畢業(yè)論文易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計

1、易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計摘 要本文討論了以假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用材料相同為前提，在相同體積情況下，哪種形狀的易拉罐所用材料最少。將易拉罐設(shè)計成正圓柱體，分析并建立了非線性規(guī)劃模型，用連續(xù)函數(shù)求極值的方法，獲得結(jié)果；探討了易拉罐形狀為由上面圓臺和下面正圓柱體組成的最優(yōu)化設(shè)計，建立了非線性規(guī)劃模型,分別用隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和拉格朗日乘子兩種方法求解；最后采用相同體積時球體表面積最小這一數(shù)學(xué)結(jié)論，以及便于運輸和放置的實際狀況，我們把易拉罐形狀設(shè)計為用兩個平面截去頂部后的圓臺，建立非線性規(guī)劃模型。也嘗試用旋轉(zhuǎn)曲線建立球體最優(yōu)設(shè)計。通過計算對比結(jié)果,第二種形狀(目前使用易拉罐形狀)是最優(yōu)的。本文

2、還對模型進(jìn)行了推廣。關(guān)鍵詞: 非線性規(guī)劃 拉格朗日定理 隱函數(shù)一問題重述日常生活中，我們稍加留意就會發(fā)現(xiàn)很多的飲料罐(即易拉罐)形狀和尺寸幾乎都一樣。看來，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，單個易拉罐的生產(chǎn)，對資源充分利用，節(jié)約生產(chǎn)成本并不明顯。但如果生產(chǎn)的數(shù)量非常多的話，那么節(jié)約的錢就很可觀了。為什么不同工廠的易拉罐采用統(tǒng)一規(guī)格？從數(shù)學(xué)的角度怎樣給予合理的解釋？易拉罐的圓柱底面圓的直徑與圓柱的高的比是多少才為最優(yōu)？和現(xiàn)實中的實際情況有什么差異，為什么？假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用的材料相同，則在相同的體積情況下，哪種形狀和尺寸的飲料罐所用的材料最少則成本就越低，也就最合理。

3、需要研究的內(nèi)容:(1) 對現(xiàn)實生活中易拉罐(可口可樂罐為例)的準(zhǔn)確測量,包括罐體形狀,尺寸等。(2) 當(dāng)易拉罐為一正圓柱體時,討論它的最優(yōu)設(shè)計方案,通過對半徑和高的比值來說明和驗證所測量的相關(guān)數(shù)據(jù)。（3）當(dāng)易拉罐有上面圓臺和下面正圓柱體組成,如下圖:討論這種形狀的最優(yōu)方案,并與實際測量數(shù)據(jù)相分析比較。(4) 查閱資料,發(fā)揮想象力,設(shè)計出易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)的方案。進(jìn)行拉罐設(shè)計成本最小問題的數(shù)學(xué)建模及求解過程。最后,總結(jié)做本題以及以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗，寫一篇短文，闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點。二假設(shè)問題假設(shè)：1. 測量的355ml（可口可樂）飲料罐相關(guān)數(shù)據(jù)都是精確的，忽

4、略誤差。2. 對任意模型能夠進(jìn)行加工，保證模型的設(shè)計方案足夠多，選擇足夠大。3假設(shè)設(shè)計所用材料一樣。4除易拉罐的頂蓋外，罐的厚度相同。5不考慮壓強(qiáng)。三約定符號說明符號：說明 : 罐體的體積S：罐體的表面積h: 柱體的高度: 被截面到球面的距離r： 球體的半徑： 被截面的半徑：所用材料的體積球缺的體積球冠的體積被切出現(xiàn)的圓的面積球缺的表面積四測量數(shù)據(jù)問題一：以下數(shù)據(jù)是以一個具體的可口可樂罐為實例測量：不規(guī)則圓柱體，中間略粗，上下兩圓臺半徑相對小，上底略凸，下底凹進(jìn)。頂蓋的直徑為：d=6cm; 半徑為：r=d/2=3cm頂部和底部的全高為：h=12.1cm中間圓柱罐體直徑和高分別為：d=6.7cm

