第08章08節(jié)二次曲面(1)

1、第8節(jié)二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面第6節(jié)例6.3與例6.4 給出的旋轉(zhuǎn)曲面就是二次曲面二次曲面應(yīng)用較廣泛，并且形狀也比較簡(jiǎn)單本節(jié)討論幾種標(biāo)準(zhǔn)方程的二次曲面8.0 球面（重點(diǎn)認(rèn)識(shí)）方程 (8.0)表示的曲面是球心在半徑為的球面（動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)。） (8.0)的平方都展開(kāi)并記，可知球面方程是三元二次方程（平方項(xiàng)系數(shù)都是1） (8.01) 反過(guò)來(lái)，給了三元二次方程(8.01)，配方得可見(jiàn)，（1）如果，則(8.01)表示球心在半徑為的球面；（2）如果，則(8.01)只表示一點(diǎn)；（3）如果，則沒(méi)有點(diǎn)滿足(8.01)（此時(shí)稱(8.01)表示一個(gè)虛球面）。8.1 橢球面（重點(diǎn)認(rèn)識(shí)）

2、方程 (8.1)表示的曲面叫做橢球面為了研究橢球面的形狀，我們用平行于坐標(biāo)平面的平面去截割橢球面，得到一些截線并考察這些截線的形狀然后加以綜合，構(gòu)想出曲面的全貌.由方程可知即，這說(shuō)明橢球面包含在由平面，圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)先考慮橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的截線，這些截線都是橢圓圖8.1用平行于面的平面（）去截這個(gè)曲面，所得截線（緯線）的方程是易見(jiàn)，當(dāng)由0變到時(shí)，橢圓由大變小，最后縮成一點(diǎn).同樣地用平行于面或面的平面去截這個(gè)曲面得到一些經(jīng)線，也有類(lèi)似的結(jié)果.如果連續(xù)地取這樣的緯線和經(jīng)線，可以想像，這些截線就組成了一張橢球面（圖8.1）在橢球面方程中，按其大小，分別叫做橢球的長(zhǎng)半軸，中半軸，短半軸上述考察橢球面

3、的形狀的方法，又稱為截痕法，下面我們將繼續(xù)應(yīng)用此方法考察另外的幾種二次曲面.8.2 拋物面（重點(diǎn)認(rèn)識(shí)）拋物面分橢圓拋物面與雙曲拋物面兩種方程 (8.2)所表示的曲面叫做橢圓拋物面（重點(diǎn)認(rèn)識(shí)）設(shè)方程右端取正號(hào)，現(xiàn)在來(lái)考察它的形狀(1) 用面（）去截這曲面，截痕為原點(diǎn)用平面（）去截這曲面得緯線為橢圓（時(shí)為圓）：.當(dāng)時(shí)，截痕退縮為原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，截痕不存在.原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的頂點(diǎn).(2) 用面（）去截這曲面得經(jīng)線為拋物線圖8.2用平面去截這曲面得經(jīng)線也為拋物線(3) 用面（）及平面去截這曲面，其結(jié)果與(2)類(lèi)似綜合以上分析結(jié)果，可知橢圓拋物面的形狀如圖8.2所示方程 (8.3)所表示的曲面叫做雙曲拋物

4、面設(shè)方程右端取正號(hào)，現(xiàn)在來(lái)考察它們的形狀(1) 用平面（）去截這曲面得緯線方程是當(dāng)時(shí)，截痕是雙曲線，其實(shí)軸平行于軸當(dāng)時(shí)，截痕是平面上兩條相交于原點(diǎn)的直線.當(dāng)時(shí)，截痕也是雙曲線，但其實(shí)軸平行于軸(2) 用平面去截這曲面得經(jīng)線方程是時(shí)，截痕是平面上頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線且張口朝下時(shí)，截痕都是開(kāi)口朝下的拋物線，且拋物線的頂點(diǎn)隨增大而升高圖8.3(3) 用平面去截這曲面得經(jīng)線方程是截痕均是開(kāi)口朝上的拋物線，且拋物線的頂點(diǎn)隨增大而降低綜合以上分析，雙曲拋物面的形狀如圖8.3所示因其形狀與馬鞍相似，也稱其為馬鞍面8.3 雙曲面雙曲面分單葉雙曲面與雙葉雙曲面兩種其中方程 (8.4)表示的曲面叫做單葉雙曲面(1)

5、 用平面去截這曲面，截痕方程是它表示中心在原點(diǎn)，兩個(gè)半軸長(zhǎng)分別為及的橢圓.用平面去截這曲面得緯線方程是它表示中心在軸上，兩個(gè)半軸長(zhǎng)分別為及的橢圓.(2) 用平面去截這曲面，截痕方程是它表示中心在原點(diǎn)，實(shí)軸為軸，虛軸為軸的雙曲線，兩個(gè)半軸長(zhǎng)分別為及.用平面去截這曲面得經(jīng)線截痕方程是它表示中心在軸上的雙曲線，兩個(gè)半軸長(zhǎng)的平方分別為及.如果，則雙曲線的實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸；如果，則雙曲線的實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸.如果，則平面截曲面所得截線為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線，它們的方程為和如果，則平面截曲面所的截線為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線，它們的方程為和(3) 類(lèi)似地，用平面，去截這曲面所得截線也是雙曲線，兩

