第二十六章“二次函數(shù)”簡(jiǎn)介

1、第二十六章“二次函數(shù)”簡(jiǎn)介課程教材研究所薛彬 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與反比例函數(shù)，對(duì)于函數(shù)已經(jīng)有所認(rèn)識(shí)。從一次函數(shù)與反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)來(lái)看，學(xué)習(xí)一種函數(shù)大致包括以下內(nèi)容：（1） 通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)這種函數(shù)；（2） 探索這種函數(shù)的圖象和性質(zhì)；（3） 利用這種函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題；（4） 探索這種函數(shù)與相應(yīng)方程等的關(guān)系。本章“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)也是從以上幾個(gè)方面展開的。首先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，然后讓學(xué)生探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，從而得出用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法，最后讓學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。本章教學(xué)時(shí)間約需12課時(shí)，具體分配如下（

2、僅供參考）：26.1 二次函數(shù) 6課時(shí)26.2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程 1課時(shí)26.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù) 3課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié) 2課時(shí)一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖（二）教科書內(nèi)容本章共分三節(jié)。首先介紹二次函數(shù)及其圖象，并從圖象得出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。然后探討二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。最后通過(guò)設(shè)置探究欄目展現(xiàn)二次函數(shù)的應(yīng)用。在第一節(jié)中，首先從實(shí)例中引出二次函數(shù)，進(jìn)而給出二次函數(shù)的定義。關(guān)于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的討論分為以下幾部分。（1）從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)函數(shù)y=_出發(fā)，通過(guò)描點(diǎn)畫出它的圖象，從而引出拋物線的有關(guān)概念。（2）講述二次函數(shù)y=a_的圖象的畫法，并歸納出這類

3、拋物線的特征。（3）討論形如y=a_k和y=a（_h）的函數(shù)的圖象，然后討論形如y=a（_h）k的函數(shù)的圖象。（4）討論函數(shù)y=a_b_c的圖象。上述討論過(guò)程如下圖所示：在第二節(jié)中，首先通過(guò)小球飛行高度問(wèn)題展示二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。然后進(jìn)一步舉例說(shuō)明，從而得出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。最后通過(guò)例題介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。在第三節(jié)中，通過(guò)最大利潤(rùn)、磁盤存儲(chǔ)量、水位變化等三個(gè)探究問(wèn)題，展示二次函數(shù)與實(shí)際的聯(lián)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。關(guān)于這三個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步說(shuō)明如下。在探究1中，某商品價(jià)格調(diào)整，銷量會(huì)隨之變化。調(diào)整價(jià)

4、格包括漲價(jià)與降價(jià)兩種情況。一般來(lái)講，商品價(jià)格上漲，銷量會(huì)隨之下降；商品價(jià)格下降，銷量會(huì)隨之增加。這兩種情況都會(huì)導(dǎo)致利潤(rùn)的變化。教科書首先分析漲價(jià)的情況。在本題中，設(shè)漲價(jià)元，則可以確定銷量隨變化的函數(shù)式。由此得到銷售額、成本隨變化的函數(shù)式。進(jìn)而得出利潤(rùn)隨變化的函數(shù)式。由這個(gè)函數(shù)求出最大利潤(rùn)則由學(xué)生自己完成。有了上述討論，降價(jià)的情況就讓學(xué)生自己去研究了。最后，讓學(xué)生綜合漲價(jià)與降價(jià)兩種情況，得出本題的答案。在探究2中，磁盤的存儲(chǔ)量與每磁道的存儲(chǔ)單元數(shù)與磁道數(shù)有關(guān)。在本題中設(shè)磁盤最內(nèi)磁道的半徑為r，則可以確定每磁道的存儲(chǔ)單元數(shù)、磁道數(shù)隨r變化的函數(shù)式。由此得到磁盤的存儲(chǔ)量隨r變化的函數(shù)式。由這個(gè)函數(shù)求

5、出最大利潤(rùn)則由學(xué)生自己完成。在探究3中，首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。在本題中，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系。這樣便于求出這條拋物線表示的二次函數(shù)。當(dāng)水面下降1m時(shí)，就可以根據(jù)上面的函數(shù)表達(dá)式求出下降后的水面寬度。這樣，學(xué)生通過(guò)探究并解決上述三個(gè)問(wèn)題，對(duì)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題會(huì)有更深的體會(huì)。（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：1 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會(huì)二次函數(shù)的意義；2 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；3會(huì)根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4會(huì)利用二次函數(shù)

6、的圖象求一元二次方程的近似解。二、本章編寫特點(diǎn)（一） 注重探索結(jié)論在本章中，一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)出發(fā)逐步深入地探討的。教科書通過(guò)設(shè)置觀察、思考、討論等欄目，引導(dǎo)學(xué)生探索相關(guān)的結(jié)論。例如，讓學(xué)生觀察函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，探究函數(shù)，的圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，從而得出拋物線的特征。又如，讓學(xué)生討論拋物線與拋物線的關(guān)系，探究二次函數(shù)y=y=的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)，從而得出把拋物線向上（下）向左（右）平移，可以得拋物線結(jié)論。再如，讓學(xué)生思考二次函數(shù)y=a_b_c與函數(shù)的關(guān)系，從而通過(guò)配方法加以轉(zhuǎn)化。這樣循序漸進(jìn)的安排，力圖使學(xué)生不僅學(xué)到二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，而且在

