高等幾何電子教案

1、高等幾何電子教案al一一.兩直線間的平行射影與仿射對(duì)應(yīng), a alllaa,A B C DaaaABCDaABCD1.平行射影或透視仿射：若直線且 , ， ,點(diǎn)A,B,C,D,過點(diǎn)A,B,C,D作直線的平行線交于，則可得直線到直線的一個(gè)映射。稱為平行射影或透視仿射，記為 TABCDa原象點(diǎn)： A,B,C,D 直線a上的點(diǎn)平行射影的方向：直線l透視仿射與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射OlABCDa點(diǎn) O 為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)( 同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn) )映象點(diǎn)：,A B C Da 直線上的點(diǎn)記透視仿射T： ,T AA T BB2.仿射（或仿射變換）：仿射是透視仿射鏈或平行射影鏈122 1n

2、nTTTT T12,21,nnT TTT 表示透視仿射鏈，T表示仿射 （如圖）1l2l1A3A2A1nAnA1B1C1D1a1na3a2ana3B2B1nBnB2C3C1nCnC2D3D1nDnD1nl仿此，每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都可以這樣表示。1122 111222nnnnnT AT TT TAT TTAA注：2.判斷仿射是否是透視仿射的方法：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線是否平行二二 . 兩平面的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)：1.平行射影： T aa T AA T BB T CC如圖點(diǎn)A,B,C共線a，則 共線,A B CagABCABCaal兩相交平面的交線為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合即對(duì)應(yīng)軸平面到平面的仿射是有限回平行射影的積組成的，

3、是透 視 仿射鏈性質(zhì)：1.透視仿射保留同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)為直線.2.保留點(diǎn)與直線的結(jié)合性2仿射：定義1 仿射不變性與不變量仿射不變性與不變量：經(jīng)過一切透視仿射不變的性質(zhì)和數(shù)量仿射圖形仿射圖形：經(jīng)過任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的圖形.仿射性仿射性：經(jīng)過任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的性質(zhì).仿射量仿射量：經(jīng)過任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的數(shù)量.定理1： 兩直線間的平行性是仿射不變性.（反證法）推論平行四邊形是仿射不變的圖形.定義2簡(jiǎn)比：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比（ABC）定義為以下有向線段的比：ACABCBC當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB 上時(shí)，(ABC)0當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB或 B

4、A的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn)A重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn)B重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn) C 為線段 AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)= -1則點(diǎn)C稱為分點(diǎn)，A,B 兩點(diǎn)稱為基點(diǎn)簡(jiǎn)比(ABC)等于點(diǎn)C分割線段AB的分割比的相反數(shù)ACACABCBCCB 例1經(jīng)過點(diǎn)A(-3, 2)和B(6, 1)兩點(diǎn)直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡(jiǎn)比（ABP）解解:PBAP設(shè))12,163(P(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在定理2共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射不變量.定理3兩平行線段之比是仿射不變量.點(diǎn)P在直線x+3y-6=0上.11)( ABPABCABClAA =BB CC =CBBABCABCBCBBABCBCABCBCABC

5、AC)()(CBAABC要證:DCBACDABABCDABCEED證明:如圖,作DE AC,=EDCA=DCEACDAE,則)(BEAEABAAEABCDAB)(AEBAEABEABADCBA簡(jiǎn)比是仿射不變量DCBACDAB定理4一直線上兩線段之比是仿射不變量.定理5在透視仿射下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸的距離之比是一個(gè)常數(shù)gABCAB0A0A0B0B證明: 設(shè)T為 到 的一個(gè)透視仿射,如圖并且 AAT BBT則AA =BB 01若AB g,=BAg,則顯然成立.02若AB g,=BAg,=過A, , B , 分別引軸g的垂線AB垂足分別為,0A,0A,0B.0BCBAAB則由相似三角形得:CB