6、平面截這曲面所得截線是兩對(duì)相交的直線.綜上所述，可知單葉雙曲面的形狀如圖8.4所示:圖8.4圖8.5 方程 (8.5)所表示的曲面叫做雙葉雙曲面用截痕法所得結(jié)果如下：截平面截痕面及平行于面的平面無(wú)截痕、一點(diǎn)或橢圓面及平行于面的平面雙曲線面及平行于面的平面雙曲線它的形狀如圖8.5所示:8.4 橢圓錐面（重點(diǎn)認(rèn)識(shí)）方程 (8.6)表示的曲面叫做橢圓錐面(二次錐面). 用截痕法所得結(jié)果如下：截平面截痕面及平行于面的平面一點(diǎn)或橢圓面及平行于面的平面兩相交直線或雙曲線面及平行于面的平面兩相交直線或雙曲線由方程(8.6)知， 橢圓錐面過(guò)原點(diǎn)，又由于當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程(8.6)時(shí)， 點(diǎn)(為任意實(shí)數(shù))的坐標(biāo)也

7、滿足方程(8.6).因此，直線都在橢圓錐面上，因此可以認(rèn)為橢圓錐面由通過(guò)原點(diǎn)的直線構(gòu)成.我們把這些直線稱為橢圓錐面的母線， 母線的公共點(diǎn)稱為橢圓錐面的頂點(diǎn).若用平面去截橢圓錐面，其截線為橢圓.這樣，我們可把橢圓錐面看作其母線沿上述橢圓移動(dòng)所形成的曲面.一般地，若直線過(guò)定點(diǎn)，且與不含的定曲線相交，則將沿移動(dòng)形成的曲面稱為錐面.定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)， 定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線稱為錐面的母線下面給出確定錐面方程的一般方法.設(shè)錐面的頂點(diǎn)，錐面的準(zhǔn)線方程為. (8.7)設(shè)為錐面上任一點(diǎn)，則準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使在同一母線上，即共線，因此有 (8.8)由(8.8)得，代入(8.7)得 (8.7*)(8.7*)

8、消去就得到錐面的方程?！纠?.1】 設(shè)一錐面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，求此錐面的方程.解 設(shè)錐面上任一點(diǎn)，則準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使原點(diǎn)共線，因此有，但由于，故，將，代入準(zhǔn)線方程，就得到錐面方程:，顯然它為橢圓錐面.當(dāng)時(shí)， 準(zhǔn)線為平面上的圓，這時(shí)橢圓錐面為:，它就是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為軸的圓錐面本節(jié)中所討論的橢球面、拋物面、雙曲面、橢圓錐面等稱為標(biāo)準(zhǔn)型二次曲面.對(duì)于一般二次曲面，可通過(guò)坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型二次曲面，這方面的討論比較復(fù)雜，這里不作進(jìn)一步研究。思考題:1.試討論已給出的其他幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型二次曲面的對(duì)稱性.習(xí)題88A類(lèi)*1.畫(huà)出下列方程所表示的二次曲面的圖形：(1) ; (2) ;(

9、3) ; (4) ;(5) ; (6) (7) 2.畫(huà)出下列各曲面所圍成的立體的圖形：(1)*(2)(3)(4)（在第一卦限內(nèi)）*(5);B類(lèi)*1.證明曲面是雙曲拋物面.2.畫(huà)出下列各曲面所圍成的立體的圖形：*(1) ;(2) ;(3) ;*(4) ;*(5) .總 習(xí) 題 八1設(shè)，試問(wèn)：(1)若，能否推知？(2)若，能否推知？(3)若，能否推知？*2以向量與為邊作平行四邊形，試用與表示邊上的高向量.*3在邊長(zhǎng)為立方體中，設(shè)為對(duì)角線，為棱，求在上的投影.4已知向量?jī)蓛纱怪?，且，求的模及它與的夾角.設(shè)，計(jì)算：(1)與之間的夾角；(2)以和為鄰邊的平行四邊形的面積.設(shè)，求.7設(shè)向量， (1)求;(

10、2)若，求向量，使得由三向量所構(gòu)成的平行六面體的體積最大.8設(shè)，向量滿足條件：，求.解 設(shè)。由條件（）解得。*設(shè)，且，證明：過(guò)點(diǎn)并且以為法向的平面具有如下形式的參數(shù)方程：，其中為參數(shù).10求通過(guò)點(diǎn)和且與面成角的平面方程.*11求垂直于平面，且通過(guò)（點(diǎn)到直線的垂線）的平面的方程.解 設(shè)所求平面的法向量為。由垂直于平面有。直線的參數(shù)方程，方向向量。設(shè)垂足是。由有，解得。由條件，。取解得。所求平面的方程：。12求過(guò)點(diǎn)且平行于平面，又與直線相交的直線的方程.解 直線的參數(shù)方程。設(shè)交點(diǎn)是。的法向量。由有，解得。取。所求直線的方程：。13求直線關(guān)于平面對(duì)稱的直線方程.*14求直線在平面上的投影直線的方程，并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面的方程15求柱面與錐面所圍立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.解 在平面上的投影區(qū)域就是平面截所給幾何體的截痕：見(jiàn)右圖。在平面上的投影區(qū)域的邊界是曲線在平面上的投影。消去得平面上的投影區(qū)域：在平面上的投影區(qū)域的邊界是曲線在平面上的投影。消去得平面上的投影區(qū)域：*16求過(guò)兩球面的