7、知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷提高學(xué)習(xí)的能力。（二） 注重知識(shí)之間的聯(lián)系學(xué)生在“一次函數(shù)”一章已經(jīng)了解了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程組的聯(lián)系。本章專設(shè)一節(jié)，通過(guò)探討二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再次展示函數(shù)與方程的聯(lián)系。這樣安排一方面可以深化學(xué)生對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，另一方面又可以運(yùn)用一元二次方程解決二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題。此外，還在以下各處注意聯(lián)系已學(xué)知識(shí)。例如，在第一節(jié)開頭，用函數(shù)的概念對(duì)正方體表面積、多邊形對(duì)角線數(shù)、產(chǎn)量增長(zhǎng)等問(wèn)題中變量之間的關(guān)系進(jìn)行說(shuō)明。又如，用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系說(shuō)明y軸是拋物線的對(duì)稱軸。再如，用平移描述函數(shù)與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系。這樣處理有利

8、于學(xué)生認(rèn)識(shí)新內(nèi)容，也使已學(xué)內(nèi)容得到復(fù)習(xí)鞏固。（三） 注重聯(lián)系實(shí)際二次函數(shù)與實(shí)際生活聯(lián)系緊密。本章引言選取正方體表面積、物體自由下落、噴水等問(wèn)題展示這種聯(lián)系。在介紹二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)也穿插安排了一些實(shí)際問(wèn)題。例如，在函數(shù)的討論之后，安排了一個(gè)修建噴水池時(shí)確定水管長(zhǎng)度的問(wèn)題。又如，在函數(shù)y=a_b_c的討論之后，讓學(xué)生探究用總長(zhǎng)一定的籬笆圍成最大矩形場(chǎng)地的問(wèn)題。這樣做進(jìn)一步加強(qiáng)了二次函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)得到應(yīng)用。二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系也是通過(guò)小球飛行這樣的實(shí)際問(wèn)題引出的。在這個(gè)問(wèn)題中，以40m/s的速度將高爾夫球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋

9、物線。如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（m）與飛行時(shí)間t（s）之間具有關(guān)系.讓學(xué)生考慮以下問(wèn)題：（1）球的飛行高度能否達(dá)到15 m? 如能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20 m? 如能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m? 為什么？將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式，就得到關(guān)于t的一元二次方程。這三個(gè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)了一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒(méi)有實(shí)數(shù)根的三種情況；從圖象上看，則對(duì)應(yīng)了直線yh與上述拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)的三種情況。這樣學(xué)生結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義就能對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系有很好的體會(huì)。為了加強(qiáng)二次函數(shù)與實(shí)

10、際生活的聯(lián)系，本章在第三節(jié)進(jìn)一步討論用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。此外，本章中的選學(xué)欄目“實(shí)驗(yàn)與探究 推測(cè)植物的生長(zhǎng)與溫度的關(guān)系”也是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，探討二次函數(shù)的應(yīng)用的。三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題（一） 注意復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是以已學(xué)函數(shù)內(nèi)容為基礎(chǔ)的。從八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)”、八年級(jí)下冊(cè)“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)到九年級(jí)下冊(cè)“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)，中間相隔了一段時(shí)間。函數(shù)的概念 ,描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象等在本章中都要用到。因此，要注意復(fù)習(xí)已學(xué)函數(shù)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)好二次函數(shù)。二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=a_的圖象與函數(shù)y=a_的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=a_的圖象平移得到，這些內(nèi)容都涉

11、及到已學(xué)的圖形變換的內(nèi)容。復(fù)習(xí)對(duì)稱的坐標(biāo)表示等內(nèi)容，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)本章中的上述內(nèi)容。討論函數(shù)，關(guān)鍵是用配方法把它化為函數(shù)y=a(_h)k。配方法曾用來(lái)解一元二次方程，學(xué)生已經(jīng)有所了解。在本章相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)運(yùn)用配方法，進(jìn)一步熟悉這種方法?？傊?，在本章的學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，是順利完成本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。（二）關(guān)于計(jì)算機(jī)的使用用某些計(jì)算機(jī)畫圖軟件（如幾何畫板），可以方便地畫出二次函數(shù)的圖象，進(jìn)而從圖象探索二次函數(shù)的性質(zhì)。例如，用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象，拖動(dòng)圖象上的一點(diǎn)p, 讓這點(diǎn)沿拋物線移動(dòng)，觀察動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化，可以發(fā)現(xiàn)：圖象最低點(diǎn)或最高點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是說(shuō)，當(dāng)_取這點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，有最小值或最