第09章08多元函數微分學的幾何應用(1)

1、第8節(jié)多元函數微分學的幾何應用（考點）8.1 空間曲線的切線與法平面在空間解析幾何中，空間曲線一般用兩種方式來表示，參數式方程和一般式方程下面我們分別探求這兩種情形時曲線的切線及法平面方程1 參數式方程表示的曲線的切線和法平面設空間曲線的方程為：，(8.1)并假定(8.1)式的三個函數都在上可導若記，則曲線的參數方程可寫為：(8.2)當均在上連續(xù)時，曲線是一條連續(xù)曲線給定下面設存在且不同時為零。設，為曲線上對應于參量，的兩個點（；）。曲線上過割線的方向向量為：割線方程(8.3)當點沿曲線趨近于時，即當時，割線的極限位置是曲線在處的切線故當時割線方向向量的極限向量是在點切線的方向向量，稱為曲線在

2、處的切向量，故曲線在處的切線方程為：(8.4)若中有個別為零，則按空間解析幾何中對稱式方程的說明來理解過點且與其切線垂直的平面（過點且與處的切線垂直的所有直線都在此平面上），稱為曲線在點處的法平面法平面方程為(8.5)總結：曲線在點的（1）切向量：；（2）切線：；（3）法平面：。關鍵是求出切向量?！纠?.1】 求曲線，在點處的切線和法平面解因為，又由方程知，在點處，對應于，所以切線的方向向量為故曲線在處的切線方程為：，法平面方程為：，即【例8.2】 若曲線在任一點的法平面都過原點，試證明：此曲線必在以原點為球心的球面上證任取曲線上的點，則在點處的法平面方程為因為原點在法平面上，故有，此方程等價

3、于方程，故有，（必，因為是存在的。）上述方程表示以原點為球心，為半徑的球面，而曲線上的任一點滿足此方程，故曲線在此球面上若空間曲線的方程為：，取為參數，則曲線方程為：，若，在處可導，則曲線在處的切線向量為：，故切線方程為：，法平面方程為：（如果或呢？）【例8.3】 求曲線在點處的切線和法平面方程解取為參數，則曲線的參數方程為：在處的切向量為，故曲線在處的切線方程為：法平面方程為：，即2 一般方程形式表示的曲線的切線和法平面方程設曲線的方程為，在點的某鄰域內，連續(xù)可微，在點的某鄰域內能惟一地確定隱函數組，。則其參數方程為，因而在點處的切向量為，切線方程為：，法平面為：。其中，由隱函數的導數即解方

4、程組得到?！纠?.4】 求曲線上點處的切線和法平面方程解把看作的函數，兩邊對求導有把代入得解得切向量：；切線：；法平面：。思考題：1若曲線上任一點的切線向量為（a為常數），則此曲線是一條什么曲線？若其任一點的切線向量為（為常數）呢？（，平行于軸的直線。，面上的一條直線。）8.2 曲面的切平面與法線設為空間的一張曲面，其方程為，為曲面上一點設在曲面上任意作一條過的光滑曲線（圖8.1），設其參數方程為且。則有此恒等式兩邊關于求導，并令，有，圖8.1記，則有即其中是一個固定的常向量，而是在點的切向量也即在點的切向量。由于是任意的，是任意的。結論：在點的任意切向量都垂直于固定的常向量。因此：是在點的切

5、平面的法向量。曲面在點處的切平面方程為，過點且以法向量為方向向量的直線稱為曲面在處的法線，其方程為總結：在點的（1）法向量：；（2）切平面：；（3）法線：。關鍵是求出法向量。當看作數量場時，既是在點的梯度同時也是其過點的等量面的法向量。因為梯度方向是數量場增加最快的方向，因此在點沿等量面的法向量方向增加最快【例8.5】 求曲面在點處的切平面和法線解設，則，故所求切平面方程為：，即法線方程為：，即若曲面方程為，且可微令，則有，。故曲面在點處的法向量切平面，法線： 如果令，則得向上的法向量，而是向下的法向量。【例8.6】 求曲面在點處的切平面和法線方程解設，故曲面在的法向量為，切平面方程為：，即；

6、法線方程為：我們知道，曲面上點處的切平面方程為：，曲面上點處的切平面方程為：，從而若曲線的方程為，則上點處的切線實際上是上面兩個切平面的交線，即 (8.7)請與(8.6)的結果進行比較，并以此方法重解例8.4【例8.4】 求曲線上點處的切線和法平面方程解。切線：；切向量：法平面：。下面簡單介紹由參數方程形式表示的曲面的切平面的求法.設曲面的方程為：,，(為平面內的區(qū)域）為曲面上的一點，,，在包含點的某鄰域內有連續(xù)的偏導數。假設由解出，代入得。，。法向量：。其中由方程組解出。有了法向量就很容易寫出切平面和法線的方程?！纠?.7】 設曲面的方程為，求在參數，處，曲面的切平面方程及法線方程解易得，解

7、方程組得。法向量：；切平面：即；法線：。習題9-8A類1求下列曲線在指定點處的切線與法平面(1)，；在點處；*(2)，；當時；*(3)；在點處；(4)；在點處；*(5)；在點處2求下列曲面在指定點處的切平面和法線*(1)，在點處；(2)，在點處；(3)，在點；*(4)，在點處；(5)，在點處3求曲線，上一點，使曲線在該點處的切線平行于平面解 的法向量：。曲線點的切向量。切線平行于平面。讓解得。所要求的點是或。4證明曲線，上任一點處的切線與軸成定角5求曲面上的一點，使該點處的切平面平行于平面*6已知曲面上某點處的切平面平行于平面，求該點坐標7求由曲線繞軸旋轉一周所得的旋轉面在點處的指向外側的單位法向量解 旋轉面為。令。外側即增加的那側即的梯度那側。，。所要求的單位法向量：。8證明：曲面上任一點的切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積為常數*9證明：錐面的所有切平面過錐面的頂點B類1求曲面，在點處的切平面2設直線在平面上，而平面與曲面相切于點，求，的值解 令。曲面于點的法向量：。設所給切平面為即。其法向量。由有，解得。切平面為。把代入切平面得， 。另解 令。曲面于點的法向