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文檔簡(jiǎn)介
1、易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)摘 要本文討論了以假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用材料相同為前提,在相同體積情況下,哪種形狀的易拉罐所用材料最少。將易拉罐設(shè)計(jì)成正圓柱體,分析并建立了非線性規(guī)劃模型,用連續(xù)函數(shù)求極值的方法,獲得結(jié)果;探討了易拉罐形狀為由上面圓臺(tái)和下面正圓柱體組成的最優(yōu)化設(shè)計(jì),建立了非線性規(guī)劃模型,分別用隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和拉格朗日乘子兩種方法求解;最后采用相同體積時(shí)球體表面積最小這一數(shù)學(xué)結(jié)論,以及便于運(yùn)輸和放置的實(shí)際狀況,我們把易拉罐形狀設(shè)計(jì)為用兩個(gè)平面截去頂部后的圓臺(tái),建立非線性規(guī)劃模型。也嘗試用旋轉(zhuǎn)曲線建立球體最優(yōu)設(shè)計(jì)。通過計(jì)算對(duì)比結(jié)果,第二種形狀(目前使用易拉罐形狀)是最優(yōu)的。本文
2、還對(duì)模型進(jìn)行了推廣。關(guān)鍵詞: 非線性規(guī)劃 拉格朗日定理 隱函數(shù)一問題重述日常生活中,我們稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多的飲料罐(即易拉罐)形狀和尺寸幾乎都一樣??磥?lái),這并非偶然,這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然,單個(gè)易拉罐的生產(chǎn),對(duì)資源充分利用,節(jié)約生產(chǎn)成本并不明顯。但如果生產(chǎn)的數(shù)量非常多的話,那么節(jié)約的錢就很可觀了。為什么不同工廠的易拉罐采用統(tǒng)一規(guī)格?從數(shù)學(xué)的角度怎樣給予合理的解釋?易拉罐的圓柱底面圓的直徑與圓柱的高的比是多少才為最優(yōu)?和現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際情況有什么差異,為什么?假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用的材料相同,則在相同的體積情況下,哪種形狀和尺寸的飲料罐所用的材料最少則成本就越低,也就最合理。
3、需要研究的內(nèi)容:(1) 對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中易拉罐(可口可樂罐為例)的準(zhǔn)確測(cè)量,包括罐體形狀,尺寸等。(2) 當(dāng)易拉罐為一正圓柱體時(shí),討論它的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案,通過對(duì)半徑和高的比值來(lái)說(shuō)明和驗(yàn)證所測(cè)量的相關(guān)數(shù)據(jù)。(3)當(dāng)易拉罐有上面圓臺(tái)和下面正圓柱體組成,如下圖:討論這種形狀的最優(yōu)方案,并與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)相分析比較。(4) 查閱資料,發(fā)揮想象力,設(shè)計(jì)出易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)的方案。進(jìn)行拉罐設(shè)計(jì)成本最小問題的數(shù)學(xué)建模及求解過程。最后,總結(jié)做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn),寫一篇短文,闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟,以及難點(diǎn)。二假設(shè)問題假設(shè):1. 測(cè)量的355ml(可口可樂)飲料罐相關(guān)數(shù)據(jù)都是精確的,忽
4、略誤差。2. 對(duì)任意模型能夠進(jìn)行加工,保證模型的設(shè)計(jì)方案足夠多,選擇足夠大。3假設(shè)設(shè)計(jì)所用材料一樣。4除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同。5不考慮壓強(qiáng)。三約定符號(hào)說(shuō)明符號(hào):說(shuō)明 : 罐體的體積S:罐體的表面積h: 柱體的高度: 被截面到球面的距離r: 球體的半徑: 被截面的半徑:所用材料的體積球缺的體積球冠的體積被切出現(xiàn)的圓的面積球缺的表面積四測(cè)量數(shù)據(jù)問題一:以下數(shù)據(jù)是以一個(gè)具體的可口可樂罐為實(shí)例測(cè)量:不規(guī)則圓柱體,中間略粗,上下兩圓臺(tái)半徑相對(duì)小,上底略凸,下底凹進(jìn)。頂蓋的直徑為:d=6cm; 半徑為:r=d/2=3cm頂部和底部的全高為:h=12.1cm中間圓柱罐體直徑和高分別為:d=6.7cm