5、 h=10.2cm，則直徑與高的比約為2：1。柱體的厚度為0.013cm，上半部分的厚度設(shè)為0.04cm.周長為21cm。罐上標(biāo)明凈含量為 355 毫升(即 355 立方厘米)。五模型建立及求解模型一： 問題二：正圓柱體的最優(yōu)設(shè)計設(shè)易拉罐的高為h，底面圓半徑為r，則由圓柱的體積公式V=r2·h 推得 h=V/r2罐體表面積 S=2r2 +2rh，將h=V/r 2帶進(jìn) S=2r2 +2rh求得： S=2r2 +2V/r按設(shè)計要求知，體積V是常數(shù)，半徑r是變量，表面積S是r的函數(shù)。建立數(shù)學(xué)模型：當(dāng)r取何值時函數(shù)S取最小值？自變量r的取值決定了函數(shù)S的最后結(jié)果模型的求解：由 S=2r2 +

6、2V/r =2r2 + V/r + V/r3 =3, 當(dāng)且僅當(dāng) 2r2 = V/r ，即r =時，易拉罐具有最小的表面積3 ，此時易拉罐的高h(yuǎn) =2r。 圖5即：體積給定，其表面積最小尺寸半徑和高之比為1：2。正圓柱體表面積：3 =3278也即將易拉罐設(shè)計成等邊圓柱時，消耗的材料最少。是模型的最優(yōu)設(shè)計。實際測量的表面積為：=2r2+2rh277我們所實際測量的數(shù)據(jù)和設(shè)計有差別，什么原因造成的呢？ 是罐體厚度的造價問題。上底面、下底面與圓柱體側(cè)面積所用材料價格并不一樣。我們設(shè)側(cè)面價格為P1，底面的價格為P2, 且P1P2 則一個易拉罐需要的價格函數(shù)為：y= 2P1r2+2 P2r2y=（2P1r

7、2+ 2P2rh）當(dāng)2P1r2=P2rh 即 h=2P1r/ P2 時 易拉罐成本最低。模型二：問題三:圓臺與圓柱體的最優(yōu)設(shè)計明確變量和參數(shù)：設(shè)飲料罐的半徑為 r（因此，直徑為 d =2r）, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度. 其中 r, h 是自變量, 所用材料的體積 SV是因變量, 而 b 和 V 是固定參數(shù)，是待定參數(shù)。rh 圖6 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為:飲料罐頂蓋所用材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為 所以, SV和 V 分別為, 因為, 所以帶 的項可以忽略因此記 . 于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件, V 是已

8、知的(即罐內(nèi)體積一定), 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h 和使得 r, h 和測量結(jié)果吻合. 這是一個求條件極值的問題. 模型的求解：從約束中解出一個變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題從 解出 ,代入 S, 使原問題化為：求 d : h使 S 最小, 即, 求r使最小. 求臨界點: 令其導(dǎo)數(shù)為零得解得臨界點為 , 因此測量數(shù)據(jù)為 h/r=2, 即 , 即頂蓋的厚度是其他材料厚度的 3 倍. 為驗證這個 r 確實使 S 達(dá)到極小。計算 S 的二階導(dǎo)數(shù)所以, 這個 r 確實使 S 達(dá)到局部極小, 因為臨界點只有一個, 因此也是全局極小. 求 極小的初等方法是應(yīng)用

9、算術(shù)幾何平均值不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令 . 于是有, 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立, 即, 結(jié)果相同. 上述解法中, 從解出 h是關(guān)鍵的一步. 但是常常不容易或不能從約束條件中解出一個變量為另一個變量的函數(shù)(或者雖然能解出來, 但很復(fù)雜), 無助于問題的求解. 但是，如果表示變量間的隱函數(shù)關(guān)系, 并假設(shè)從中能確定隱函數(shù)(盡管沒有解析表達(dá)式, 或表達(dá)式很復(fù)雜), 那么, 我們?nèi)匀豢梢詫懗?, 而且, 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則, 我們有 因此, 是 S 的臨界點的必要條件為假設(shè) 是 S 的臨界點, 則有于是, 在 處, 因此, 如果我們引入 , 那么, 就有 把問題化為求三元函數(shù) L 的無條件極值的問題.