6、CABBAA00BCACBBAA00BCACCBCA0000BBAABBAAKBBBBAAAA00000定理2任意兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.證明:分兩種情形0102特殊情形:有兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)軸g上并且重合.如圖ABCCAB0C0Cg021CCABSABC002121CCABCCBASCBA kCCCCSSCBAABC00CBAABCkSS一般情形:如圖C對(duì)應(yīng)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)都不在對(duì)應(yīng)軸上,ABC與對(duì)應(yīng),三對(duì)對(duì)應(yīng)邊相交于對(duì)應(yīng)軸g上.ABCgABCXYZ由 的證明可得:01XZAYZBXYCCBASSSSAXZBYZCXYSkSkSk111)(1AXZBYZCXYSSSkABCSk1C

7、BAABCkSSCBA推論1在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量設(shè) 為平面 到平面 的透視仿射，射影方向?yàn)?.1T11l設(shè) 為平面 到平面 的透視仿射，射影方向?yàn)?.2T12l則 11T BB21TAA 11TAA 2 1T TAA 2 1T T BB21TBBg1AA1BBAB1l2l設(shè)21TTTT將將 上的點(diǎn)上的點(diǎn) A變換為其本身上的點(diǎn)變換為其本身上的點(diǎn)AT將將 上的點(diǎn)上的點(diǎn) B變換為其本身上的點(diǎn)變換為其本身上的點(diǎn)Baa1aT將將 上的點(diǎn)上的點(diǎn) 變換為變換為 上的點(diǎn)上的點(diǎn),將將 上的直線上的直線 a 變換為變

8、換為 上上的直線的直線 ,即即 T 保留同素性和接合性保留同素性和接合性 .aT將將 上的相交直線上的相交直線 a, b 變換為變換為 上的相交直線上的相交直線 .,a bT將將 上的平行直線上的平行直線 變換為變換為 上的平行直線上的平行直線 . 和和 的交線的交線g上的每一點(diǎn)經(jīng)過上的每一點(diǎn)經(jīng)過T不變，且不變，且T具有仿射不變性具有仿射不變性與不變量，稱與不變量，稱T為平面為平面 到自身的透視仿射到自身的透視仿射定理1平面內(nèi)的透視仿射由一對(duì)對(duì)應(yīng)軸與一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全決定證明證明:設(shè)已知對(duì)應(yīng)軸g與不在其上的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) 為平面BAA,上任一已知點(diǎn)定理2給定平面內(nèi)的兩個(gè)三角形，至多利用三回透視仿射可使

9、一個(gè)三角形變?yōu)榱硪粋€(gè)三角形BAXABg 連直線AB,設(shè)與對(duì)應(yīng)軸g相交于X,連X與 ,則AXAXA與 是一對(duì)對(duì)應(yīng)直線過B引 的平行直線,與B對(duì)應(yīng)的AA 點(diǎn) 就只能是這直線與 的交點(diǎn).BXA 是唯一確定的.BAABgAB=ggoABBACC證明: 把ABC平移到 使頂點(diǎn)A落在 上,把平移看作A11CBA透視仿射的特例.記為1TABCA1B1CBC對(duì)應(yīng)軸不存在,對(duì)應(yīng)邊互相平行再以直線 為透視軸,以1BACC1作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定一個(gè)透視仿射 .2T最后以 為對(duì)應(yīng)軸 , 以 CABB1作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定一個(gè)透視仿射 3T111CBAABCTCBACBAT112CBACBAT13123TTTT 設(shè)T為仿射

10、變換CBAABCT且定理3原象點(diǎn)不共線，映象點(diǎn)也不共線的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定唯一的仿射變換.若兩三角形有一對(duì)頂點(diǎn)重合,則利用兩回透視仿射就夠了.若兩三角形有兩對(duì)頂點(diǎn)重合,則利用一回透視仿射就夠了.仿射等價(jià)圖形:經(jīng)過仿射變換可以互相轉(zhuǎn)換的圖形.任意三角形是仿射等價(jià)的.證明:存在性:設(shè) 是平面內(nèi)不共線的任意三點(diǎn).,1P,2P3P, 1P ,2P3P也是不共線的任意三點(diǎn).存在一個(gè)仿射變換T使 3 , 2 , 1,iPPTii在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè) 交 于Q.PP132PP由定理2知.1P2P3PQP1P2P3PQQ P P唯一性: 設(shè)存在另一個(gè)仿射 ,T 3 , 2 , 1iPPTii在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)