5、 h=10.2cm,則直徑與高的比約為2:1。柱體的厚度為0.013cm,上半部分的厚度設(shè)為0.04cm.周長(zhǎng)為21cm。罐上標(biāo)明凈含量為 355 毫升(即 355 立方厘米)。五模型建立及求解模型一: 問題二:正圓柱體的最優(yōu)設(shè)計(jì)設(shè)易拉罐的高為h,底面圓半徑為r,則由圓柱的體積公式V=r2·h 推得 h=V/r2罐體表面積 S=2r2 +2rh,將h=V/r 2帶進(jìn) S=2r2 +2rh求得: S=2r2 +2V/r按設(shè)計(jì)要求知,體積V是常數(shù),半徑r是變量,表面積S是r的函數(shù)。建立數(shù)學(xué)模型:當(dāng)r取何值時(shí)函數(shù)S取最小值?自變量r的取值決定了函數(shù)S的最后結(jié)果模型的求解:由 S=2r2 +
6、2V/r =2r2 + V/r + V/r3 =3, 當(dāng)且僅當(dāng) 2r2 = V/r ,即r =時(shí),易拉罐具有最小的表面積3 ,此時(shí)易拉罐的高h(yuǎn) =2r。 圖5即:體積給定,其表面積最小尺寸半徑和高之比為1:2。正圓柱體表面積:3 =3278也即將易拉罐設(shè)計(jì)成等邊圓柱時(shí),消耗的材料最少。是模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)。實(shí)際測(cè)量的表面積為:=2r2+2rh277我們所實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)有差別,什么原因造成的呢? 是罐體厚度的造價(jià)問題。上底面、下底面與圓柱體側(cè)面積所用材料價(jià)格并不一樣。我們?cè)O(shè)側(cè)面價(jià)格為P1,底面的價(jià)格為P2, 且P1P2 則一個(gè)易拉罐需要的價(jià)格函數(shù)為:y= 2P1r2+2 P2r2y=(2P1r
7、2+ 2P2rh)當(dāng)2P1r2=P2rh 即 h=2P1r/ P2 時(shí) 易拉罐成本最低。模型二:?jiǎn)栴}三:圓臺(tái)與圓柱體的最優(yōu)設(shè)計(jì)明確變量和參數(shù):設(shè)飲料罐的半徑為 r(因此,直徑為 d =2r), 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度. 其中 r, h 是自變量, 所用材料的體積 SV是因變量, 而 b 和 V 是固定參數(shù),是待定參數(shù)。rh 圖6 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為:飲料罐頂蓋所用材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為 所以, SV和 V 分別為, 因?yàn)? 所以帶 的項(xiàng)可以忽略因此記 . 于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型:其中 S 是目標(biāo)函數(shù),是約束條件, V 是已
8、知的(即罐內(nèi)體積一定), 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h 和使得 r, h 和測(cè)量結(jié)果吻合. 這是一個(gè)求條件極值的問題. 模型的求解:從約束中解出一個(gè)變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問題從 解出 ,代入 S, 使原問題化為:求 d : h使 S 最小, 即, 求r使最小. 求臨界點(diǎn): 令其導(dǎo)數(shù)為零得解得臨界點(diǎn)為 , 因此測(cè)量數(shù)據(jù)為 h/r=2, 即 , 即頂蓋的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 為驗(yàn)證這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到極小。計(jì)算 S 的二階導(dǎo)數(shù)所以, 這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到局部極小, 因?yàn)榕R界點(diǎn)只有一個(gè), 因此也是全局極小. 求 極小的初等方法是應(yīng)用
9、算術(shù)幾何平均值不等式 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.令 . 于是有, 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立, 即, 結(jié)果相同. 上述解法中, 從解出 h是關(guān)鍵的一步. 但是常常不容易或不能從約束條件中解出一個(gè)變量為另一個(gè)變量的函數(shù)(或者雖然能解出來(lái), 但很復(fù)雜), 無(wú)助于問題的求解. 但是,如果表示變量間的隱函數(shù)關(guān)系, 并假設(shè)從中能確定隱函數(shù)(盡管沒有解析表達(dá)式, 或表達(dá)式很復(fù)雜), 那么, 我們?nèi)匀豢梢詫懗?, 而且, 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則, 我們有 因此, 是 S 的臨界點(diǎn)的必要條件為假設(shè) 是 S 的臨界點(diǎn), 則有于是, 在 處, 因此, 如果我們引入 , 那么, 就有 把問題化為求三元函數(shù) L 的無(wú)條件極值的問題.
