米. 即，r 2.9，, 所以，h : d 2.4, 高是直徑的 2.4倍! 模型三：小組對(duì)易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題4:具體分析：在體積一定的幾何形體中,球的表面積最小，則理想的形狀就是球。 那么，我們可以朝球體方向討論。當(dāng)設(shè)計(jì)的容器高h(yuǎn)和它的直徑d相等的時(shí)候才是最合理的，因?yàn)檫@時(shí)候容器是個(gè)球體，圓形周長(zhǎng)最短，在容積相同（里面的飲

14、料一樣多時(shí)）易拉罐橫截面為圓形的時(shí)候最節(jié)省材料。雖然，同樣容積的容器，球形的表面積最小，下料最省，但易拉罐做成球形從運(yùn)輸，排放等都不合理，在技術(shù)上和使用上都較困難。因此，需要設(shè)計(jì)一種即節(jié)約成本，比較容易生產(chǎn)又便于使用，符合大眾消費(fèi)需求的存儲(chǔ)介質(zhì)，我們認(rèn)為對(duì)球進(jìn)行切割使球上下都有相同截面的圓臺(tái)，同時(shí)兩個(gè)被截球冠表面積與體積均全等。如圖8：設(shè)球的體積為V，表面積S，球心到截面的距離h,球的半徑r，截面的半徑,圓臺(tái)截面的面積為,我們要求的圓臺(tái)（圖8）表面積為，被切割的球冠體積為，剩余圓臺(tái)（圖8）體積為。有：=r此時(shí)截面的面積為： =由勾股定理得： =此時(shí)圓的面積=（）被切割的球體表面積為：當(dāng)切點(diǎn)無(wú)限

15、增加，側(cè)面則無(wú)限接近球面。 圖9因而有：=hr-h由定義知上、下有兩個(gè)被截球冠的表面積和兩個(gè)截面表面積均分別相等。所以，被切割的半球體總表面積為2，截面總表面積為2從而求得剩余圓臺(tái)（圖8）表面積：= S-2+2=4r-2hr-2h+2（） =6r-2hr上、下兩個(gè)被截球冠的表面積相等，考慮密度因素以外，體積也應(yīng)相等（已假設(shè)定義）于是有：=1/3=-2=4/3-2/3 =考慮到瓶子擺放的穩(wěn)定性，當(dāng)瓶子與地面的傾斜角度在以下時(shí)，瓶子的重心不會(huì)超過下面的平面，保持其平穩(wěn)性，不會(huì)倒掉。因此，是傾斜面不倒的臨界角度。建立數(shù)學(xué)模型: 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件：V355由=355得：r=4.4 所以 =-*0.

16、6模型求解得表面積S=6r-2hr通過比較： 正圓柱體表面積：3 =3278現(xiàn)實(shí)生活罐體表面積：S=240圓臺(tái)表面積S=6r-2hr264實(shí)際測(cè)量的表面積為：=2r2+2rh277由上得出： 現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際使用的易拉罐設(shè)計(jì)是最優(yōu)設(shè)計(jì)。六模型的推廣和評(píng)價(jià)認(rèn)識(shí)1 本問題所考慮的只是易拉罐形狀和尺寸的設(shè)計(jì)問題 ，可以推廣到液體、液晶等物質(zhì)的最大化存儲(chǔ)或運(yùn)輸?shù)南嚓P(guān)領(lǐng)域 產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。2 利用了高等數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)了多種情況的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。最大限度節(jié)約了罐體的下料和生產(chǎn)成本，而且優(yōu)化設(shè)計(jì)后的方案簡(jiǎn)單明了，涉及領(lǐng)域較廣，施行方便。3 本方案設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)精確，模型結(jié)果實(shí)用性強(qiáng)，較完美解決了易拉罐形狀和尺寸設(shè)

17、計(jì)的原始問題。4 簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算，但建模時(shí)間倉(cāng)促，模型細(xì)致度有待進(jìn)一步提高。5 從這幾種模型的計(jì)算結(jié)果綜合考慮可知，第二種模型仍然是最優(yōu)的。七建模感悟從高教社杯數(shù)模大賽緊張氣氛中走出來(lái)，感受頗多，從數(shù)模課的深入研究學(xué)習(xí)直到走進(jìn)數(shù)模大賽，讓我們真正理解著數(shù)學(xué)的神韻，升華著我們創(chuàng)造性思維 數(shù)學(xué)建模，即針對(duì)實(shí)際問題，從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問題抽象化為數(shù)學(xué)模型，求出模型的，求出模型的解或近似解，并進(jìn)行檢驗(yàn)，使之切合實(shí)際，最后編輯由數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)成，以議論方式表達(dá)目標(biāo)的說(shuō)理論文。數(shù)學(xué)建模首先在于懂得數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界一個(gè)特定對(duì)象，特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，做出必要的假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)

18、結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微積分等）來(lái)描述（模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面存在規(guī)律。數(shù)學(xué)建立模型就是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐，同過抽象、假設(shè)等將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)表達(dá)式建立合理的模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。在幾天煩瑣的建模，解模中，也摸索了一些具體的建模步驟，主要有：1 對(duì)實(shí)際問題的抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)，從而確定問題求解的變量和參數(shù)；2 建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用方差、微積分等數(shù)學(xué)方法和lingo、lindo等計(jì)算機(jī)軟件求出正解或近似解，確定其相關(guān)的參數(shù)；3 用實(shí)際問題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)該模型4 符

19、合實(shí)際，交付使用，達(dá)到產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)，社會(huì)效益的目的；不符合實(shí)際，重新建模、求解。其中，對(duì)實(shí)際問題分析的透析度，對(duì)題目推敲的準(zhǔn)確性，統(tǒng)計(jì)出的數(shù)據(jù)的正確性，反映出研究范圍和達(dá)到的深度，以及概念寫法揭示的內(nèi)涵和外延，決定著論文的質(zhì)量和生命力。建立數(shù)學(xué)模型也是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是異常困難的一步，建立數(shù)學(xué)模型的過程，是使錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程。通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)，觀察和研究起內(nèi)在規(guī)律，運(yùn)用我們平時(shí)積累的深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，以及對(duì)實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博知識(shí)面，建立反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題.八參考文獻(xiàn)1. 吳建成 高等數(shù)學(xué) 北京西城區(qū)德外大街4號(hào) 高等教育出版社 2005年6月2. 于忠文 數(shù)學(xué)論文寫作概論 北京地質(zhì)印刷廠印刷 航空工業(yè)出版社 1999年7月3.全國(guó)競(jìng)賽組委會(huì) 1992年-1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文匯編 1997年3月附錄一：編寫M文件