10、函數(shù) L 稱為 Lagrange 函數(shù), 這種方法稱為Lagrange 乘子法. 具體到我們這個問題, 有如下的結(jié)果. 引入?yún)?shù) , 令 求臨界點從第 2，3 式解得 ，代入第 1 式得.和前面的結(jié)果相同.得到表面積S=240驗證和進(jìn)一步的分析：測量頂蓋的厚度，確實為其他側(cè)面材料厚度的 3 倍. 如果易拉罐的半徑為3厘米, 則其體積為 即裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對不對?按照,V = 365立方厘米, 可以算得r = 3.074 厘米. 粗略的計算, 可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為 3.3 厘米, 高為 1 厘米的錐臺, 二是半徑為 3.3 厘米,

11、高為 10.2 厘米的圓柱體. 它們的體積分別為 31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米. 然后, 我們再來通過測量重量或容積(怎么測量?)來驗證. 我們可以認(rèn)為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克. 測量結(jié)果為: 未打開罐時飲料罐的重量為 370 克, 倒出來的可樂重 355 克, 空的飲料罐重量為 15 克, 裝滿水的飲料罐重量為 380 克. 這和我們的近似計算 380.2 立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料, 而是留有 10 立方厘米的空間余量. 計算飲料罐的中間圓柱部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黃金分割比 0.6

12、18.這樣的比例看起來最舒服, 最美。此外, 諸如底部的形狀,上拱的底面。因為做成底部向上凸，可以擺放得更平穩(wěn)。易拉罐頂部也有對應(yīng)的坑紋。底部向上凸，是為了使得用最小的面積，獲得最大的抗壓性，使底部更堅硬。如圖7：圖7頂蓋實際上也不是平面的, 略有上拱, 頂蓋實際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的, 從頂蓋到中間圓柱的部分的斜率為 0.3, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓?？紤]實際所用材料的模型 實際上, 頂蓋的半徑為r +0.6厘米, 而正圓柱的高為h +0.6厘米. 因此問題就轉(zhuǎn)化為: 當(dāng) V 固定時, 求 d:h使

13、S最小. 我們從約束中解出一個變量, 化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題, 即 這時, 我們發(fā)現(xiàn)盡管三次方程求根有公式, 但是很繁瑣, 而且最終還是要數(shù)值求解. 不如直接將數(shù)值代入, 用數(shù)學(xué)軟件Matlab或C語言（見附錄二）來求數(shù)值解由于 V = 365 立方厘米. 即，r 2.9，, 所以，h : d 2.4, 高是直徑的 2.4倍! 模型三：小組對易拉罐的最優(yōu)設(shè)計問題4:具體分析：在體積一定的幾何形體中,球的表面積最小，則理想的形狀就是球。 那么，我們可以朝球體方向討論。當(dāng)設(shè)計的容器高h(yuǎn)和它的直徑d相等的時候才是最合理的，因為這時候容器是個球體，圓形周長最短，在容積相同（里面的飲

14、料一樣多時）易拉罐橫截面為圓形的時候最節(jié)省材料。雖然，同樣容積的容器，球形的表面積最小，下料最省，但易拉罐做成球形從運輸，排放等都不合理，在技術(shù)上和使用上都較困難。因此，需要設(shè)計一種即節(jié)約成本，比較容易生產(chǎn)又便于使用，符合大眾消費需求的存儲介質(zhì)，我們認(rèn)為對球進(jìn)行切割使球上下都有相同截面的圓臺，同時兩個被截球冠表面積與體積均全等。如圖8：設(shè)球的體積為V，表面積S，球心到截面的距離h,球的半徑r，截面的半徑,圓臺截面的面積為,我們要求的圓臺（圖8）表面積為，被切割的球冠體積為，剩余圓臺（圖8）體積為。有：=r此時截面的面積為： =由勾股定理得： =此時圓的面積=（）被切割的球體表面積為：當(dāng)切點無限

15、增加，側(cè)面則無限接近球面。 圖9因而有：=hr-h由定義知上、下有兩個被截球冠的表面積和兩個截面表面積均分別相等。所以，被切割的半球體總表面積為2，截面總表面積為2從而求得剩余圓臺（圖8）表面積：= S-2+2=4r-2hr-2h+2（） =6r-2hr上、下兩個被截球冠的表面積相等，考慮密度因素以外，體積也應(yīng)相等（已假設(shè)定義）于是有：=1/3=-2=4/3-2/3 =考慮到瓶子擺放的穩(wěn)定性，當(dāng)瓶子與地面的傾斜角度在以下時，瓶子的重心不會超過下面的平面，保持其平穩(wěn)性，不會倒掉。因此，是傾斜面不倒的臨界角度。建立數(shù)學(xué)模型: 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件：V355由=355得：r=4.4 所以 =-*0.