10、函數(shù) L 稱為 Lagrange 函數(shù), 這種方法稱為L(zhǎng)agrange 乘子法. 具體到我們這個(gè)問題, 有如下的結(jié)果. 引入?yún)?shù) , 令 求臨界點(diǎn)從第 2,3 式解得 ,代入第 1 式得.和前面的結(jié)果相同.得到表面積S=240驗(yàn)證和進(jìn)一步的分析:測(cè)量頂蓋的厚度,確實(shí)為其他側(cè)面材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半徑為3厘米, 則其體積為 即裝不下那么多飲料,為什么?模型到底對(duì)不對(duì)?按照,V = 365立方厘米, 可以算得r = 3.074 厘米. 粗略的計(jì)算, 可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為 3 厘米,下底半徑為 3.3 厘米, 高為 1 厘米的錐臺(tái), 二是半徑為 3.3 厘米,
11、高為 10.2 厘米的圓柱體. 它們的體積分別為 31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米. 然后, 我們?cè)賮?lái)通過測(cè)量重量或容積(怎么測(cè)量?)來(lái)驗(yàn)證. 我們可以認(rèn)為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克. 測(cè)量結(jié)果為: 未打開罐時(shí)飲料罐的重量為 370 克, 倒出來(lái)的可樂重 355 克, 空的飲料罐重量為 15 克, 裝滿水的飲料罐重量為 380 克. 這和我們的近似計(jì)算 380.2 立方厘米十分接近!飲料罐不能裝滿飲料, 而是留有 10 立方厘米的空間余量. 計(jì)算飲料罐的中間圓柱部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黃金分割比 0.6
12、18.這樣的比例看起來(lái)最舒服, 最美。此外, 諸如底部的形狀,上拱的底面。因?yàn)樽龀傻撞肯蛏贤?,可以擺放得更平穩(wěn)。易拉罐頂部也有對(duì)應(yīng)的坑紋。底部向上凸,是為了使得用最小的面積,獲得最大的抗壓性,使底部更堅(jiān)硬。如圖7:圖7頂蓋實(shí)際上也不是平面的, 略有上拱, 頂蓋實(shí)際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的, 從頂蓋到中間圓柱的部分的斜率為 0.3, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓。考慮實(shí)際所用材料的模型 實(shí)際上, 頂蓋的半徑為r +0.6厘米, 而正圓柱的高為h +0.6厘米. 因此問題就轉(zhuǎn)化為: 當(dāng) V 固定時(shí), 求 d:h使
13、S最小. 我們從約束中解出一個(gè)變量, 化條件極值問題為求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問題, 即 這時(shí), 我們發(fā)現(xiàn)盡管三次方程求根有公式, 但是很繁瑣, 而且最終還是要數(shù)值求解. 不如直接將數(shù)值代入, 用數(shù)學(xué)軟件Matlab或C語(yǔ)言(見附錄二)來(lái)求數(shù)值解由于 V = 365 立方厘米. 即,r 2.9,, 所以,h : d 2.4, 高是直徑的 2.4倍! 模型三:小組對(duì)易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題4:具體分析:在體積一定的幾何形體中,球的表面積最小,則理想的形狀就是球。 那么,我們可以朝球體方向討論。當(dāng)設(shè)計(jì)的容器高h(yuǎn)和它的直徑d相等的時(shí)候才是最合理的,因?yàn)檫@時(shí)候容器是個(gè)球體,圓形周長(zhǎng)最短,在容積相同(里面的飲
14、料一樣多時(shí))易拉罐橫截面為圓形的時(shí)候最節(jié)省材料。雖然,同樣容積的容器,球形的表面積最小,下料最省,但易拉罐做成球形從運(yùn)輸,排放等都不合理,在技術(shù)上和使用上都較困難。因此,需要設(shè)計(jì)一種即節(jié)約成本,比較容易生產(chǎn)又便于使用,符合大眾消費(fèi)需求的存儲(chǔ)介質(zhì),我們認(rèn)為對(duì)球進(jìn)行切割使球上下都有相同截面的圓臺(tái),同時(shí)兩個(gè)被截球冠表面積與體積均全等。如圖8:設(shè)球的體積為V,表面積S,球心到截面的距離h,球的半徑r,截面的半徑,圓臺(tái)截面的面積為,我們要求的圓臺(tái)(圖8)表面積為,被切割的球冠體積為,剩余圓臺(tái)(圖8)體積為。有:=r此時(shí)截面的面積為: =由勾股定理得: =此時(shí)圓的面積=()被切割的球體表面積為:當(dāng)切點(diǎn)無(wú)限
15、增加,側(cè)面則無(wú)限接近球面。 圖9因而有:=hr-h由定義知上、下有兩個(gè)被截球冠的表面積和兩個(gè)截面表面積均分別相等。所以,被切割的半球體總表面積為2,截面總表面積為2從而求得剩余圓臺(tái)(圖8)表面積:= S-2+2=4r-2hr-2h+2() =6r-2hr上、下兩個(gè)被截球冠的表面積相等,考慮密度因素以外,體積也應(yīng)相等(已假設(shè)定義)于是有:=1/3=-2=4/3-2/3 =考慮到瓶子擺放的穩(wěn)定性,當(dāng)瓶子與地面的傾斜角度在以下時(shí),瓶子的重心不會(huì)超過下面的平面,保持其平穩(wěn)性,不會(huì)倒掉。因此,是傾斜面不倒的臨界角度。建立數(shù)學(xué)模型: 目標(biāo)函數(shù): 約束條件:V355由=355得:r=4.4 所以 =-*0.