11、P,設(shè)交PP132PP于Q PPT QQT PPT QQT TT,為仿射. 保持接合性且簡(jiǎn)比不變都在直線 上.QQ 與32PP且有:3232PQPQPP)(3232 PQPQPP)()(322 PQPPQPQQ 對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P,都有 )(PTPT完全相同和TTPQPQPP11 11PQPQPP)()(11PQPPQP PP QQ 作業(yè)作業(yè):24P16. 1 ,15. 1設(shè)有一正交笛卡兒坐標(biāo)系xoy，以E為單位點(diǎn)（如圖）。一個(gè)仿射變換T將平面上一點(diǎn)P變換為一點(diǎn) ，求 P的坐標(biāo)（x,y）和 的坐標(biāo) 之間的關(guān)系。 PP,x y仿射變換T由三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.設(shè) 的坐標(biāo)為 T oo00,a bX

12、軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為 11,0E11T EE11,a by軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為 20,1E22T EE22,a b設(shè) P在坐標(biāo)軸上 的正射影，且 ， 則T將平行四邊形 及 分別變換為平行四邊形 及 .由于T1,2P P22T PP11T PP12oE EE12oPPP12o E E E12o P P PxyO1EE2EP(x,y)1P2P00(,)O a b111(,)Ea b222(,)Ea bE,Px y1P2P1111OPO PxOEO E 2222OPO PyOEO E 11O PxO E 22O PyO E 1112O PO PP PxO EyO E 010200

13、1020 xax aay aaybx bby bb或者寫為120120 xxyyxy 2121020110200aaaabbbb且因?yàn)?三點(diǎn)不共線， 三點(diǎn)不共線12,O E E12,O EE所以行列式不為O(1)(2)定義1把笛氏坐標(biāo)系在仿射對(duì)應(yīng)下的象叫仿射坐標(biāo)系， 叫點(diǎn) 的仿射坐標(biāo)，記為,x yP,Px y對(duì)于斜交笛氏坐標(biāo)系，仿射坐標(biāo)系，上面的代數(shù)式（1），（2）都成立。例1 求使點(diǎn)（0，0），（1，1），（1，-1）分別變?yōu)辄c(diǎn)（2，3） ,（2，5），（3，-7）的仿射變換。將點(diǎn)解解: 7, 3,5 , 2,3 , 2,1, 1,1 , 1,0 , 0CBACBA分別代入仿射變換的代數(shù)表示

14、式得:232221131211003002aaaaaa232221131211115112aaaaaa232221131211) 1(17) 1(13aaaaaa, 2,21,21131211aaa3, 6, 4232221aaa仿射變換式為:36422121yxyyxx例2 求仿射變換 的不變直線。71424xxyyxy 解解:設(shè)所求的不變直線為:ax+by+c=0cbaybaxbacybxa4247ccbabbaaba424701402047cbababa）（或014121047631 ，不存在。但對(duì)應(yīng)的直線，時(shí)，方程組恒有非零解當(dāng),001k)0(22ba032,23,3yxbcba不變直線為：時(shí)，方程組有非零解，當(dāng)仿射變換的特例:000),0( ,. 12aaaaayyaxx位似變換：(3)0001),0( ,. 2aaaayyxxx軸上的均勻伸縮變換：04, 0,46yxcba不變直線為：時(shí)，方程組有非零解，當(dāng)(4)當(dāng)a=1時(shí),(4)式是恒同變換.1cossin0sincos,cossin,sincos. 300yxyyxx動(dòng)。運(yùn)動(dòng)變換：移與旋轉(zhuǎn)之積統(tǒng)稱為運(yùn)運(yùn)動(dòng)：平移，旋轉(zhuǎn)或平11001,. 4yyxxx軸的軸反射變換：關(guān)于(1,-2)(1,2)1求使直線x=0, y=0, x+2y-1=0分別變?yōu)橹本€x+y=0,x-y=0,x+2y-