16、6模型求解得表面積S=6r-2hr通過比較： 正圓柱體表面積：3 =3278現(xiàn)實生活罐體表面積：S=240圓臺表面積S=6r-2hr264實際測量的表面積為：=2r2+2rh277由上得出： 現(xiàn)實生活中實際使用的易拉罐設(shè)計是最優(yōu)設(shè)計。六模型的推廣和評價認(rèn)識1 本問題所考慮的只是易拉罐形狀和尺寸的設(shè)計問題 ，可以推廣到液體、液晶等物質(zhì)的最大化存儲或運輸?shù)南嚓P(guān)領(lǐng)域 產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)和社會效益。2 利用了高等數(shù)學(xué)知識，設(shè)計了多種情況的優(yōu)化設(shè)計方案。最大限度節(jié)約了罐體的下料和生產(chǎn)成本，而且優(yōu)化設(shè)計后的方案簡單明了，涉及領(lǐng)域較廣，施行方便。3 本方案設(shè)計數(shù)據(jù)精確，模型結(jié)果實用性強(qiáng)，較完美解決了易拉罐形狀和尺寸設(shè)

17、計的原始問題。4 簡化了模型的計算，但建模時間倉促，模型細(xì)致度有待進(jìn)一步提高。5 從這幾種模型的計算結(jié)果綜合考慮可知，第二種模型仍然是最優(yōu)的。七建模感悟從高教社杯數(shù)模大賽緊張氣氛中走出來，感受頗多，從數(shù)模課的深入研究學(xué)習(xí)直到走進(jìn)數(shù)模大賽，讓我們真正理解著數(shù)學(xué)的神韻，升華著我們創(chuàng)造性思維 數(shù)學(xué)建模，即針對實際問題，從實際中提煉數(shù)學(xué)問題抽象化為數(shù)學(xué)模型，求出模型的，求出模型的解或近似解，并進(jìn)行檢驗，使之切合實際，最后編輯由數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)成，以議論方式表達(dá)目標(biāo)的說理論文。數(shù)學(xué)建模首先在于懂得數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界一個特定對象，特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，做出必要的假設(shè)，運用數(shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)

18、結(jié)構(gòu)，簡單的說，就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)學(xué)術(shù)語用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微積分等）來描述（模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面存在規(guī)律。數(shù)學(xué)建立模型就是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐，同過抽象、假設(shè)等將實際問題用數(shù)學(xué)表達(dá)式建立合理的模型，然后運用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。在幾天煩瑣的建模，解模中，也摸索了一些具體的建模步驟，主要有：1 對實際問題的抽象、簡化、假設(shè)，從而確定問題求解的變量和參數(shù)；2 建立數(shù)學(xué)模型，并運用方差、微積分等數(shù)學(xué)方法和lingo、lindo等計算機(jī)軟件求出正解或近似解，確定其相關(guān)的參數(shù)；3 用實際問題的實測數(shù)據(jù)來檢驗該模型4 符

19、合實際，交付使用，達(dá)到產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)，社會效益的目的；不符合實際，重新建模、求解。其中，對實際問題分析的透析度，對題目推敲的準(zhǔn)確性，統(tǒng)計出的數(shù)據(jù)的正確性，反映出研究范圍和達(dá)到的深度，以及概念寫法揭示的內(nèi)涵和外延，決定著論文的質(zhì)量和生命力。建立數(shù)學(xué)模型也是十分關(guān)鍵的一步，同時也是異常困難的一步，建立數(shù)學(xué)模型的過程，是使錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程。通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)，觀察和研究起內(nèi)在規(guī)律，運用我們平時積累的深厚扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，以及對實際問題的濃厚興趣和廣博知識面，建立反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題.八參考文獻(xiàn)1. 吳建成 高等數(shù)學(xué) 北京西城區(qū)德外大街4號 高等教育出版社 2005年6月2. 于忠文 數(shù)學(xué)論文寫作概論 北京地質(zhì)印刷廠印刷 航空工業(yè)出版社 1999年7月3.全國競賽組委會 1992年-1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文匯編 1997年3月附錄一：編寫M文件