16、6模型求解得表面積S=6r-2hr通過比較: 正圓柱體表面積:3 =3278現(xiàn)實(shí)生活罐體表面積:S=240圓臺(tái)表面積S=6r-2hr264實(shí)際測(cè)量的表面積為:=2r2+2rh277由上得出: 現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際使用的易拉罐設(shè)計(jì)是最優(yōu)設(shè)計(jì)。六模型的推廣和評(píng)價(jià)認(rèn)識(shí)1 本問題所考慮的只是易拉罐形狀和尺寸的設(shè)計(jì)問題 ,可以推廣到液體、液晶等物質(zhì)的最大化存儲(chǔ)或運(yùn)輸?shù)南嚓P(guān)領(lǐng)域 產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。2 利用了高等數(shù)學(xué)知識(shí),設(shè)計(jì)了多種情況的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。最大限度節(jié)約了罐體的下料和生產(chǎn)成本,而且優(yōu)化設(shè)計(jì)后的方案簡(jiǎn)單明了,涉及領(lǐng)域較廣,施行方便。3 本方案設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)精確,模型結(jié)果實(shí)用性強(qiáng),較完美解決了易拉罐形狀和尺寸設(shè)
17、計(jì)的原始問題。4 簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算,但建模時(shí)間倉(cāng)促,模型細(xì)致度有待進(jìn)一步提高。5 從這幾種模型的計(jì)算結(jié)果綜合考慮可知,第二種模型仍然是最優(yōu)的。七建模感悟從高教社杯數(shù)模大賽緊張氣氛中走出來(lái),感受頗多,從數(shù)模課的深入研究學(xué)習(xí)直到走進(jìn)數(shù)模大賽,讓我們真正理解著數(shù)學(xué)的神韻,升華著我們創(chuàng)造性思維 數(shù)學(xué)建模,即針對(duì)實(shí)際問題,從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問題抽象化為數(shù)學(xué)模型,求出模型的,求出模型的解或近似解,并進(jìn)行檢驗(yàn),使之切合實(shí)際,最后編輯由數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)成,以議論方式表達(dá)目標(biāo)的說(shuō)理論文。數(shù)學(xué)建模首先在于懂得數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界一個(gè)特定對(duì)象,特定目的,根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律,做出必要的假設(shè),運(yùn)用數(shù)學(xué)工具,得到一個(gè)數(shù)學(xué)
18、結(jié)構(gòu),簡(jiǎn)單的說(shuō),就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)用數(shù)學(xué)式子(如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微積分等)來(lái)描述(模擬)所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面存在規(guī)律。數(shù)學(xué)建立模型就是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐,同過抽象、假設(shè)等將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)表達(dá)式建立合理的模型,然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。在幾天煩瑣的建模,解模中,也摸索了一些具體的建模步驟,主要有:1 對(duì)實(shí)際問題的抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè),從而確定問題求解的變量和參數(shù);2 建立數(shù)學(xué)模型,并運(yùn)用方差、微積分等數(shù)學(xué)方法和lingo、lindo等計(jì)算機(jī)軟件求出正解或近似解,確定其相關(guān)的參數(shù);3 用實(shí)際問題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)該模型4 符
19、合實(shí)際,交付使用,達(dá)到產(chǎn)生經(jīng)濟(jì),社會(huì)效益的目的;不符合實(shí)際,重新建模、求解。其中,對(duì)實(shí)際問題分析的透析度,對(duì)題目推敲的準(zhǔn)確性,統(tǒng)計(jì)出的數(shù)據(jù)的正確性,反映出研究范圍和達(dá)到的深度,以及概念寫法揭示的內(nèi)涵和外延,決定著論文的質(zhì)量和生命力。建立數(shù)學(xué)模型也是十分關(guān)鍵的一步,同時(shí)也是異常困難的一步,建立數(shù)學(xué)模型的過程,是使錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程。通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù),觀察和研究起內(nèi)在規(guī)律,運(yùn)用我們平時(shí)積累的深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),敏銳的洞察力和想象力,以及對(duì)實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博知識(shí)面,建立反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系,然后利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題.八參考文獻(xiàn)1. 吳建成 高等數(shù)學(xué) 北京西城區(qū)德外大街4號(hào) 高等教育出版社 2005年6月2. 于忠文 數(shù)學(xué)論文寫作概論 北京地質(zhì)印刷廠印刷 航空工業(yè)出版社 1999年7月3.全國(guó)競(jìng)賽組委會(huì) 1992年-1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文匯編 1997年3月附錄一:編寫M文件
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