一元二次方程知識點總結(jié)和例題復習

1、知識點總結(jié)：一元二次方程知識框架知識點、概念總結(jié)1.一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程有四個特點：(1)含有一個未知數(shù)； (2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2； (3)是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理。如果能整理為 ax2+bx+c=0(a0)的形式，則這個方程就為一元二次方程。（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應(yīng)滿足（a0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+

2、c=0（a0）。一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。4.一元二次方程的解法（1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b<0時，方程沒有實數(shù)根。（2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。配方法解一元二次方程的一般步驟：現(xiàn)

3、將已知方程化為一般形式；化二次項系數(shù)為1；常數(shù)項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無實根（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判別式 根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即6.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個實數(shù)根

4、是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。7.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母（2）解所得的整式方程（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。（參考教材：初中數(shù)學九年級人教版）知識點1.只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。例題：1、判別下列方程是不是一

5、元二次方程，是的打“”，不是的打“×”，并說明理由.(1)2x-x-3=0.(2)-y=0.(3) t=0. (4) x-x=1. (5) x-2y-1=0.(6) -3=0. (7) =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1).(9)3x-+6=0. (10)3x=-3. 1、若關(guān)于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，則a的值是 （ ）（A）2（B）2（C）0（D）不等于22、已知關(guān)于的方程，當時，方程為一次方程；當時，兩根中有一個為零。3、已知關(guān)于的方程：（1） m為何值時方程為一元一次方程；（2） m為何值時方程為一元二次方程。知識點二.一元二次方程的一般形式一元

6、二次方程的一般形式是：，其中是二次項，叫二次項系數(shù)；是一次項，叫一次項系數(shù)，是常數(shù)項。特別警示：（1）“”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分；（2）二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項系數(shù)時，必須先將方程化為一般形式。例題：1、指出下列一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(5)2、關(guān)于的方程中是；是；是。知識點三.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。例題：1、已知方程的一個根是1，則m的值是。2、設(shè)是一元二次方程的較大根，是較小根，那么的值是 （ ）（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）23、已知

7、關(guān)于的一元二次方程 的一個解與方程的解相同。（1） 求的值；（2） 求方程的另一個解。知識點四.一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：（1） 直接開平方法：如果，則（2） 配方法：要先把二次項系數(shù)化為1，然后方程兩變同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程的求根公式是；（4） 因式分解法：如果則。溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時，要注意選擇最恰當?shù)姆椒ń狻＠}：解方程：1、方程的解是： （ ）A. B. C. D.2、方程的較簡便的解法應(yīng)選用 。解為

8、3、解下列方程：（1） （2） （3）（4）（5）（6） (7)知識點五.一元二次方程根的判別式對于一元二次方程的根的判別式是：（1） 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2） 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3） 當時，方程無實數(shù)根。溫馨提示：若方程有實數(shù)根，則有。例題：1、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k= 。2、當m滿足何條件時，方程有兩個不相等實根？有兩個相等實根？有實根？3、關(guān)于的方程無實根，試解關(guān)于的方程。4、已知關(guān)于的一元二次方程，求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。知識點六.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程的兩個實數(shù)根為，則。溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系

9、解題時，一元二次方程必須有實數(shù)根。例題：1、關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，且滿足，則k的值為： （ ）（A）（B）（C）（D）不存在2、已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則m的值是 （ ）（A）3或-1（B）3 （C）1 （D）-3或13、方程與方程的所有根的乘積是4、兩個不相等的實數(shù)m,n滿足，則mn的值為。5、設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的值分別等于多少？知識點七.一元二次方程的實際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗（6）寫出答案。在檢驗時，應(yīng)從方程本身和實際問題兩個

10、方面進行檢驗。1、有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個數(shù)字之積的二倍多5，求這個兩位數(shù)。2、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少？3、將一條長20m的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形。(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17平方米，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？(2)兩個正方形的面積之和可能等于12平方米嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。一元二次方程綜合復習1、下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是 （ ）A.B.C.D.2

11、、方程（m21）x2mx50 是關(guān)于x的一元二次方程，則m滿足的條件是（）（A）m1 （B）m0（C）|m|1 （D）m±13、若是一元二次方程的一個根，則。4、實數(shù)是方程的根 （ ）（A）（B）（C）（D）5、方程的解是： （ ）A. B.C.D.6、關(guān)于的一元二次方程兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 （ ）（A）（B）（C）（D）7、在下列方程中，有實數(shù)根 的是 （ ）A）B）C）D）8、關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且，則m的取值范圍是 （ ）（A）（B）（C）（D）9.若（x+y）（1xy）+6=0，則x+y的值是（） A2 B3 C2或3 D2或310、若（m+1）+

12、2mx1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是_11、填上適當?shù)臄?shù)，使等式成立：12、當=時，代數(shù)式比代數(shù)式的值大2 13、某商品原價每件25元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在商品每件16元，則該玩具平均每次降價的百分率是。14.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，方程為15、參加一次聚會的沒兩個人都握了一次手，所有人共握手36次，設(shè)有x人參加聚會，方程為16解下列方程：1. 直接開平方法2. （配方法）3 x2-5x+6=0（因式分解法）4. （公式法）17、設(shè)是關(guān)于的方程的兩個根，且滿足，求m的值。18、求證：二次三項式x2+4x5的值恒

13、小于0.并求出它的最大值。19、已知關(guān)于x的一元二次方程。(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)的方程有兩根分別為，且滿足 求k的值。20、已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則m的值是 （ ）（A）3或-1（B）3 （C）1 （D）-3或121.已知：ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，問：k取何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？22、一塊長方形鐵皮的長是寬的倍，四角各截去一個正方形，制成高是cm，容積是cm3的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。23、如圖，有一面積為150 m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的長為35 m，求雞場的長與寬各為多少米？24、西瓜經(jīng)營戶以2元千克的價格購進一批小型西瓜，以3元千克的價格出售，每天可售出200千克，為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價，經(jīng)調(diào)